Rozważmy ciąg płatności mających miejsce odpowiednio w momentach
. Na przykład
– zakup obligacji (
),
– odsetki (kupony)
(
),
– odsetki i wykup obligacji (
).
Dla płaskiej struktury terminowej mamy
![]() |
lub jeśli zastąpimy stopę procentową intensywnością
![]() |
Pytanie: Przy jakiej stałej stopie procentowej (intensywności
) inwestycja jest opłacalna,
tzn.
?
Aby odpowiedzieć na to pytanie, wprowadza się pojęcie wewnętrznej stopy zwrotu.
Wewnętrzną stopą zwrotu – (Internal Rate of Return)
nazywamy dodatni pierwiastek
,,równania wartości”
![]() |
Natomiast wewnętrzną intensywością nazywamy dodatnią liczbę , dla której
![]() |
Jak łatwo zauważyć, wewnętrzna stopa zwrotu, to taka stopa procentowa, przy której
wartość obecna wpływów z inwestycji jest równa wartości obecnej
nakładów inwestycyjnych. Podobnie wewnętrzna intensywność, to taka intensywność oprocentowania,
przy której
wartość obecna wpływów z inwestycji jest równa wartości obecnej
nakładów inwestycyjnych.
Oczywiście obie te wielkości są związane zależnością
![]() |
Zilustrujemy definicje na przykładzie.
Rozważmy pięcioletni projekt
inwestycyjny:
Rok | Nakłady | Przychody | ![]() |
0 | 5000 | 0 | -5000 |
1 | 2000 | 0 | -2000 |
2 | 1000 | 2000 | 1000 |
3 | 1000 | 3000 | 2000 |
4 | 1000 | 4000 | 3000 |
5 | 1000 | 5000 | 4000 |
Zgodnie z danymi z tabelki mamy
![]() |
Jedynym dodatnim miejscem zerowym jest 0,10193. Zatem
.
W ogólnym przypadku funkcja może nie mieć miejsc zerowych lub może się zerować
w kilku punktach.
Rozważmy następujący przykład:
Inwestor wpłaca 100 natychmiast i 132 na
koniec dwóch lat w zamian za 230 otrzymane na koniec pierwszego roku.
Równanie wartości dla tej transakcji ma postać
![]() |
lub
![]() |
Po sprowadzeniu do postaci iloczynu mamy
![]() |
Stąd stopą zwrotu jest lub
.
Wprawdzie nie jest rzeczą łatwą pogodzić się z faktem, że istnieją
transakcje z wieloma stopami zwrotu, jednak gdy zaobserwujemy, że funkcja
po pomnożeniu przez
jest
wielomianem
-tego stopnia zmiennej
,
to staje się oczywiste, że
posiada ona – licząc pierwiastki
zespolone i pierwiastki wielokrotne –
miejsc zerowych.
Można sobie wyobrazić przypadki jeszcze bardziej niezwykłe:
Inwestor A może pożyczyć 1000 od inwestora B na rok na 8%
oraz natychmiast zainwestować tę kwotę na rok na 10%. Jaka jest stopa
zwrotu inwestora A?
Odpowiedź. Zysk inwestora A w ciągu roku wynosi 20, ale kwota, którą zainwestował rzeczywiście A, wynosi 0. Tak więc jego stopa zwrotu jest nieskończona.
Jaka jest stopa zwrotu z transakcji, w której inwestor płaci
100 natychmiast oraz 101 na końcu dwóch lat
w zamian za 200 otrzymane na koniec roku?
Odpowiedź. Równaniem wartości jest
![]() |
co oznacza, że
![]() |
W tym przypadku wewnętrzna stopa zwrotu nie istnieje.
Pokażemy, że dla w miarę naturalnych ograniczeń na przepływy gotówki istnieje.
Wystarczy, że
suma wypłat przewyższa sumę wpłat i pierwsza jest wpłata.
Jeżeli i
to istnieje
.
Dowód.
Rozważmy funkcję
![]() |
![]() |
Funkcja jest ciągła i ponadto zmienia znak. Zatem,
musi istnieć punkt, w ktorym przyjmuje wartość zero
.
Teza lematu pozostanie prawdziwa, gdy pierwszy przepływ gotówki (wpłata) ma miejsce w momencie .
Jeżeli ,
i
to istnieje
.
Dowód patrz ćwiczenie 7.1
Warunki gwarantujące jednoznaczność nie są już tak oczywiste. Najprostszy przypadek to ,,najpierw wpłaty, a potem wypłaty”. W szczególności obejmuje to przypadek inwestycji w obligacje, kiedy mamy jedną wpłatę, a następnie same wypłaty.
Jeżeli ,
i
to istnieje
dokładnie jedna
.
Dowód.
Niech ,,rozdziela” wpłaty i wypłaty
![]() |
Wyłączamy czynnik wykładniczy z
.
![]() |
Następnie rozkładamy sumę na część dodatnią i ujemną. Zauważmy, że funkcja
![]() |
jest ściśle malejąca. Rzeczywiście dla
i
. Ponadto
![]() |
Również funkcja
![]() |
jest ściśle malejąca. Rzeczywiście dla
i
. Ponadto
![]() |
Zatem funkcja jest ciągła, ściśle malejąca i zmienia znak
![]() |
Ponieważ czynnik wykładniczy nigdzie się nie zeruje, to istnieje dokładnie jedno miejsce zerowe funkcji .
Powyższy lemat można uogólnić na przypadek, gdy pierwsza wpłata następuje po czasie .
Jeżeli ,
,
i
to istnieje
dokładnie jedna
.
Bardziej skomplikowany przypadek to ,,jedna zmiana znaku skumulowanego przepływu”.
Oznaczmy przez skumulowany przepływ.
![]() |
Jeżeli , dla
i
, dla
i ponadto
są wymierne,
to istnieje dokładnie jedna
.
Dowód.
Niech wspólny mianownik
.
Oznaczmy przez
przepływ gotówki w momencie
.
.
![]() |
Zaczniemy od dowodu pomocniczego faktu.
![]() |
![]() |
![]() |
Zatem, gdy
![]() |
to
![]() |
Dalej powtarzamy rozumownie z poprzedniego lematu i pokazujemy, że istnieje dokładnie jedna .
Załóżmy, że istnieje dokładnie jedna ,
i
. Możemy wówczas przeformułować
kryterium inwestycyjne oparte na
(2.1.4)
obliczonej dla płaskiej struktury terminowej. Niech
– czynnik dyskontujący.
Jeżeli , to inwestycja jest opłacalna, a gdy
, to nieopłacalna.
Dowód. zmienia znak w
z ,,+” na ,,–”. Zatem gdy
, to
, a gdy
, to
.
Uwaga. Gdy to
wyznacza tzw. ,,margines bezpieczeństwa”.
Gdy nie jest wyznaczone jednoznacznie (istnieje kilka miejsc zerowych), ale
i
, to można sformułować jedynie dużo słabsze kryterium:
Jeżeli , to inwestycja jest opłacalna, a gdy
, to nieopłacalna.
Rozważmy dwa wykluczające się projekty. W projekcie A nakłady
inwestycyjne wynoszą 7000 zł, natomiast wpływy 3430 zł, płatne na koniec każdego
z trzech lat. W projekcie B nakłady inwestycyjne wynoszą 12000 zł, a wpływy 5520 zł,
płatne na koniec każdego z trzech lat. Przy założeniu, że koszt
kapitału wynosi 10% rocznie (rynkowa stopa procentowa),
stosując kryterium PV oraz ,
rozstrzygnąć, który projekt należy wybrać.
Rozwiązanie.
Dla projektu A mamy , a dla projektu B
.
Obie te stopy są wyższe od stopy rynkowej, zatem obie inwestycje są opłacalne.
Na pytanie, którą z nich wybrać, nie ma jednoznacznej odpowiedzi.
Inwestycja A ma wyższą wewnętrzną stopę zwrotu, czyli większy margines bezpieczeństwa.
Za to inwestycja B ma wyższą wartość obecną. Rzeczywiście dla
mamy
i
.
Oznacza to, że gdy porównujemy dwie opłacalne inwestycje, to nasze kryteria
mogą dawać sprzeczne wnioski
.
Rozważmy obligację, z której krotnie wypłacane są odsetki (obligacja
-kuponowa),
co daje
przepływów pieniężnych.
Niech
– cena zakupu,
– kupony,
– ostatni kupon i kwota otrzymana po wykupieniu obligacji.
Kolejne przepływy gotówki następują, odpowiednio, po czasie
.
Dla takiej obligacji stopa zwrotu liczona do momentu zapadalności () jest wyznaczona przez równanie
![]() |
Lub po podzieleniu przez
![]() |
To samo równanie wyznacza wewnętrzną stopę zwrotu.
![]() |
Ponadto spełnione są założenia lematu 2.2.3. Zatem jest wyznaczona jednoznacznie.
Wewnętrzna stopa zwrotu znalazła swoje miejsce w obowiązujących w Polsce aktach prawnych
dotyczących kredytów. W ustawie o kredycie konsumenckim ([45, 46])
ustawodawca wprowadził wymóg informowania kredytobiorcy o
,,rzeczywistej rocznej stopie oprocentowania”, którą dla kredytów o stałym
oprocentowaniu wyznacza się jako wewnętrzną stopę
zwrotu dla wszystkich przepływów gotówki wynikających z danej umowy kredytowej.
Zatem jest to stopa procentowa , która spełnia następujące równanie
![]() |
gdzie, – numer kolejnego przepływu gotówki;
– czas wyrażony w latach, pomiędzy pierwszą wypłatą i
-tym przepływem gotówki (
),
wyznaczony zgodnie z zasadą ,,dokładnej liczby dni” (patrz podrozdział 1.3.8);
–
-ty przepływ gotówki;
![]() |
Transze kredytu () bierzemy ze znakiem minus, a raty kredytowe (
), zapłacone odsetki
,
prowizje i inne opłaty (
) ze znakiem plus.
Zgodnie z ustawą, rzeczywistą roczną stopę oprocentowania podaje się z dokładnością co najmniej do 1 promila.
1. Przypadek nieskończonej liczby płatności.
Równanie wartości ma postać
![]() |
Zadanie jest dobrze postawione, gdy szereg jest zbieżny.
2. Przypadek ciągłego strumienia płatności.
Równanie wartości ma postać
![]() |
gdzie: cena (koszt inwestycji) (
),
gęstość płatności.
Oznaczmy przez skumulowany przepływ gotówki
![]() |
Jeżeli , dla
i
, dla
i ponadto funkcja
jest ograniczona i
,
to istnieje dokładnie jedna
.
Dowód.
Rozważmy funkcję ,
![]() |
Jak łatwo zauważyć, zmienia ona znak i
. Ponieważ jest ciągła,
to posiada miejsca zerowe.
Po scałkowaniu przez części otrzymamy
![]() |
![]() |
![]() |
Ponieważ obie otrzymane całki są funkcjami malejącymi zmiennej , to
zeruje się tylko w jednym punkcie.
Udowodnić lemat 7.2.
Rozwiązanie.
Mamy , zatem
![]() |
Oznaczmy drugi czynnik przez ,
![]() |
Ponieważ i
, to
![]() |
Funkcja jest ciągła i ponadto zmienia znak. Zatem,
istnieje punkt
taki, że
.
Udowodnić lemat 7.4.
Zainwestowane 200 zł zwracają 120 zł po roku i 110 zł po dwóch latach. Wyznaczyć wewnętrzną stopę zwrotu dla tej inwestycji.
Rozwiązanie.
Równanie wartości ma postać
![]() |
Skracamy współczynniki przez 10, podstawiamy i mnożymy równanie przez
. Otrzymujemy równanie kwadratowe
![]() |
wynosi 1024 czyli
. Zatem pierwiastek większy od 1 to
![]() |
Czyli .
Odpowiedź.
Wewnętrzna stopa zwrotu rozpatrywanej inwestycji wynosi 10%.
Która z poniższych inwestycji ma wyższą wewnętrzną stopę zwrotu?
Inwestycja A.
Zakup za 900 zł czteroletniej kuponowej obligacji o wartości nominalnej 1 000 zł
o stałym rocznym oprocentowaniu 20% (odsetki płatne po upływie kolejnego roku).
Inwestycja B.
Zakup za 800 zł zerokuponowej rocznej obligacji o wartości nominalnej 1 000 zł.
Rozwiązanie.
Wewnętrzna stopa zwrotu dla zerokuponowej rocznej obligacji o wartości nominalnej 1 000 zł i cenie 800 zł jest równa ,,zwykłej” stopie zwrotu i wynosi
![]() |
Wyznaczamy Present Value inwestycji A dla .
![]() |
Ponieważ jest funkcją malejącą to jej miejsce zerowe (
) leży na lewo od 0,25.
Odpowiedź.
Inwestycja B ma wyższą wewnętrzną stopę zwrotu.
Kredytobiorca otrzymał kredyt 10 tys. zł wypłacony w dwóch równych transzach w odstępie rocznym.
W kolejnych latach kredytobiorca spłacił kredyt w czterech równych ratach po 3000 zł.
Spłaty miały miejsce po dwóch, trzech, czterech i pięciu latach od dnia
wypłaty pierwszej transzy. Ponadto przy wypłacie pierwszej transzy pobrano prowizję
w wysokości 500 zł. Ile wyniosła rzeczywista roczna stopa oprocentowania?
Rozwiązanie.
Mamy sześć przepływów gotówki ,
,
,
.
![]() |
![]() |
![]() |
Z lematu 2.2.3 wynika, że dla powyższych przepływów gotówki wewnętrzna stopa zwrotu,
a więc i rzeczywista roczna stopa oprocentowania są wyznaczone jednoznacznie.
Zatem
jest jedynym dodatnim pierwiastkiem równania
![]() |
Po jego rozwiązaniu otrzymujemy
![]() |
Odpowiedź.
Rzeczywista roczna stopa oprocentowania wynosi 8,3%.
Sklep z artykułami gospodarstwa domowego proponuje swoim klientom ,,kredyt 0%”.
Należność za nabyty towar klient płaci w 12 równych miesięcznych ratach.
Ponadto za udzielenie kredytu pobierana jest prowizja, która wynosi 5% kwoty kredytu.
Wiedząc, że pierwsza rata ma miejsce po miesiącu od zawarcia umowy kredytowej (i zakupu towaru), a prowizja
jest pobierana w dniu zawarcia umowy, wyznacz rzeczywistą roczną stopę oprocentowania.
Rozwiązanie.
Mamy trzynaście przepływów gotówki . Dla uproszczenia przyjmiemy zasadę równych miesięcy
.
Niech
oznacza kwotę kredytu.
![]() |
![]() |
Zatem rzeczywista roczna stopa oprocentowania jest jedynym dodatnim pierwiastkiem równania
![]() |
Po jego rozwiązaniu otrzymujemy
![]() |
Odpowiedź.
Rzeczywista roczna stopa oprocentowania wynosi 10%.
Inwestor zakupił za 100 JM rentę o ciągłym stałym strumieniu płatności o gęstości 10 w skali roku. Płatności zaczną się za rok i będą trwały nieprzerwanie 11 lat. Wyznaczyć wewnętrzną stopę zwrotu.
Rozwiązanie.
Równanie wartości ma postać
![]() |
Jego pierwiastek to .
Zatem .
Odpowiedź.
Wewnętrzna intensywnośc wynosi 0,0148, a wewnętrzna stopa zwrotu 0,0149.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.