Liczba godzin 2.
Zakres materiału:
Tworzenie struktury stóp procentowych.
Empiryczną strukturę terminową wyznaczamy na podstawie następujących danych:
stóp referencyjnych na rynku międzybankowym,
cen,
kuponów i kwot wykupu obligacji
zerokuponowych
i kuponowych o stałym oprocentowaniu
oraz kontraktów FRA.
Przypomnijmy, że przez oznaczona została funkcja opisująca strukturę terminową czynnika dyskontującego.
Niech oznacza stopę procentową na okres
wyrażony w latach. Wówczas przyjmujemy
![]() |
Mamy do czynienia z dwoma przepływami pieniężnymi: zakupem i wykupem obligacji.
Niech oznacza cenę zakupu,
– kwotę otrzymaną po wykupieniu obligacji,
a
– czas życia obligacji. Wówczas kładziemy
![]() |
Ta metoda ma istotne ograniczenie. A mianowicie, obligacje zerokuponowe, będące w obrocie rynkowym, mają zwykle krótki termin
do wykupienia. W szczególności czas życia bonów skarbowych nie przekracza jednego roku.
Obligacja, z której krotnie wypłacane są odsetki (
-kuponowa) daje
przepływów pieniężnych.
Niech
– cena zakupu obligacji,
– kupony,
– ostatni kupon i kwota otrzymana po wykupieniu obligacji.
Kolejne przepływy gotówki następują po czasie
.
Stosuje się dwie metody:
A. Wyznacza się Yield to Maturity () – stopę zwrotu liczoną do
momentu zapadalności.
B. Oblicza się w momentach kolejnych przepływów finansowych w sposób łańcuchowy.
Założenie toretyczne:
Reinwestujemy otrzymane odsetki
z tą samą efektywną stopą zwrotu.
Czyli szukamy takiej efektywnej stopy zwrotu , że
![]() |
Lub po podzieleniu przez
![]() |
Następnie wyznaczamy z wzoru
![]() |
Zauważmy, że jest to równoważne przyjęciu, że efektywna stopa zwrotu jest równa stopie zwrotu liczonej do momentu zapadalności
![]() |
Jeśli znamy dla
, to
wyznaczamy ze wzoru
![]() |
Stosując jedną lub drugą metodę, otrzymujemy wartości dla skończonej ilości punktów
. Następnie należy skonstruować funkcję malejącą, która przedłuży naszą empiryczną
określoną dla
, albo dobrać funkcję ,,modelową”, która przybliży empiryczne
.
Korzystamy ze wzoru z lematu 3.5.
Jeśli znamy stopę FRA na okres oraz
, to wówczas
![]() |
W dniu 27 sierpnia 2004 roku na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie było notowanych pięć serii obligacji zerokuponowych OKmmrr, wszystkie o nominale 1000 zł. Wyznaczyć strukturę terminową.
Rozwiązanie
W poniższej tabeli
podane są ich terminy zapadalności obligacji i ceny, po jakich można było je zakupić. Na tej podstawie
wyznaczone zostały: czas życia ,
,
i
.
Dla uproszczenia przyjęliśmy, że 1 dzień, to
część roku.
seria | OK1204 | OK0405 | OK0805 | OK0406 | OK0806 |
termin | 12.12. | 12.04. | 12.08. | 12.04. | 12.08. |
zapadalności | 2004 | 2005 | 2005 | 2006 | 2006 |
cena | |||||
w zł (![]() |
980,5 | 957 | 934,8 | 888,5 | 866,4 |
czas życia | |||||
w latach (![]() |
0,2932 | 0,6247 | 0,9589 | 1,6247 | 1,9589 |
![]() |
0,9805 | 0,957 | 0,9348 | 0,8885 | 0,8664 |
![]() |
0,06718 | 0,07036 | 0,07031 | 0,07277 | 0,07321 |
![]() |
0,06948 | 0,07290 | 0,07284 | 0,07548 | 0,07595 |
Rozważmy obligację WS0922. Jest to obligacja o stałym oprocentowaniu 5,75% (w skali roku)
i terminie zapadalności 2022-09-23. Nominał wynosi 1000 zł. Odsetki wypłacane są co roku we wrześniu.
W dniu 11 sierpnia 2004 na GPW w Warszawie za tę obligację płacono 890,90 zł.
Wyznaczyć stopę zwrotu liczoną do momentu zapadalności ().
Rozwiązanie
Stosujemy metodę YTM.
Mamy 19 okresów odsetkowych (). Z pierwszego pozostało tylko 43 dni, pozostałe są jednoroczne.
![]() |
Czas życia obligacji wynosił
![]() |
YTM wyznaczamy z równania
![]() |
Po wstawieniu wartości liczbowych równanie to wygląda następująco:
![]() |
Jego jedynym dodatnim pierwiastkiem jest
![]() |
Zatem
![]() |
Rozważmy obligację WS0437. Jest to obligacja o stałym oprocentowaniu 5% (w skali roku)
i terminie zapadalności 2037-04-25. Nominał wynosi 1000 zł. Odsetki wypłacane są co roku w kwietniu.
W dniu 21 listopada 2011 na GPW w Warszawie kurs tej obligacji wynosił 89.
Wyznaczyć stopę zwrotu liczoną do momentu zapadalności ().
Rozwiązanie
Stosujemy metodę YTM.
Mamy 26 okresów odsetkowych (). Z pierwszego pozostało tylko 156 dni, pozostałe są jednoroczne.
Naliczone odsetki wynoszą (po zaokrągleniu do groszy)
![]() |
Otrzymujemy
![]() |
Czas życia obligacji wynosił
![]() |
YTM wyznaczamy z równania
![]() |
Po wstawieniu wartości liczbowych równanie to wygląda następująco:
![]() |
Jego jedynym dodatnim pierwiastkiem jest
![]() |
Rozważmy grudniowe obligacje z serii SP: SP1206, SP1207 i SP1208. Są to obligacje o stałym oprocentowaniu,
odpowiednio
9,0%, 5,5% i 6,6% (w skali roku),
o terminach zapadalności 2006-12-03, 2007-12-02 i 2008-12-01. Nominał wynosi 100 zł.
Odsetki wypłacane są co roku na początku grudnia.
W dniu 27 sierpnia 2004 na GPW w Warszawie za te obligacje płacono
odpowiednio 109,06 zł, 98,09 zł i 100,35 zł.
Wyznaczyć strukturę terminową.
Rozwiązanie
Stosujemy metodę łańcuchową.
Dla uproszczenia przyjmiemy, że okresy odsetkowe kończą się 2 grudnia.
Wówczas
![]() |
Wartości i
nie możemy określić za pomocą notowań obligacji serii SP.
Przybliżymy, je korzystając z notowań obligacji zerokuponowych z przykładu 1.8.1.
![]() |
,
i
wyznaczamy metodą łańcuchową.
![]() |
Zatem .
![]() |
Czyli .
![]() |
Otrzymujemy .
Uzyskane wyniki są zebrane w poniższej tabeli.
seria | SP1206 | SP1207 | SP1208 |
termin zapadalności | 2006-12-03 | 2007-12-02 | 2008-12-01 |
kupony | 9,00 | 5,50 | 6,60 |
cena w zł | 109,06 | 98,09 | 100,35 |
czas życia w latach (![]() |
2,27 | 3,27 | 4,26 |
![]() |
0,8441 | 0,7870 | 0,7231 |
![]() |
0,0776 | 0,0761 | 0,0790 |
![]() |
0,0747 | 0,0734 | 0,0760 |
Przedłużamy funkcję jako funkcję kawałkami wykładniczą (kawałkami płaska struktura terminowa).
Przyjmujemy, że
i
,
a dla
,
, wyznaczamy
jako ważoną średnią geometryczną
i
. Kładziemy
![]() |
![]() |
Zauważmy, że taka metoda przedłużania ,,zachowuje” płaską strukturę czasową.
Jeśli dla
to po przedłużeniu
dla dowolnego
.
W oparciu wartości wyznaczone w ćwiczeniach 5.1 i 5.3
wyznaczyć łączną strukturę terminową.
Rozwiązanie
Mamy
![]() |
![]() |
gdzie:
![]() |
![]() |
Po przedłużeniu otrzymujemy:
![]() |
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.