Zagadnienia

8.1 Duration – średni czas życia i convexity – wypukłość
8.2 Równoległe przesunięcia struktur terminowych
8.3 Przypadek płaskiej struktury czasowej
8.4 Future Value i immunizacja portfela obligacji
8.5 Ćwiczenia

8. Zarządzanie portfelem instrumentów dłużnych

Liczba godzin 2.
Zakres materiału:
Czas trwania (duration) i zmodyfikowany czas trwania. Wypukłość. Uodpornianie (immunizacja) portfela. Znaczenie duration.

8.1. Duration – średni czas życia i convexity – wypukłość

Rozważmy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce $n$ nieujemnych przepływów gotówki $CF_{1},CF_{2},\dots,CF_{n}$ , odpowiednio w momentach $0<t_{1}<\dots<t_{n}$ , (np. obligację $n$ -kuponową o stałym oprocentowaniu lub portfel zawierający kilka obligacji). Załóżmy, że jej wartość obecna jest dodatnia (tzn. przynajmniej jeden przepływ gotówki jest niezerowy).

Definicja 8.1

Duration, to średni czas życia danej inwestycji ważony udziałem wartości obecnej kolejnych przepływów gotówki w wartości obecnej całej inwestycji

$D=\sum _{{i=1}}^{n}\frac{t_{i}PV_{i}}{PV}=\frac{1}{PV}\sum _{{i=1}}^{n}t_{i}\; CF_{i}\; B(t_{i}).$

Convexity (wypukłość), to średni kwadrat czasu życia danej inwestycji

$C=\sum _{{i=1}}^{n}\frac{t_{i}^{2}PV_{i}}{PV}=\frac{1}{PV}\sum _{{i=1}}^{n}t_{i}^{2}\; CF_{i}\; B(t_{i}).$

Uwaga. Warto zauważyć, że duration i convexity zdefiniowane zostały za pomocą analogicznych formuł jak pierwszy i drugi moment zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym. A stąd wynika, że dla duration i convexity zachodzą podobne zależności jak dla momentów.

Jako przykład wykorzystania tej analogii pokażemy, że średni kwadrat $C$ jest większy od kwadratu średniej $D^{2}$ .

Lemat 8.1

Dla dowolnej inwestycji o dodatnich przepływach gotówki

$C\geq D^{2}.$

Ponadto równość zachodzi tylko wtedy, gdy ma miejsce dokładnie jeden niezerowy przepływ gotówki (np. $n=1$ ).

Dowód.
Rozważmy średni kwadrat odchylenia od średniej. Mamy

$0\leq\sum _{{i=1}}^{{n}}(t_{i}-D)^{2}\frac{PV_{i}}{PV}=\sum _{{i=1}}^{{n}}(t_{i}^{2}-2Dt_{i}+D^{2})\frac{PV_{i}}{PV}=$

$=\sum _{{i=1}}^{{n}}t_{i}^{2}\frac{PV_{i}}{PV}-2D\sum _{{i=1}}^{{n}}t_{i}\frac{PV_{i}}{PV}+D^{2}=C-D^{2}.$

8.2. Równoległe przesunięcia struktur terminowych

Z obserwacji rynku wynika, że struktura terminowa stóp procentowych nie jest stała, lecz zmienia się wraz z upływem czasu. Najczęściej obserwowane zmiany polegają na zwiększeniu lub zmiejszeniu średniej efektywnej intensywności o stałą, co wizualnie odpowiada przesunięciu równoległemu jej wykresu. Okazuje się, że wpływ takich zmian na wartość obecną portfela obligacji dobrze charakteryzuje się używając duration i convexity.

Definicja 8.2

Jednoparametrowa rodzina struktur terminowych czynnika dyskontującego

$B(x,t)=e^{{-xt}}B_{o}(t),\;\;\; t\geq 0,\;\; x>x_{0},$

gdzie $\; B_{o}\!:\langle 0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ ustalona nierosnąca funkcja taka, że $B_{o}(0)=1$ ,
nazywa się równoległym przesunięciem $B_{o}(t)$ .

Przykład 8.1

Gdy funkcja $B_{o}$ jest stała, to znaczy

$\forall t\geq 0\;\;\;\; B_{o}(t)=1,$

to $B(x,t)$ , $x>0$ jest rodziną wszystkich płaskich struktur terminowych.

Przykład 8.2

Gdy funkcja $B_{o}$ jest zadane przez intensywność $\delta(t)$ ,

$B_{o}(t)=\exp(-\int _{0}^{t}\delta(s)ds),$

to intensywość $B(x,t)$ wynosi

$\delta(t)+x.$

Ponieważ czynnik dyskontujący jest ściśle malejący, to otrzymujemy następujące oszacowanie $x_{0}$

$x_{0}\geq-\inf\{\delta(t):t\geq 0\}.$

Jak w podrozdziale 8.1 rozważamy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce $n$ przepływów gotówki $CF_{1},CF_{2},\dots,CF_{n}$ , odpowiednio w momentach $0<t_{1}<\dots<t_{n}$ . Zakładamy, że wszystkie $CF_{i}$ są dodatnie.

Oznaczmy przez $PV(x)$ , $D(x)$ i $C(x)$ wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze strukturą terminową $B(x,t)$ .

Lemat 8.2

$PV^{{\prime}}(x)=-PV(x)\cdot D(x),\;\; PV^{{\prime\prime}}(x)=PV(x)\cdot C(x),\;\; D^{{\prime}}(x)=D(x)^{2}-C(x).$

Dowód.

$PV^{{\prime}}(x)=\sum _{{i=1}}^{n}(CF_{i}e^{{-xt_{i}}}B_{o}(t_{i}))^{{\prime}}=\sum _{{i=1}}^{n}(-t_{i})CF_{i}e^{{-xt_{i}}}B_{o}(t_{i})=$

$=-\sum _{{i=1}}^{n}t_{i}PV_{i}(x)=-PV(x)D(x).$

$PV^{{\prime\prime}}(x)=\sum _{{i=1}}^{n}(CF_{i}e^{{-xt_{i}}}B_{o}(t_{i}))^{{\prime\prime}}=\sum _{{i=1}}^{n}t_{i}^{2}CF_{i}e^{{-xt_{i}}}B_{o}(t_{i})=$

$=\sum _{{i=1}}^{n}t_{i}^{2}PV_{i}(x)=PV(x)C(x).$

Ostatnią równość otrzymamy po zróżniczkowaniu pierwszej.

$PV(x)C(x)=PV^{{\prime\prime}}(x)=(-PV(x)D(x))^{{\prime}}=$

$=-PV^{{\prime}}(x)D(x)-PV(x)D^{{\prime}}(x)=PV(x)D(x)^{2}-PV(x)D^{{\prime}}(x).$

Po skróceniu przez $PV(x)$ otrzymujemy

$C(x)=D(x)^{2}-D^{{\prime}}(x).$

Z lematu 8.1 wynika, że w przypadku, gdy mamy co najmniej dwa dodatnie przepływy gotówki, to pochodna duration jest ujemna. Zatem

Wniosek 8.1

Gdy $n\geq 2$ to duration $D(x)$ jest ściśle malejącą funkcją zmiennej $x$ . Przy przesunięciu równoległym w górę średni czas życia maleje, a przy przesunięciu w dół rośnie.

Z punktu widzenia praktyka duration mierzy liniową część zależności wartości teoretycznej (czyli PV) od przesunięcia równoległego (czyli od ,,czynnika ryzyka” $x$ ), a convexity część kwadratową tej zależności. Rzeczywiście po zastosowaniu wzoru Taylora otrzymujemy:

Wniosek 8.2

Dla małych $h$

$PV(x+h)=PV(x)(1-hD(x)+\frac{1}{2}h^{2}C(x))+O(h^{3}).$

Rozważmy teraz ogólniejsze inwestycje, w których mamy do czynienia zarówno z wypłatami, jak i z wpłatami (przychodami i rozchodami), tzn. przepływy gotówki mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne. Niech $I$ oznacza inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce $n$ przepływów gotówki $CF_{1},CF_{2},\dots,CF_{n}$ , odpowiednio w momentach $0<t_{1}<\dots<t_{n}$ . Zakładamy, że przynajmniej jeden przepływ jest dodatni i przynajmniej jeden ujemny.
Przedstawimy $I$ jako różnicę dwóch inwestycji o przepływach nieujemnych $I^{+}$ i $I^{-}$ . W czasie trwania $I^{+}$ ( $I^{-}$ ) będzie miało miejsce $n$ przepływów gotówki $CF_{i}^{+}$ ( $CF_{i}^{-}$ ), odpowiednio w momentach $0<t_{1}<\dots<t_{n}$ ,

$CF^{+}_{i}=(CF_{i})^{+}=\max(0,CF_{i}),\;\;\;\; CF^{-}_{i}=(CF_{i})^{-}=\max(0,-CF_{i}).$

Oznaczmy przez $PV^{{\pm}}(x)$ , $D^{{\pm}}(x)$ i $C^{{\pm}}(x)$ wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze strukturą $B(x,t)$ dla inwestycji $I^{{\pm}}$ .

Lemat 8.3

Wartość obecna $PV(x)$ inwestycji $I$ jest różnicą wartości obecnych inwestycji $I^{\pm}$

$PV(x)=PV^{+}(x)-PV^{-}(x).$

Dowód.
Rzeczywiście dla każdego $i$

$CF_{i}=\max(0,CF_{i})-\max(0,-CF_{i})=CF^{+}_{i}-CF^{-}_{i}.$

Zatem

$PV(x)=\sum _{{i=1}}^{n}CF_{i}B(x,t_{i})=$

$=\sum _{{i=1}}^{n}CF^{+}_{i}B(x,t_{i})-\sum _{{i=1}}^{n}CF^{-}_{i}B(x,t_{i})=PV^{+}(x)-PV^{-}(x).$

Załóżmy dodatkowo, że dla pewnego $x_{\ast}>x_{0}$ wartości obecne obu inwestycji $I^{\pm}$ są równe $P$ , $P>0$ ,

$PV^{+}(x_{\ast})=PV^{-}(x_{\ast})=P.$

Wówczas wartość obecna inwestycji $I$ $PV(x_{\ast})$ jest równa 0. Natomiast dla $x$ bliskich $x_{\ast}$ wartość obecna $PV(x)$ zależy od duration i convexity $I^{\pm}$ .

Lemat 8.4

Dla małych $h$

$PV(x_{\ast}+h)=P(h(D^{-}(x_{\ast})-D^{+}(x_{\ast}))+\frac{1}{2}h^{2}(C^{+}(x_{\ast})-C^{-}(x_{\ast}))+O(h^{3}).$

Dowód.
Korzystamy z lematu 8.3 i wniosku 8.2.

$PV(x_{\ast}+h)=PV^{+}(x_{\ast}+h)-PV^{-}(x_{\ast}+h)=$

$=PV^{+}(x_{\ast})(1-hD^{+}(x_{\ast})+\frac{1}{2}h^{2}C^{+}(x_{\ast}))-PV^{-}(x_{\ast})(1-hD^{-}(x_{\ast})+$

$+\frac{1}{2}h^{2}C^{-}(x_{\ast}))+O(h^{3})=$

$=P(h(D^{-}(x_{\ast})-D^{+}(x_{\ast}))+\frac{1}{2}h^{2}(C^{+}(x_{\ast})-C^{-}(x_{\ast}))+O(h^{3}).$

Zauważmy, że gdy duration są równe, to część liniowa się zeruje i $x_{\ast}$ jest punktem krytycznym $PV(x)$ . Jeśli dodatkowo convexity są różne, to w $x_{\ast}$ mamy ekstremum lokalne.

Wniosek 8.3

Niech $D^{+}(x_{\ast})=D^{-}(x_{\ast})$ i $PV^{+}(x_{\ast})=PV^{-}(x_{\ast})$ . Wówczas
gdy $C^{+}(x_{\ast})<C^{-}(x_{\ast})$ , to $PV(x)$ ma w $x_{\ast}$ maksimum lokalne,
a gdy $C^{+}(x_{\ast})>C^{-}(x_{\ast})$ , to $PV(x)$ ma w $x_{\ast}$ minimum lokalne.

Jeżeli dodatkowo ograniczymy przemienność wpłat i wypłat, to okaże się, że w punkcie $x_{\ast}$ jest ekstremum globalne. Na przykład, jeśli najpierw mamy serię wypłat, potem serię wpłat i na koniec znowu serię wypłat, to w $x_{\ast}$ $PV(x)$ ma globalne minimum.

Twierdzenie 8.1

Jeżeli $CF_{i}$ zmieniają dwukrotnie znak

$CF_{1},\dots,CF_{k}>0,\;\;\; CF_{{k+1}},\dots,CF_{m}<0,\;\;\; CF_{{m+1}},\dots,CF_{n}>0,$

oraz $D^{+}(x_{\ast})=D^{-}(x_{\ast})$ i $PV^{+}(x_{\ast})=PV^{-}(x_{\ast})$ , to $PV(x)$ ma w punkcie $x_{\ast}$ silne minimum globalne

$\forall x>x_{0}\;\;\; x\neq x_{\ast}\Rightarrow PV(x)>0=PV(x_{\ast}).$

Dowód.
Niech $a$ i $b$ rozdzielają momenty przychodów i wydatków

$t_{k}<a<t_{{k+1}},\;\;\;\; t_{m}<b<t_{{m+1}}.$

W dowodzie twierdzenia wykorzystamy następujące oszacowania wariancji ,,czasu życia” inwestycji $I^{\pm}$ .

Lemat 8.5

Dla każdego $x$ większego od $x_{0}$

$C^{-}(x)-D^{-}(x)^{2}<(D^{-}(x)-a)(b-D^{-}(x)),$

$C^{+}(x)-D^{+}(x)^{2}>(D^{+}(x)-a)(b-D^{+}(x)).$

Dowód lematu.
Zauważmy, że momenty czasu $t_{i}$ , w których mają miejsce wydatki spełniają oszacowanie

$a<t_{i}<b$

zatem

$C^{-}(x)-D^{-}(x)^{2}-(D^{-}(x)-a)(b-D^{-}(x))=C^{-}(x)-(a+b)D^{-}(x)+ab=$

$=\sum _{{i=k+1}}^{{m}}\frac{-PV_{i}(x)}{PV^{-}(x)}(t_{i}^{2}-(a+b)t_{i}+ab)=\sum _{{i=k+1}}^{{m}}\frac{-PV_{i}(x)}{PV^{-}(x)}(t_{i}-a)(t_{i}-b)<0.$

Natomiast momenty czasu $t_{i}$ , w których mają miejsce przychody, spełniają oszacowanie

$t_{i}<a<b,\;\;\;\mbox{ lub }\;\;\; a<b<t_{i},$

zatem

$C^{+}(x)-D^{+}(x)^{2}-(D^{+}(x)-a)(b-D^{+}(x))=\sum\frac{PV_{i}(x)}{PV^{+}(x)}(t_{i}-a)(t_{i}-b)>0.$

Dowód twierdzenia cd.
Zamiast różnicy $PV^{+}$ i $PV^{-}$ będziemy badać ich iloraz. Niech

$F(x)=\frac{PV^{+}(x)}{PV^{-}(x)},\;\; x>x_{0}.$

Z założenia $PV^{+}(x_{\ast})=PV^{-}(x_{\ast})$ wynika, że $F(x_{\ast})=1$ . Pokażemy, że funkcja $F$ ma w tym punkcie silne minimum globalne.

$F^{{\prime}}(x)=\frac{PV^{+}(x)^{{\prime}}PV^{-}(x)-PV^{+}(x)PV^{-}(x)^{{\prime}}}{PV^{-}(x)^{2}}=\frac{PV^{+}(x)}{PV^{-}(x)}(-D^{+}(x)+D^{-}(x)).$

Z założenia $D^{+}(x_{\ast})=D^{-}(x_{\ast})$ wynika, że $F^{{\prime}}(x_{\ast})=0$ . Pokażemy, że jest to jedyny punkt, w którym pochodna $F$ się zeruje.

Niech $G(x)=D^{-}(x)-D^{+}(x)$ . Oczywiście $G(x_{\ast})=0$ . Z lematu 8.2 otrzymujemy

$G^{{\prime}}(x)=-(C^{-}(x)-D^{-}(x)^{2})+(C^{+}(x)-D^{+}(x)^{2}).$

Z oszacowania wariancji czasu życia wynika, że gdy dla pewnego $x$ $D^{+}(x)=D^{-}(x)$ (czyli $G(x)=0$ ), to $G^{{\prime}}(x)>0$ . Ponieważ $G$ jest funkcją ciągłą, to z powyższego wynika, że zeruje się ona tylko w punkcie $x_{\ast}$ i co więcej – zmienia w tym punkcie znak z ,,–” na ,,+”. Obie wartości obecne są nieujemne, zatem to samo zachodzi dla $F^{{\prime}}$ ,

$x<x_{\ast}\Rightarrow F^{{\prime}}(x)<0,\;\;\; x>x_{\ast}\Rightarrow F^{{\prime}}(x)>0.$

Czyli $F$ ma w punkcie $x_{\ast}$ silne minimum globalne. Zatem

$\forall x\neq x_{\ast}\;\;\;\;\frac{PV^{+}(x)}{PV^{-}(x)}=F(x)>F(x_{\ast})=1.$

Co kończy dowód.

Powyższe fakty są wykorzystywane w praktyce bankowej przy tworzeniu tzw. regulacji ostrożnościowych, które najczęściej sprowadzają się do ustalenia limitów na moduł różnicy duration dla pasywów i aktywów (tzw. duration gap) oraz dla różnicy convexity. Ponadto wymaga się, aby present value pasywów i present value aktywów były równe.

8.3. Przypadek płaskiej struktury czasowej

Rozważmy płaską strukturę terminową, opisaną poprzez zależność od stopy procentowej $r$

$B(t)=(1+r)^{{-t}},\;\;\; r>0.$

Biorąc pod uwagę, że rodzinę płaskich struktur terminowych można przedstawić jako rodzinę przesunięć równoległych

$B(t)=e^{{-xt}},\;\;\;\; x=\ln(1+r),$

to wyniki z poprzedniego podrozdziału stosują się również do tego przypadku. Co najwyżej należy skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej, aby opisać zależność $PV$ od $r$ .

Jak poprzednio rozważmy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce $n$ dodatnich przepływów gotówki $CF_{1},CF_{2},\dots,CF_{n}$ , odpowiednio w momentach $0<t_{1}<\dots<t_{n}$ . Oznaczmy przez $PV(r)$ , $D(r)$ i $C(r)$ odpowiednio wartość obecną, duration i convexity wyznaczone zgodnie ze strukturą $B(t)=(1+r)^{{-t}}$ .

Lemat 8.6

$PV^{{\prime}}(r)=-PV(r)\cdot\frac{D(r)}{1+r},\;\;\; PV^{{\prime\prime}}(r)=PV(r)\cdot\frac{C(r)+D(r)}{(1+r)^{2}},$

$D^{{\prime}}(r)=\frac{D(r)^{2}-C(r)}{1+r}.\;\;\;\;\;\;\;\;$

Dowód - patrz ćwiczenie 8.2.

Uwaga. Iloraz

$d=\frac{D}{1+r}.$

nazywa się zmodyfikowanym duration (w odróżnieniu od $D$ zwanego duration Macaulaya).

Na podstawie lematu 8.1 wnioskujemy, że gdy co najmniej dwa przepływy gotówki są dodatnie, to pochodna duration jest ujemna. Zatem

Wniosek 8.4

Gdy $n\geq 2$ to duration $D(r)$ jest ściśle malejącą funkcją $r$ . Gdy rynkowa stopa procentowa $r$ rośnie, to średni czas życia maleje i na odwrót, gdy $r$ maleje, to średni czas życia rośnie.

Wniosek 8.5

Gdy $n\geq 2$ to duration $D(r)$ przyjmuje wartości większe niż czas pierwszej wypłaty $t_{1}$ i mniejsze niż średni czas wypłat ważony udziałem kolejnych wypłat w ich sumie

$\{ D(r):r\in(0,\infty)\}=(t_{1},\frac{\sum t_{i}CF_{i}}{\sum CF_{i}}).$

Dowód - patrz ćwiczenie 8.3.

Z punktu widzenia praktyka duration mierzy część liniową zależności wartości teoretycznej (czyli PV) od ,,czynnika ryzyka” $r$ , a suma duration i convexity część kwadratową tej zależności. Rzeczywiście po zastosowaniu wzoru Taylora otrzymujemy:

Wniosek 8.6

Dla małych $h$ prawdziwy jest wzór

$PV(r+h)=PV(r)(1-hD(r)(1+r)^{{-1}}+\frac{1}{2}h^{2}(C(r)+D(r))(1+r)^{{-2}})+O(h^{3}).$

8.4. Future Value i immunizacja portfela obligacji

Niech $PV_{I}$ oznacza wartość obecną inwestycji $I$ .
Future Value ozn. $FV_{t}$ (wartość przyszła) to wielkość przepływu gotówki po czasie $t$ , którego wartość obecna jest równa $PV_{I}$ .

$PV_{I}=FV_{t}B(t),\;\;\;\mbox{ czyli }\;\;\; FV_{t}=\frac{PV_{I}}{B(t)}=\sum CF_{i}\frac{B(t_{i})}{B(t)}.$

W szczególności, jeżeli $I$ generuje tylko jeden przepływ gotówki $CF$ , który ma miejsce w momencie $t$ , to

$FV_{t}=CF.$

W modelach opartych na istnieniu deterministycznego procesu akumulacji $K(t)$ , Future Value interpretuje się jako wartość inwestycji $I$ w chwili $t$ . A dokładniej, jest to suma następujących dwóch kwot: kwoty otrzymanej przez reinwestowanie przepływów gotówki $CF_{i}$ dla $t_{i}<t$ i kwoty równej wartości obecnej pozostałych przepływów gotówki liczonej po upływie czasu $t$ . Niech $T$ oznacza chwilę obecną, a $F$ wartość zreinwestowanej inwestycji $I$ w momencie $T+t$ . Otrzymujemy:

$F=\sum _{{t_{i}<t}}CF_{i}\frac{K(T+t)}{K(T+t_{i})}+\sum _{{t_{i}\geq t}}CF_{i}B(T+t,t_{i}-t)=$

$=\sum CF_{i}\frac{K(T)}{K(T+t_{i})}\frac{K(T+t)}{K(T)}=\frac{PV}{B_{T}(t)}=FV_{t}.$

Na ogół w modelach stochastycznych powyższy wzór nie zachodzi. Co więcej może się okazać, że wartość oczekiwana $F$ jest różna od $FV_{t}$ .

Przeanalizujmy jak zmienia się $FV_{t}$ przy przesunięciu równoległym struktury terminowej. Niech $CF_{s}$ oznacza przepływ gotówki w momencie $s$ , a $FV_{t}(x)$ Future Value inwestycji $I$ liczoną według struktury terminowej $B(x,t)=B_{o}(t)\exp(-xt)$ .

$FV_{t}(x)=\sum _{{i=1}}^{n}CF_{{t_{i}}}\frac{B(x,t_{i})}{B(x,t)}=\sum _{{i=1}}^{n}CF_{{t_{i}}}\frac{B_{o}(t_{i})}{B_{o}(t)}e^{{-x(t_{i}-t)}}=$

$=\sum _{{t_{i}<t}}\frac{CF_{{t_{i}}}B_{o}(t_{i})}{B_{o}(t)}e^{{x(t-t_{i})}}+CF_{t}+\sum _{{t_{i}>t}}\frac{CF_{{t_{i}}}B_{o}(t_{i})}{B_{o}(t)}e^{{-x(t_{i}-t)}}.$

Zauważmy, że gdy $x$ rośnie, to rośnie pierwszy składnik i maleje ostatni; na odwrót, gdy $x$ maleje, to maleje pierwszy składnik i rośnie ostatni.

Zachodzi pytanie, w jaki sposób $FV_{t}$ zależy od $x$ . Okazuje się, że w ogólnym przypadku odpowiedź można sformułować, wykorzystując duration $D(x)$ . Dla ułatwienia ograniczymy się do takich inwestycji, w których wszystkie przepływy gotówki są dodatnie i liczba przepływów jest nie mniejsza od dwóch.

Twierdzenie 8.2

Jeżeli wszystkie przepływy gotówki inwestycji $I$ są dodatnie

$CF_{1},\dots,CF_{n}>0,\;\;\;\; t_{1}<t_{2}<\dots<t_{n},\;\;\; n\geq 2,$

oraz $D(x_{\ast})=t$ , $x_{\ast}>x_{0}$ , to $FV_{t}(x)$ ma w punkcie $x_{\ast}$ silne minimum globalne

$\forall x>x_{0}\;\;\; x\neq x_{\ast}\Rightarrow FV_{t}(x)>FV_{t}(x_{\ast}).$

Dowód.
Rozważamy nową inwestycję $I_{1}$ złożoną z inwestycji $I$ oraz inwestycji $I^{-}$ o jednym ujemnym przepływie gotówki

$CF^{-}=-FV_{t}(x_{\ast}),$

który ma miejsce po upływie czasu $t$ . Zgodnie z twierdzeniem 8.1 Present Value inwestycji $I_{1}$ $PV^{1}(x)$ ma silne globalne minimum w punkcie $x_{\ast}$

$PV^{1}(x_{\ast})=0,\;\;\; PV^{1}(x)>0\mbox{ dla }x\neq x_{\ast}.$

Ponieważ Future Value jest liniowa ze względu na inwestycje, to

$FV_{t}(x)=FV^{1}_{t}(x)+FV_{t}(x_{\ast})=\frac{1}{B(x,t)}PV^{1}(x)+FV_{t}(x_{\ast}).$

Zatem dla $x\neq x_{\ast}$ zachodzi ostra nierówność $FV_{t}(x)>FV_{t}(x_{\ast})$ .

W przypadku, gdy zachodzi tylko jeden niezerowy przepływ gotówki w chwili $t_{1}$ , to $FV_{{t_{1}}}$ nie zależy od $x$ , a dla $t<t_{1}$ (odpowiednio $t>t_{1}$ ) $FV_{t}(x)$ jest ściśle malejącą (odp. ściśle rosnącą) funkcją $x$ .

Uwaga. Dobór składu portfela obligacji o stałym oprocentowaniu taki, że średni czas życia portfela pokrywa się z momentem $t$ , dla którego wyznaczamy Future Value, nazywa się immunizacją, czyli uodpornieniem portfela. Według klasycznej teorii, należy tak dobierać skład portfela, aby był on uodporniony na przesunięcie równoległe struktury terminowej.

8.5. Ćwiczenia

Ćwiczenie 8.1

Rozważmy, podobnie jak w zadaniu 6.8, 4 inwestycje o przepływach gotówki, takich jak spłaty kredytów w przykładzie z punktu 3 podrozdziału 4.1.

	$\displaystyle I1:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=0,\;\;\; CF_{4}=1464{,}1.$
	$\displaystyle I2:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=100,\;\;\; CF_{4}=1100.$
	$\displaystyle I3:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=350,\; CF_{2}=325,\; CF_{3}=300,\; CF_{4}=275.$
	$\displaystyle I4:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=CF_{4}=315{,}47.$

Przepływy gotówki mają miejsce na koniec roku, czyli $t_{i}=i$ .

Wyznaczymy duration i convexity tych inwestycji na 4 sposoby. Zgodnie z płaską strukturą terminową

$B(t)=(1+r)^{{-t}}$

dla stopy rynkowej $r$ równej odpowiednio 9%, 10% i 11% oraz zgodnie ze wzorem Stoodleya

$B(t)=0{,}5(1{,}09)^{{-t}}+0{,}5(1{,}11)^{{-t}}.$

Odpowiedź.
Otrzymujemy następujące wartości duration:

$\begin{array}[]{|c|c|c|c|c|}\hline&r=0{,}09&r=0{,}1&r=0{,}11&Stoodley\\ \hline I1&4&4&4&4\\ I2&3{,}4956&3{,}4869&3{,}4781&3{,}4871\\ I3&2{,}2940&2{,}2829&2{,}2719&2{,}2832\\ I4&2{,}3925&2{,}3812&2{,}3700&2{,}3815\\ \hline\end{array}$

i convexity:

$\begin{array}[]{|c|c|c|c|c|}\hline&r=0{,}09&r=0{,}1&r=0{,}11&Stoodley\\ \hline I1&16&16&16&16\\ I2&13{,}1651&13{,}1187&13{,}0720&13{,}1201\\ I3&6{,}4804&6{,}4264&6{,}3731&6{,}4278\\ I4&6{,}9662&6{,}9104&6{,}8552&6{,}9119\\ \hline\end{array}$

Ćwiczenie 8.2

Udowodnij lemat 8.6

Rozwiązanie.
Niech $x(r)=\ln(1+r)$ . Wówczas

$\frac{dPV}{dr}=\frac{dPV}{dx}\frac{dx}{dr}=-PV(r)D(r)(1+r)^{{-1}}.$

$\frac{d^{2}PV}{dr^{2}}=\frac{d^{2}PV}{dx^{2}}(\frac{dx}{dr})^{2}+\frac{dPV}{dx}\frac{d^{2}x}{dr^{2}}=PV(r)C(r)(1+r)^{{-2}}+PV(r)D(r)(1+r)^{{-2}}.$

$\frac{dD}{dr}=\frac{dD}{dx}\frac{dx}{dr}=(D(r)^{2}-C(r))(1+r)^{{-1}}.$

Ćwiczenie 8.3

Udowodnij wniosek 8.5

Rozwiązanie.
Zauważmy, że granice $D(r)$ wynoszą odpowiednio:

$\lim _{{r\rightarrow 0}}D(r)=\lim _{{r\rightarrow 0}}\frac{\sum t_{i}CF_{i}(1+r)^{{-t_{i}}}}{\sum CF_{i}(1+r)^{{-t_{i}}}}=\frac{\sum t_{i}CF_{i}}{\sum CF_{i}}=\bar{t},$

$\lim _{{r\rightarrow\infty}}D(r)=\lim _{{r\rightarrow\infty}}\frac{\sum t_{i}CF_{i}(1+r)^{{-t_{i}}}}{\sum CF_{i}(1+r)^{{-t_{i}}}}=$

$=\lim _{{r\rightarrow\infty}}\frac{\sum t_{i}CF_{i}(1+r)^{{t_{1}-t_{i}}}}{\sum CF_{i}(1+r)^{{t_{1}-t_{i}}}}=\frac{t_{1}CF_{1}}{CF_{1}}=t_{1}.$

Ćwiczenie 8.4

Zakładając, że wypłaty następują na koniec roku oraz że struktura terminowa jest płaska i stopa procentowa $r$ wynosi (w skali rocznej) 10%, obliczyć średni czas życia (duration) i wypukłość (convexity) następujących obligacji w dniu emisji (pięć lat przed wykupem):
1. pięcioletnia obligacja z kuponem zerowym.
2. pięcioletnia obligacja z kuponem 10%.
3. pięcioletnia obligacja z kuponem 8%.

Rozwiązanie.
Oznaczmy przez $K$ wartość nominalną obligacji.
1. Ponieważ jest tylko jedna płatność w przyszłości

$CF_{5}=K,\;\;\; CF_{i}=0\mbox{ dla }i\neq 5.$

$PV=PV_{5}=\frac{K}{(1+r)^{5}}.$

Zatem

$D=5\frac{PV_{5}}{PV}=5\mbox{ i }C=5^{2}\frac{PV_{5}}{PV}=25.$

2. Mamy pięć płatności.

$CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=CF_{4}=0{,}1K,\;\;\; CF_{5}=1{,}1K.$

Wzór na wartość obecną przybierze postać

$PV=\frac{0{,}1K}{1{,}1}+\frac{0{,}1K}{1{,}1^{2}}+\frac{0{,}1K}{1{,}1^{3}}+\frac{0{,}1K}{1{,}1^{4}}+\frac{1{,}1K}{1{,}1^{5}}=$

$=\frac{0{,}1K}{1{,}1}+\frac{0{,}1K}{1{,}1^{2}}+\frac{0{,}1K}{1{,}1^{3}}+\frac{1{,}1K}{1{,}1^{4}}=\cdots=\frac{1{,}1K}{1{,}1}=K.$

Zatem

$D=\frac{0{,}1K}{1{,}1K}+2\frac{0{,}1K}{1{,}1^{2}K}+3\frac{0{,}1K}{1{,}1^{3}K}+4\frac{0{,}1K}{1{,}1^{4}K}+5\frac{1{,}1K}{1{,}1^{5}K}=$

$=\frac{0{,}1}{1{,}1}+\frac{0{,}2}{1{,}1^{2}}+\frac{0{,}3}{1{,}1^{3}}+\frac{0{,}4}{1{,}1^{4}}+\frac{5{,}5}{1{,}1^{5}}=4{,}1699.$

$C=1^{2}\frac{0{,}1K}{1{,}1K}+2^{2}\frac{0{,}1K}{1{,}1^{2}K}+3^{2}\frac{0{,}1K}{1{,}1^{3}K}+4^{2}\frac{0{,}1K}{1{,}1^{4}K}+5^{2}\frac{1{,}1K}{1{,}1^{5}K}=$

$=\frac{0{,}1}{1{,}1}+\frac{0{,}4}{1{,}1^{2}}+\frac{0{,}9}{1{,}1^{3}}+\frac{1{,}6}{1{,}1^{4}}+\frac{27{,}5}{1{,}1^{5}}=19{,}2658.$

3. Jak poprzednio, mamy pięć płatności.

$CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=CF_{4}=0{,}08K,\;\;\; CF_{5}=1{,}08K.$

Wzór na wartość obecną przybierze postać

$PV=\frac{0{,}08K}{1{,}1}+\frac{0{,}08K}{1{,}1^{2}}+\frac{0{,}08K}{1{,}1^{3}}+\frac{0{,}08K}{1{,}1^{4}}+\frac{1{,}08K}{1{,}1^{5}}=0{,}9242K.$

Zatem

$D=(\frac{0{,}08K}{1{,}1}+2\frac{0{,}08K}{1{,}1^{2}}+3\frac{0{,}08K}{1{,}1^{3}}+4\frac{0{,}08K}{1{,}1^{4}}+5\frac{1{,}08K}{1{,}1^{5}}):(0{,}9242K)=$

$=(\frac{0{,}08}{1{,}1}+\frac{0{,}16}{1{,}1^{2}}+\frac{0{,}24}{1{,}1^{3}}+\frac{0{,}32}{1{,}1^{4}}+\frac{5{,}4}{1{,}1^{5}}):0{,}9242=4{,}2814.$

$C=(1^{2}\frac{0{,}08K}{1{,}1}+2^{2}\frac{0{,}08K}{1{,}1^{2}}+3^{2}\frac{0{,}08K}{1{,}1^{3}}+4^{2}\frac{0{,}08K}{1{,}1^{4}}+5^{2}\frac{1{,}08K}{1{,}1^{5}}):(0{,}9242K)=$

$=(\frac{0{,}08}{1{,}1}+\frac{0{,}32}{1{,}1^{2}}+\frac{0{,}72}{1{,}1^{3}}+\frac{1{,}28}{1{,}1^{4}}+\frac{27}{1{,}1^{5}}):0{,}9242=20{,}0363.$

Odpowiedź.
Średni czas życia i wypukłość wynoszą odpowiednio:
– dla obligacji zerokuponowej: 5 i 25,
– dla obligacji z kuponem 10%: 4,1699 i 19,2658,
– a dla obligacji z kuponem 8%: 4,2814 i 20,0363.

Ćwiczenie 8.5

Zakładając, że wypłaty następują na koniec roku oraz że struktura terminowa jest płaska i stopa procentowa $r$ wynosi (w skali rocznej) 10%, obliczyć średni czas życia (duration) i wypukłość (convexity) następujących inwestycji:
1. pięcioletnia spłata kredytu, raty w równej wysokości zawierają spłatę kapitału i odsetki.
2. renta płacąca odsetki w nieskończoność.

Rozwiązanie.
Oznaczmy przez $k$ kwotę pojedynczej płatności.
1. Mamy pięć płatności

$CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=CF_{4}=CF_{5}=k.$

Wzór na wartość obecną przybierze postać

$PV=\frac{k}{1{,}1}+\frac{k}{1{,}1^{2}}+\frac{k}{1{,}1^{3}}+\frac{k}{1{,}1^{4}}+\frac{k}{1{,}1^{5}}=\frac{k}{1{,}1}\cdot\frac{1-1{,}1^{{-5}}}{1-1{,}1^{{-1}}}=\frac{1-1{,}1^{{-5}}}{0{,}1}k=3{,}7908k.$

Zatem

$D=(\frac{k}{1{,}1}+2\frac{k}{1{,}1^{2}}+3\frac{k}{1{,}1^{3}}+4\frac{k}{1{,}1^{4}}+5\frac{k}{1{,}1^{5}}):(3{,}7908k)=2{,}8101,$

$C=(1^{2}\frac{k}{1{,}1}+2^{2}\frac{k}{1{,}1^{2}}+3^{2}\frac{k}{1{,}1^{3}}+4^{2}\frac{k}{1{,}1^{4}}+5^{2}\frac{k}{1{,}1^{5}}):(3{,}7908k)=9{,}8734.$

2. Mamy nieskończenie wiele płatności

$CF_{i}=k,\;\;\; i=1,2,\dots.$

Wzór na wartość obecną przybierze postać

$PV=\sum _{{i=1}}^{{\infty}}\frac{k}{1{,}1^{i}}=\frac{k}{0{,}1}=10k.$

Zatem

$D=\sum _{{i=1}}^{{\infty}}\frac{ki}{1{,}1^{i}}:(10k)=\frac{1{,}1k}{0{,}1^{2}\cdot 10k}=11.$

$C=\sum _{{i=1}}^{{\infty}}\frac{ki^{2}}{1{,}1^{i}}:(10k)=\frac{1{,}1\cdot 2{,}1k}{0{,}1^{3}\cdot 10k}=231.$

Skorzystaliśmy tutaj z następujących wzorów sumacyjnych dla $x>1$

$\frac{1}{x-1}=\sum _{{i=1}}^{\infty}\frac{1}{x^{i}};\;\;\;\frac{x}{(x-1)^{2}}=\sum _{{i=1}}^{\infty}\frac{i}{x^{i}};\;\;\;\frac{x(x+1)}{(x-1)^{3}}=\sum _{{i=1}}^{\infty}\frac{i^{2}}{x^{i}}.$

Odpowiedź.
Średni czas życia i wypukłość wynoszą odpowiednio:
– dla renty pięcioletniej: 2,8101 i 9,8734,
– a dla renty ,,nieskończonej”: 11 i 231.

Ćwiczenie 8.6

Rozważmy 4 inwestycje o następujących przepływach gotówki:

	$\displaystyle I1:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=0,\;\;\; CF_{4}=1464{,}1.$
	$\displaystyle I2:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=100,\;\;\; CF_{4}=1100.$
	$\displaystyle I3:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=350,\; CF_{2}=325,\; CF_{3}=300,\; CF_{4}=275.$
	$\displaystyle I4:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=CF_{4}=315{,}47.$

Przepływy gotówki mają miejsce na koniec roku, czyli $t_{i}=i$ .

Wyznaczyć Future Value tych inwestycji na 4 sposoby. Zgodnie z płaską strukturą terminową

$B(t)=(1+r)^{{-t}}$

dla stopy rynkowej $r$ równej odpowiednio 9%, 10% i 11% oraz zgodnie ze wzorem Stoodleya

$B(t)=0{,}5(1{,}09)^{{-t}}+0{,}5(1{,}11)^{{-t}}.$

Odpowiedź.
Otrzymujemy następujące wartości $FV_{2}$ :

$\begin{array}[]{|c|c|c|c|c|}\hline&r=0{,}09&r=0{,}1&r=0{,}11&Stoodley\\ \hline I1&1232{,}304&1210&1188{,}296&1210{,}700\\ I2&1226{,}591&1210&1193{,}875&1210{,}530\\ I3&1213{,}191&1210&1206{,}966&1210{,}135\\ I4&1214{,}279&1210&1205{,}891&1210{,}162\\ \hline\end{array}$

i $FV_{4}$ :

$\begin{array}[]{|c|c|c|c|c|}\hline&r=0{,}09&r=0{,}1&r=0{,}11&Stoodley\\ \hline I1&1464{,}100&1464{,}1&1464{,}100&1464{,}100\\ I2&1457{,}313&1464{,}1&1470{,}973&1463{,}895\\ I3&1441{,}393&1464{,}1&1487{,}103&1463{,}417\\ I4&1442{,}685&1464{,}1&1485{,}779&1463{,}449\\ \hline\end{array}$

Podsumowując, gdy stopa rynkowa jest równa efektywnej stopie oprocentowania kredytu, to future value nie zależy od sposobu spłaty kredytu.

Ćwiczenie 8.7

Inwestor ma do dyspozycji: obligacje 4 letnie, o wartości nominalnej 100 zł i oprocentowane w wysokości 5% rocznie – płatne co rok, oraz roczne bony skarbowe o wartości nominalnej 100 zł. Zakładamy, że struktura terminowa stóp procentowych jest płaska, aktualna stopa procentowa wynosi 5%, a pierwsze wypłaty nastąpią za rok.
a. Wyznaczyć Present Value, Duration i Covexity dla obligacji oraz dla bonów.
b. Jaki powinien być skład portfela inwestora, aby Future Value dla $T=3$ lata wynosiła 1 390 252,5 zł i była uodporniona na wahania stopy procentowej?

Rozwiązanie.
a. Ponieważ stopa rynkowa jest równa stopie oprocentowania obligacji to Present Value jest równe wartości nominalnej

$PV_{1}=100.$

Natomiast Duration i Convexity wynoszą odpowiednio

$D_{1}=\frac{1}{100}\left(\frac{5}{1{,}05}+2\frac{5}{1{,}05^{2}}+3\frac{5}{1{,}05^{3}}+4\frac{105}{1{,}05^{4}}\right)=3+6698\cdot 21^{{-3}}\approx 3{,}723,$

$C_{1}=\frac{1}{100}\left(\frac{5}{1{,}05}+2^{2}\frac{5}{1{,}05^{2}}+3^{3}\frac{5}{1{,}05^{3}}+4^{4}\frac{105}{1{,}05^{4}}\right)=14+4067\cdot 21^{{-3}}\approx 14{,}439,$

Ponieważ bony generują tylko jeden przyszły przepływ gotówki (po 1 roku) to

$D_{2}=C_{2}=1,\;\;\; PV_{2}=\frac{100}{1{,}05}=95\frac{5}{21}\approx 95{,}238.$

b. Zgodnie z twierdzeniem 8.2 portfel będzie uodporniony gdy jego Duration wyniesie 3 lata ( $D=3$ ). Zatem aby wyznaczyć liczbę obligacji ( $k_{1}$ ) i bonów ( $k_{2}$ ) musimy rozwiązać układ równań:

$(k_{1}PV_{1}+k_{2}PV_{2})\cdot 1{,}05^{D}=FV,$

$k_{1}D_{1}PV_{1}+k_{2}D_{2}PV_{2}=D(k_{1}PV_{1}+k_{2}PV_{2}).$

Z drugiego równania otrzymujemy

$k_{1}\cdot 6698\cdot 21^{{-3}}=k_{2}\cdot 2\cdot\frac{20}{21}.$

Czyli

$k_{2}=k_{1}\frac{3349}{20\cdot 21^{2}}.$

Po wstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy

$k_{1}\left(100+100*\frac{20}{21}\frac{3349}{20\cdot 21^{2}}\right)\cdot\frac{21^{3}}{20^{3}}=1390252,5.$

Co po uproszczeniu daje

$k_{1}\cdot 100\cdot(21^{3}+3349)=1390252,5\cdot 20^{3},$

czyli

$k_{1}=8820\;\;\;\mbox{ i }\;\;\; k_{2}=3349.$

Odpowiedź.
a. Dla obligacji Present Value, Duration i Covexity wynoszą odpowiednio 100, 3,723 i 14,439, a dla bonów 95,238, 1 i 1.
b. Porfel spełniający warunki zadania skład się z 8 820 czteroletnich obligacji i 3 349 rocznych bonów.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Rynki kapitałowe (Matematyka finansowa I)

Zagadnienia

8. Zarządzanie portfelem instrumentów dłużnych

8.1. Duration – średni czas życia i convexity – wypukłość

Definicja 8.1

Lemat 8.1

8.2. Równoległe przesunięcia struktur terminowych

Definicja 8.2

Przykład 8.1

Przykład 8.2

Lemat 8.2

Wniosek 8.1

Wniosek 8.2

Lemat 8.3

Lemat 8.4

Wniosek 8.3

Twierdzenie 8.1

Lemat 8.5

8.3. Przypadek płaskiej struktury czasowej

Lemat 8.6

Wniosek 8.4

Wniosek 8.5

Wniosek 8.6

8.4. Future Value i immunizacja portfela obligacji

Twierdzenie 8.2

8.5. Ćwiczenia

Ćwiczenie 8.1

Ćwiczenie 8.2

Ćwiczenie 8.3

Ćwiczenie 8.4

Ćwiczenie 8.5

Ćwiczenie 8.6

Ćwiczenie 8.7