Zgodnie z Twierdzeniem 2.43 typowe pola wektorowe na zwartej wymia-
rowej rozmaitości
są orbitalnie strukturalnie stabilne. Jeśli oznaczymy przez
nieskończenie wymiarową przestrzeń wszystkich pól wektorowych na
(danej klasy i z odpowiednią
topologią, o której nie będziemy mówić), to podzbiór
, nazywany zbiorem bifurkacyjnym, przestrzeni
złożony z pól, które nie są orbtalnie strukturalnie
stabilne, powinien mieć kowymiar
Należy się spodziewać, że ten podzbiór
jest na ogół gładki, ale może mieć punkty nieregularne (jak na Rysunku 3.1). Te ostatnie punkty
powinny odpowiadać polom wektorowym, które mają osobliwości
bardziej skomplikowane niż pola odpowiadające typowym punktom z
Jeśli wybierzemy przypadkowo pojedyncze pole z , to z
prawdopodobieństwem 1 będzie ono poza zbiorem
Ale cała rodzina
pól
wektorowych stanowi krzywą w
i już może przeciąć hiperpowierzchnię
Spodziewamy się też,
że dla typowej rodziny odpowiednia krzywa przetnie hiperpowierzchnię
pod kątem i w punktach typowych tej hiperpowierzchnii (patrz
Rysunek 3.1).
Teoria bifurkacji zajmuje się badaniem zarówno geometrii zbioru
bifurkacyjnego jak i zachownia się wieloparametrowych rodzin pól wektorowych. My ograniczymy się do
parametrowych rodzin.
Należy zwrócić uwagę na jeszcze jeden aspekt tej sytuacji.
Na przestrzeni działa grupa
orbitalnych równoważności i podzbiór bifurkacyjny
jest niezmienniczy
względem tego działania. Należy zatem powiązać analizę
parametrowych rodzin
z działaniem
grupy
V. Arnold w [5] wprowadził raz na zawsze porządek na tym
polu i poniższe definicje pochodzą od niego. My podajemy te
definicje dla
parametrowych rodzin, ale łatwo je uogólnić na
przypadek wieloparametrowy.11Ta filozofia pracuje również w innych ogólnych sytuacjach. Na
przykład, gdy
jest przestrzenią funkcji
na rozmaitości a
jest grupą dyfeomorfizmów
rozmaitości z działaniem
Podobnie
może być przestrzenią dyfeomorfizmów
rozmaitości
a grupa
dyfeomorfizmów
może działać poprzez sprzężenie:
.
Definicja 3.1. Dwie rodziny i
,
, pól wektorowych na
są orbitalnie równoważne, jeśli dla każdego
pola
i
są orbitalnie równoważne za pomocą
homeomorfizmu
który zależy w sposób ciągły od parametru
Mówimy, że rodzina jest
indukowana z rodziny
, jeśli istnieje ciągłe od wzorowanie
takie, że
![]() |
Rodzina z zadanym polem
, jest wersalna, jeśli
dowolna inna rodzina
z
jest orbitalnie równoważna rodzinie
indukowanej z rodziny
Przykład 3.2. Rodzina jest indukowana z
rodziny
przy pomocy zamiany zmiennych
Przykład 3.3. Weźmy modelową rodzinę pól wektorowych
![]() |
(3.1) |
Odpowiednie portrety fazowe są przedstawione na Rysunku 3.2.
Weźmy teraz dowolną rodzinę postaci
![]() |
(3.2) |
gdzie jest gładką funkcją w otoczeniu
. Twierdzę, że
dla dażdego pole wektorowe
posiada albo 1 albo 2 albo 0 punktów osobliwych w otoczeniu
Aby to zobaczyć rozważmy równanie
![]() |
gdzie Ponieważ
to
i z Twierdzenia o
Funkcji Uwikłanej wynika istnienie gładkiej funkcji
takiej, że jest spełnione równanie
To oznacza, że punkt
![]() |
jest punktem lokalnego minimum funkcji
Mamy trzy możliwości na wartość pola
w punkcie
(i)
(ii)
(iii)
W przypadku (i) pole
ma dokłanie jeden punkt równowagi (typu siodło–węzeł), w przypadku (ii) pole
ma dwa hiperboliczne punkty równowagi a w przypadku (iii) nie ma żadnych punktów równowagi (patrz Rysunek 3.3).
Zatem dla każdego portret fazowy pola
jest
topologicznie równoważny z portretem fazowym pola
dla odpowiedniego
Pojawia się naturalne pytanie, czy można tak dobrać
i homeomorfizmy
realizujące orbitalne sprzężenie
z
aby zależność od
była ciągła. Okazuje się, że tak; to oznacza, że rodzina (3.1) jest wersalna.
Aby się o tym przekonać, rozważmy najpierw przypadek, gdy
(a) w (3.2). Wtedy
krzywa punktów równowagi
![]() |
pola na płaszczyżnie zmiennych
jest `pionowa' i
homeomorficzna z parabolą (patrz Rysunek 3.4). Również parabolą jest krzywa punktów równowagi
dla pola
W zależności od znaku kładziemy
lub
czyli dalej można
zakładać, że obie `parabole' są zorientowane tak samo. W tym
przypadku konstrukcję homeomorfizmów
czyli
homeomorfizmu płaszczyzny
![]() |
rozpoczynamy od konstrukcji homeomorfizmu pomiędzy krzywymi punktów równowagi: . Następnie przedłużamy
ten homeomorfizm do homeomorfizmu płaszczyzny, tak aby odcinki pionowe (w
poza punktami równowagi przechodziły na
odpowiednie odcinki pionowe. Jest raczej jasne, że tak da się zrobić.
(b) W zdegenerowanym przypadku, gdy
krzywa punktów równowagi
może być bardzo
skomplikowana (patrz Rysunek 3.5). Ale wiemy, że z każdą prostą pionową
ta krzywa ma co najwyżej dwa
punkty przecięcia. Oznaczmy
przecięcie
z
taką prostą. Zatem konstrukcja przeparametryzowania
polega na tym aby parametry
dla których
przeszły na lewo od
a parametry
dla których
przeszły na prawo od
(z zachowaniem ciągłości). Następnie, powtarzając
argumenty z przypadku (a), konstrujemy najpierw ciągłe przekształcenie
pomiędzy krzywymi
i
a następnie przedłużamy
je w sposób ciągły z zachowaniem pionowości.
Matematycznym aparatem do ścisłego sformułowania teorii bifurkacji i odpowiednich twierdzeń jest teoria transwersalności sformułowana przez francuskiego matematyka R. Thoma.
Niech będzie
wymiarową rozmaitością a
będzie jej
wymiarową podrozmaitością. Ponadto niech
będzie
wymarową rozmaitością a
![]() |
będzie odwzorowaniem różniczkowalnym (o wystarczającej
klasie różniczkowalności). W przypadku zwartych rozmaitości i
w przestrzeni
odwzorowań wprowadza się
naturalną topologię (której nie będę uściślał).
Definicja 3.4. Mówimy, że odwzorowanie jest transwersalne do podrozmaitości
jeśli dla każdego
punktu
takiego, że
ma miejsce następująca własność
![]() |
Gdy jest podrozmaitością i
jest włożeniem, to mówimy, że
jest transwersalne do
gdy własność
![]() |
zachodzi dla każdego punktu Mamy standardowe oznaczenia
![]() |
dla własności transwersalności.
Przykład 3.5. (a) Niech oraz
i
będą gładkimi krzywymi. Wtedy
gdy
krzywa
przecina krzywę
pod niezerowym kątem (patrz Rysunek
3.6).
(b) Niech
to krzywa i
to
powierzchnia. Rysunek 3.7 pokazuje przypadki transwersalności i
nietransweralsności.
(c) Przypadek i dwu powierzchni
,
przedstawia Rysunek 3.8.
(d) Gdy i
są krzywymi, to
wtedy i tylko wtedy gdy krzywe są rozłączne.
(e) Niech
i
oraz niech
będzie zadane wzorem
Oczywiście
tylko
dla
Ale wtedy
Zatem
Ten przykład
pokazuje zasadność własności transwersalności odwzorowania
to podrozmaitości.
Zachodzi następujące fundamentalne twierdzenie pochodzące od
Thoma12To Twierdzenie Thoma o Transwersalności, jak również jego uogólnienie podane poniżej, stanowiły istotny element stworzonej
przez niego Teorii Katastrof . Ta teoria zawiera w sobie po części
teorię osobliwości odwzorowań i funkcji jak również teorię bifurkacji układów dynamicznych.
Warto jeszcze dodać, że w przypadku uogólnienia Twierdzenia
Thoma na przypadek rozmaitości niezwartych wprowadza się specjalną topologię (tzw. topologię Whitney'a) w przestrzeni odwzorowań klasy .
Twierdzenie 3.6 (Thom). Niech
i
będą ustalonymi zwartymi rozmaitościami jak powyżej. Wtedy podzbiór przestrzeni odwzorowań
złożony z odwzorowań, które są transwersalne do
jest otwarty i gęsty.
To oznacza, że, z jednej strony, jeśli odwzorowanie jest transwersalne do
to dowolne bliskie niemu
odwzorowanie
też jest transwersalne do
a, z drugiej strony, jeśli
nie jest
transwersalne, to dowolnie blisko niego istnieje odwzorowanie
które już jest transwersalne.
Dowód. Nietrudno zauważyć, że można ograniczyć się do sytuacji lokalnej, gdy i
są podzbiorami otwartymi a
![]() |
jest (lokalnie) podprzestrzenią kowymiaru (Zadanie 3.16).
Wtedy i
![]() |
Jeśli , tzn.
to
jest transwersalne w
do
wtedy i tylko wtedy gdy wektory
razem z
wektorami
rozpinają
(Tutaj
i
są
bazowymi wektorami w
i
odpowiednio.) Do
tego wystarczy, aby rzuty wektorów
na
przestrzeń ilorazową
rozpinały tę przestrzeń. To oznacza, że macierz
![]() |
ma rząd
Mamy dwie możliwości:
(i) i wtedy rząd jest mniejszy od
(ii) (wtedy własność rk
jest warunkiem otwartym w przestrzeni macierzy).
W przypadku (i) transwersalność oznacza brak przecięcia
z
i jest to warunek otwarty w przestrzeni odwzorowań. Również w przypadku (ii) nietrudno pokazać, że warunek transwersalności też jest otwarty (Zadanie 3.13).
Aby udowodnić gęstość własności transwersalności musimy wprowadzić dodatkowe pojęcia (Zadanie 3.14).
W przypadku (ii) weźmy lokalne odwzorowanie
![]() |
Przypomnijmy (patrz Definicja 3.7 poniżej), że jest punktem
krytycznym dla
jeśli rk
rk
a wartość
nazywa się wartością
krytyczną dla
. Skorzystamy z klasycznego Twierdzenia Sarda
(Twierdzenie 3.7 poniżej), które zapewnia, że zbiór wartości krytycznych dla
jest `rzadki'. Zgodnie z Zadaniem 3.15
gdy
nie jest wartością krytyczną dla
Niech
będzie wartością niekrytyczną dla
i bliską zeru. Zaburzymy odwzorowanie
w następujący sposób
![]() |
Latwo sprawdzić, że jest transwersalne do
(Zadanie 3.16). ∎
Definicja 3.7. Niech będzie odwzorowaniem różniczkowalnym. Mówimy, że że
jest punktem krytycznym dla
jeśli rk
nie jest maksymalny. Wartość
w punkcie krytycznym nazywa się wartością
krytyczną dla
Twierdzenie 3.8 (Sard). Zbiór wartości krytycznych
dla odwzorowania różniczkowalnego dostatecznie wysokiej klasy gładkości ma zerową miarę Lebesque'a.
Uzasadnienie. Rozważmy przypadek . Nie jest wykluczone,
że wartości krytyczne dla
mogą tworzyć zbiór gęsty w
.
Możemy jednak pokryć każdy punkt krytyczny odcinkiem
o szerokości
dla dowolnie małego
Ponieważ
to długość obrazu
takiego odcinka będzie szerokości rzędu
(patrz Rysunek 3.9). Zatem
![]() |
co dąży do zera przy
W istocie ten sam argument pracuje przy dowolnych (Zadanie 3.17).
Gdy
dowód jest bardziej skomplikowany (z rozbiciem
na podzbiory stałego rzędu macierzy
∎
Następująca definicja jest potrzebna do uogólnienia Twierdzenia Thoma. Niech
![]() |
(3.3) |
będzie odwzorowaniem dostatecznie wiele razy różniczkowalnym. Z takim odwzorowaniem można związać serię geometrycznych obiektów. Pierwszym z nich jest wykres
![]() |
Innym jest wykres pochodnej, czyli wykres odwzorowania
![]() |
Ogólnie, wykres odwzorowania tej pochodnej odwzorowania
jest podzbiorem (dosyć dużej) przestrzeni oznaczanej przez
Definicja 3.9. Przestrzenie
nazywają się przestrzeniami dżetów rzędu
odzworowań z
do
Z każdym
odzworowaniem postaci (3.3) wiąże się jego
ty dżet
![]() |
Analogicznie, jeśli i
są rozmaitościami wymiarów
i
odpowiednio, to definiuje się przestrzenie
dżetów odwzorowań z
do
i z każdym różniczkowalnym odwzorowaniem
wiąże się jego
ty dżet
Definicja 3.10. Jeśli jest podrozmaitością, to mówimy, że odwzorowanie
jest
transwersalne do
(oznaczenie
gdy
Twierdzenie 3.11 (Thom). Niech
i
będą ustalone. Wtedy zbiór
odwzorowań
które są transwersalne
do
jest otwarty i gęsty w zbiorze wszystkich takich
odwzorowań.
Dowód. Ten dowód w znacznej części powtarza dowód Twierdzenia 3.6. Podstawowa różnica leży w dowodzie gęstości, a dokładniej, w wyborze zaburzenia. Otóż, zamiast zamiany
(gdzie
jest `małą' wartością
niekrytyczną dla
bierze się zamianę
gdzie
są odpowiednio `małymi' przekształeceniami liniowymi, jednorodnymi kwadratowymi, czy
jednorodnymi stopnia
∎
Przykład 3.12. Pewne naturalne warunki na odwzorowanie są interpretowane jako warunki na jego transwersalność w dżetach. Na przykład, warunek
![]() |
wynika z jednoczesnej transwersalności odwzorowania
![]() |
do dwóch podrozmaitości
![]() |
Istotnie, transwersalność do oznacza, że
lub
gdy
Tymczasem transweralność do
oznacza,
że
gdy
i
W zagadnieniach teorii bifurkacji zawsze, gdy pojawiają się warunki
podobnego charakteru jak w Przykładzie 3.12, możemy założyć,
że albo są spełnione z prawdopodobieństwem 1 albo z takim
samym przwdopodobieństwem nie mogą być spełnione. Ten drugi
przypadek zachodzi gdy Taki jest praktyczny
wniosek z twierdzeń Thoma.
ZADANIA
Zadanie 3.13. W przypadku zauważyć, że (w
dowodzie Twierdzenia 3.6) rk
oznacza rk
Skorzystać
z Twierdzenia o Funkcji Uwikłanej aby pokazać, że
w otoczeniu
jest podrozmaitością w
kowymiaru
Pokazać następnie, że dla dowolnego
bliskiego
również
jest lokalnie podrozmaitością kowymiaru
bliską
Wywnioskować stąd i z otwartości podzbioru macierzy
rzędu
w przestrzeni macierzy wymiaru
że
jest transwersalne do
w otoczeniu
Zadanie 3.14. Pokazać lokalną gęstość własności transwersalności w przypadku
Wskazówka: Wybrać odpowiednie zaburzenie dla
które nie jest transwersalne do
Zadanie 3.15. Pokazać, że wtedy i tylko
wtedy gdy
nie jest wartością krytyczną dla odwzorowania
Zadanie 3.16. Uzupełnić dowód Twierdzenia 3.6.
Wskazówka: Użyć odpowiedniego rozkładu jedności w
związanego z lokalnymi afinicznymi mapami w
i
. Lokalne zaburzenia wybierać w postaci
z odpowiednimi funkcjami
o zwartym nośniku i `małymi' wektorami
Na koniec
skorzystać ze zwartości
Zadanie 3.17. Udowodnić Twierdzenie Sarda w przypadkach i
Bifurkacje autonomicznych pól wektorowych będziemy dzielić na lokalne i nielokalne.
Lokalne bifurkacje zachodzą w otoczeniu punktu osobliwego
dla wartości bifurkacyjnej parametru. Dokładniej, mamy rodzinę
![]() |
taką, że
![]() |
W przypadku typowych parametrowych rodzin naruszenie warunku hi-
perboliczności (tzn.
dla wszystkich
wartości własnych) zachodzi w dwu przypadkach:
1. i
dla
jest to bifurkacja siodło–węzeł.
2.
i
dla
jest to bifurkacja
narodzin cyklu granicznego albo bifurkacja Andronowa–Hopfa.
Mamy trzy nielokalne bifurkacje związane z orbitą okresową dla pola
Niech
będą wartościami własnymi części liniowej przekształcenia powrotu
Poincarégo. Przypomnijmy, że warunek hiperboliczności dla
oznacza, że
dla
wszystkich
Zatem typowe bifurkacje kowymiaru 1 mają miejsce w następujących przypadkach:
3. i
dla
jest to bifurkacja siodło–węzeł dla orbity
okresowej.
4. i
dla
jest to bifurkacja podwojenia okresu.
5. Tutaj przypadki, gdy
jest
pierwiastkiem z 1 stopnia
nazywają się rezonansowymi; dodatkowo, gdy
to mówimy o silnym rezonansie.
Na koniec mamy dwie nielokalne bifurkacje związane z połaczeniem separatrys (patrz Rysunek 3.10):
6. Połączenie separatrys różnych siodeł.
7. Pętla separatrys jednego siodła.
Załóżmy, że mamy pole wektorowe
![]() |
z punktem osobliwym Możemy założyć, że macierz
ma postać blokowo diagonalną
![]() |
(3.4) |
gdzie (odpowiednio
i
ma wartości własne z
(odpowiednio z
i z
Twierdzenie 3.18 (Szoszitaiszwili). W sytuacji jak powyżej istnieje lokalny homeomorfizm przeprowadzający
portret fazowy pola
na portret fazowy następującego
pola
![]() |
(3.5) |
gdzie
![]() |
Dowód tego twierdzenia jest techniczny i skomplikowany (patrz [5]). Dlatego nie będziemy go tutaj przytaczać. Za to wyciągniemy z niego bardzo praktyczne zastosowania. Zauważmy też, że to twierdzenie jest uogólnieniem Twierdzenia Grobmana–Hartmana.
Definicja 3.19. Podrozmaitość zadaną równaniem
![]() |
(w terminach (3.5)) nazywamy rozmaitością centralną.
Twierszenie Szoszitaiszwiliego mówi, że w przypadku niehiperbolicznego puktu osobliwego `ciekawa część' dynamiki odbywa się na rozmaitości centralnej.
Dla rodziny pól wektorowych możemy potraktować
jako dodatkową zmienną, tzn. mamy układ
![]() |
do którego stosujemy Twierdzenie 3.18 (z Mamy następującą redukcję do rozmaitości
centralnej.
Stwierdzenie 3.20. Dla rodziny z
, istnieje lokalny homeomeorfizm
zadajający topologiczną równoważność tej rodziny z następującą rodziną
![]() |
Samo istnienie rozmaitości centralnej jest uogólnieniem
Twierdzenia Hadamarda–Perrona. Można jej poszukiwać jak w dwodzie
Twierdzenia 1.19. Przy tym okaże się, że rozmaitość
centralna nie jest wyznaczona jednoznacznie; zależy ona od wyboru przedłużenia pola (lub dyfeomorfizmu) na całe
Ale istnieje sposób wyznaczenia w sposób formalny.
Poszukujemy jej jako wykresu
![]() |
(gdzie współrzędne są związane z rozkładem (3.4)), który jest niezmienniczy względem
pola
. Okazuje się, że odwzorowania
i
mają jednoznacznie wyznaczone szeregi
Taylora,
Na
które jest parametryozwane przez
otrzymujemy pole wektorowe
![]() |
Ta redukcja do nazywa się redukcją Lapunowa–Schmidta.
Niestety, na ogół okazuje się, że szeregi zadające i
są rozbieżne (nawet gdy
było analityczne). Tym też
tłumaczy się niejednoznaczność
w sensie topologicznym.
Przykład 3.21. Rozważmy układ
![]() |
Tutaj jest rozmaitością niestabilną. Rozmaitość centralną poszukujemy w postaci
Podstawiając takie
do układu, dostajemy
![]() |
To prowadzi do następującej rekurencji:
z rozwiązaniem
Zatem rozmaitość centralna
zadaje się jednoznacznym, ale rozbieżnym, szeregiem
![]() |
(Zadania 3.27 i 3.28).
Innym narzędziem użytecznym w teorii bifurkacji, które również opiera się na (często rozbieżnych) szeregach formalnych, jest następne twierdzenie. Rozważamy kiełki analitycznych pól wektorowych
![]() |
(3.6) |
takich, że macierz jest diagonalna,
diag
Przypomnijmy jeszcze standardowe
oznaczenia
dla standardowej basy w
(zatem
),
i
Definicja 3.22. Mówimy, że wartości własne spełniają relację rezonansową typu
jeśli
![]() |
Twierdzenie 3.23 (Poincaré–Dulac). Załóżmy że mamy kiełek zespolonego analitycznego pola wektorowego (3.6). Wtedy istnieje zamiana
![]() |
taka, że każda składowa po prawej stronie jest formalnym
szeregiem potęgowym od która prowadzi do układu
![]() |
(3.7) |
przy czym sumy po prawych stronach równań (3.7) biegną
po takich wielowskaźnikach że jest spełniona relacja rezonansowa typu
Dowód. Sprowadzanie do postaci normalnej Poincarégo–Dulaca (3.7) odbywa się przy pomocy serii zamian postaci
![]() |
(3.8) |
czyli dodajemy wyrazy jednorodne stopnia (Zaczynamy od
potem
bierzemy
itd.) Łatwo sprawdzić, że przekształcenie
odwrotne do (3.8) ma postać
(Zadanie 3.29).
Załóżmy, że w polu (3.6) do stopnia występują
tylko wyrazy rezonansowe (założenie indukcyjne). Chcemy przy pomocy
podstawienia (3.8) zlikwidować wyrazy nierezonansowe stopnia dokładnie
Mamy
![]() |
(3.9) |
gdzie
![]() |
i
![]() |
Z lewej strony wzoru (3.9), po podstawieniu (3.8), mamy
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
Teraz, porównując wyrazy jednorodne stopnia dostajemy równania
![]() |
Z nich jasno wynika, że jeśli , to można dobrać
tak, aby zlikwidować
odpowiedni nierezonansowy wyraz
. Pozostają tylko wyrazy
rezonansowe. ∎
Przykład 3.24. Rozważmy przypadek rezonansowego węzła
![]() |
czyli dla i
Jak
łatwo stwierdzić, jedyną relacją rezonansową jest
Zatem normalna forma Poincarégo–Dulaca jest następująca
![]() |
(Zadanie 3.30). Okazuje się, że w tym przypadku zamiana prowadząca do postaci normalnej jest analityczna (o ile wyjściowy kiełek był analityczny). 13Do tego przypadku można też zaliczyć sytuację, gdy
czyli, gdy część liniowa nie jest diagonalna. Istnieje naturale
rozszerzenie Twierdzenia 3.23 na przypadek, gdy część linowa
pola posiada nietrywialne klatki Jordana.
Przykład 3.25. Dla siodło–węzła
![]() |
czyli z i
, relacje rezonasowe są
postaci
i
Stąd wynika następująca
forma Poincarégo–Dulaca
![]() |
Okazuje się, że na ogół ta forma normalna nie jest analityczna.
Przykład 3.26.Dla rezonansowego siodła
![]() |
czyli z i
relacje rezonansowe są
postaci
i
Stąd wynika następująca
postać normalna Poincarégo–Dulaca
![]() |
Również i ta forma nie jest na ogól analityczna (Zadanie 3.31).
ZADANIA
Zadanie 3.27. Znaleźć rozmaitość centralną
punktu dla układu z Zadania 1.33 przy
tzn.
dla
Zadanie 3.28. Znaleźć przybliżenie rozmaitości
centralnej z dokładnością do wyrazów sześciennych dla
punktu układu
Zadanie 3.29. Pokazać, że przekształcenie odwrotne do przekształcenia (3.8) ma postać jak w dowodzie Twierdzenia 3.23.
Zadanie 3.30. Pokazać, że w każdym innym przypadku węzła, tzn. gdy normalna forma Poincarégo–Dulaca jest liniowa (brak nieliniowych wyrazów rezonansowych).
Zadanie 3.31. Uogólnić Przykład 3.26 na przypadek rezonansowego siodła, tzn. gdy
(ułamek zredukowany).
Mamy parametrową rodzinę pól wektorowych
![]() |
Na nią nakładamy następujące warunki:
1. i
2. Macierz ma jedną zerową wartość własną,
(w szczególności
i
dla
Zatem można założyć, że
ma
postać blokową
![]() |
3. Niech będzie liniowym układem współrzędnych związanym z powyższą postacią
Możemy przepisać układ w postaci
![]() |
gdzie i
Następne założenie mówi, że
![]() |
4. Ostatnie założenie mówi, że
![]() |
(Zadanie 3.34).
Uwaga 3.32. Powyższe warunki są warunkami w przestrzeni dżetów
rzędu 2. Są to warunki na transwersalność względem
pewnych podrozmaitości w
Dzięki Twierdzeniu 3.11 typowe
spełnia te warunki (porównaj też Przykład 3.12).
Twierdzenie 3.33.Jeśli są spełnione powyższe
warunki, to rodzina jest wersalna. W
szczególności, jest ona równoważna jednej z rodzin postaci
![]() |
Dowód. Z twierdzenia o redukcji do rozmaitości centralnej możemy założyć, że mamy układ postaci
![]() |
Mamy następujące własności wynikające bezpośrednio z Warunków 1, 2, 3 i 4:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Dalszy dowód przebiega dokładnie jak w Przykładzie 3.3.
Na Rysunku 3.11 jest przedstawiona bifurkacja siodło–węzeł dla rodziny dwuwymiarowych pól wektorowych. ∎
ZADANIA
Zadanie 3.34. Pokazać, że Warunek 4 posiada następującą interpretację. Z Warunku 3 wynika, że równanie posiada jednoznaczne rozwiązanie
(punkt lokalnego extremum). Niech
(wartość w tego ekstremum). Wtedy
Zadanie 3.35. Dla parametrowej rodziny
wymiarowych pól
wektorowych
(deformacja osobliwości typu siodło–węzeł kowymiaru 2) zbadać bifurkacje punktów równowagi.
Mamy parametrową rodzinę pól wektorowych
![]() |
Na nią nakładamy następujące warunki:
1. zatem
2.
i
dla
To implikuje
i z
Twierdzenia o Funkcjach Uwikłanych równanie
ma rozwiązanie
które odpowiada punktowi równowagi. Następnie przesuwamy ten punkt równowagi do początku układu współrzędnych:
Teraz mamy układ
![]() |
3. Następne założenie mówi, że
![]() |
4. Ostatnie założenie wykorzystuje formę normalną
Poincarégo–Dulaca dla W dziedzinie zespolonej mamy
i zgodnie z Przykładem 3.26 forma normalna przyjmuje
postać
![]() |
gdzie są
(formalnymi) zmiennymi zespolonymi po ograniczniu do rozmaitości
centralnnej. Ponieważ wyjściowe pole było rzeczywiste, to
i powyższe równania są względem siebie sprzężone. W zmiennych rzeczywistych
i
dostajemy następującą postać
normalną Poincarégo–Dulaca dla ogniska
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
gdzie Tutaj
są
liczbami ogniskowymi Lapunowa–Poincarego z Definicji 2.13 (Zadanie 3.40).
Ostatni warunek niezdegenerowania mówi, że
![]() |
Następujące twierdzenie nosi też nazwę Twierdzenia o narodzinach cyklu granicznego i jest najbardziej chyba znanym twierdzeniem z teorii bifurkacji.
Twierdzenie 3.36 (Andronov–Hopf). Jeśli są spełnione powyższe warunki, to rodzina jest wersalna. W szczególności jest ona równoważna
rodzinie
![]() |
( lub (równoważnie i
na rozmaitości centralnej) rodzinie
![]() |
(3.10) |
Uwaga 3.37. Z dokładnością do zmiany orientacji płaszczyzny (np. można przyjąć, że
częstotliwość
Przy tym założeniu mamy dwie
lokalne bifurkacje rodzin (3.10) odpowiadających dwu wartościom
i
Są one przedstawione na Rysunkach 3.12 i 3.13
odpowiednio. Różnica pomiędzy tymi rysunkami ma istotne
znaczenie praktyczne.
Na Rysunku 3.12 obserwujemy tzw. ostrą utratę stabilności. Istotnie, dla punkt równowagi jest stabilny (chociaż
`basen' jego przyciągania kurczy się) a dla
punkt równowagi staje się `globalnie' niestabilny (tutaj układ kompletnie
się rozstraja).
Na Rysunku 3.13 mamy do czynienia z tzw. łagodną utratą
stabilności. Dla punkt równowagi jest `globalnie'
stabilny i dla
traci on stabilność. Ale dla
pojawia się stabilny cykl graniczny, zlokalizowany blisko punktu równowagi. Zatem układ (np. mechaniczny) zaczyna lekko oscylować wokół położenia równowagi.
Dowód Twierdzenia 3.36. Podobnie jak w przypadku Twierdzenia o Bifurkacji Siodło–Węzeł sprowadzamy najpierw zagadnienie do sytuacji dwuwymiarowej (na rozmaitości centralnej).
Lekko uzupełniając dowód Twierdzenia Poincarégo–Dulaca
sprowadzamy całą rodzinę do następującej postaci
normalnej, modulo wyrazy rzędu
![]() |
(3.11) |
gdzie
i
(Zadanie 3.41). Możemy spokojnie przyjąć, że
i, przechodząc do biegunowego układu współrzędnych,
możemy napisać
![]() |
(3.12) |
(Zadanie 3.42).
Dla układu (3.12) definiujemy przekształcenie powrotu Poincarégo
jak na Rysunku 3.14. Dla ustalenia uwagi założymy, że
Dalszą analizę dzielimy na trzy kroki.
(a) Dla mamy
(dla
czyli
i nie ma cykli granicznych.
(b) Niech . Rozważmy obszar
Dokonajmy następującej normalizacji
![]() |
Wtedy w obszarze dostajemy układ
![]() |
(3.13) |
dla małego parametru Teraz już łatwo wyliczyć przekształcenie
Zauważmy, że rozwiązanie układu (3.13)
z warunkiem początkowym
spełnia
Zatem
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
Oznaczmy gdzie wykres funkcji
jest
przedstawiony na Rysunku 3.15. Widzimy, że równanie
posiada dokładnie dwa proste rozwiązania
i
(Zadanie 3.43). Pierwsze z nich odpowiada punktowi równowagi, a drugie cyklowi granicznemu bliskiemu okręgu
(c) Dla rozważmy obszar
dla małego
(niezależnego
od
Z (3.12) łatwo widać, że tutaj
i nie może być cykli granicznych.
Widać zatem, że w każdej z trzech powyższych sytuacji
portrety fazowe są `jakościowo' takie same jak dla modelowej rodziny
(3.10). Wypadałoby jeszcze skonstruować rodzinę lokalnych homeomorfizmów realizujących topologiczne
orbitalne równoważności odpowiednich portretów fazowych.
Jest to dosyć żmudne zadanie (jeśli potraktować je bardzo
serio) i my je opuścimy (nawet w [5] jest to pominięte). ∎
Uwaga 3.38. E. Hopf w swojej oryginalnej pracy udowodnił ogólniejsze wynik niż Twierdzenie 3.36. Mianowicie opuścił on założenie, że (patrz [14]). Pokazał on istnienie
parametrowej rodziny
rozwiązań okresowych dla pól wektorowych
gdzie
jest pewnym gładkim
odwzorowaniem. To twierdzenie nazywa się Twierdzeniem o
Bifurkacji Hopfa. Na przykład, dla rodziny
![]() |
mamy rodzinę rozwiązań okresowych dla jednego pola
tzn.
Arnold [5] często podkreślał, że w przypadku
odpowiednią bifurkację badał równolegle A. Andronov [2].
Dlatego też bifurkacja z Twierdzenia 3.36 nazywa się Bifurkacją Andronowa–Hopfa.
Przykład 3.39 (Model Żukowskiego szybowca). Niech samolot
leci z prędkością (która może się zmieniać)
i jest podniesiony pod kątem
względem poziomu (patrz
Rysunek 3.16). Na samolot działają następujące siły: siła
ciągu
skierowana wzdłuż samolotu, siła ciężkości
skierowana do dołu i siła oporu powietrza proporcjonalna do
. Rozkładamy siłę ciężkości na składową wzdłuż samolotu (powodującą wytracanie prędkości) i w
kierunku prostopadłym (powodując obrót w dół). Mamy zatem
następującą parę równań:
i
Tutaj stałe
i
zależą od kilku czynników, których
nie będę specyfikował (patrz [8], Rozdz. 3, Paragr. 3) i [7],
Rozdz. 14, Paragr. 3, Rozdz. 15, Paragr. 3). Po odpowiedniej normalizacji
dostajemy następującą
parametrową rodzinę pól wektorowych
![]() |
(3.14) |
,
z biegunem wzdłuż
Rozważmy najpierw przypadek który odpowiada modelowi
szybowca. Po pomnożeniu przez
(przeskalowanie czasu) dostajemy
portret fazowy regularnego pola
![]() |
(3.15) |
Przy dostajemy układ hamiltonowski z całką pierwszą
![]() |
i punktami równowagi i
. Przy
dostajemy
czyli
funkcja
jest funkcją Dulaca dla pola (3.14). Stąd łatwo
wynika, że dla
ruch szybowca jest okresowy (oscylujący wokół centrum
) a dla
odpowiedni punkt krytyczny
(bifurkujący z
jest globalnie stabilnym ogniskiem
(Zadanie 3.44). To znaczy, że ruch szybowca stabilizuje się.
Dla ogólnej rodziny (3.14) z małymi i
można
badać pojawiające się możliwe cykle graniczne metodą całek abelowych (patrz Przykład 4.5 poniżej). Przyrost
całki pierwszej wzdłuż trajektorii układu (3.14) (od cięcia do cięcia) wynosi w przybliżeniu
![]() |
gdzie jest polem obszaru zakreślonego przez
krzywą
W [7] pokazano, że funkcja
jest monotoniczna, czyli, że równanie
ma co najwyżej jedno rozwiązanie. To oznacza, że układ (4.14) dla małych
i
może posiadać co najwyżej jeden cykl graniczny.
Tutaj w momencie, gdy dywergencja pola (3.14) w ognisku jest zerowa,
zachodzi bifurkacja Andronowa–Hopfa. Można sprawdzić, że jest
ona niezdegenerowana (zachęcam czytelników do sprawdzenia tego).
ZADANIA
Zadanie 3.40. Pokazać, że współczynniki z Punktu 4 założeń do Twierdzenia
Andronowa–Hopfa pokrywają się ze liczbami oniskowymi
Lapunowa–Poincarégo z Definicji 2.13. Znaleźć zależność pomiędzy wspólczynnikami
i
a
i
Zadanie 3.41. Udowodnić wzór (3.11).
Wskazówka: Redukcję skończonej liczby wyrazów rezonansowych
można przeprowadzać jednocześnie dla parametrowej rodziny.
Zadanie 3.42. Udowodnić wzór (3.12).
Zadanie 3.43. Pokazać ściśle, że równanie z dowodu Twierdzenia 3.36 ma dokładnie dwa rozwiązania.
Zadanie 3.44. Zbadać punkty osobliwe pola (3.15). Naszkicować portrety fazowe dla i
Niech będzie zamknniętą krzywą fazową
dla pola wektorowego
na rozmaitości
(
wymiarowej).
Ponadto pole
jest zanurzone w
parametrowej rodzinie
pól wektorowych
na
Weźmy cięcie
transwersalne do
w
Dla
bliskich
mamy dobrze zdefiniowane przekształcenia Poincarégo
Utożsamiając
z
otrzymujemy rodzinę lokalnych przekształceń
![]() |
takich, że Zatem
![]() |
Zakładamy też, że dla orbita
jest
niehiperboliczna, tzn. punkt stały
dyfeomorfizmu
jest
niehiperboliczny. W zależności od typu niehiperboliczności mamy różne rodzaje bifurkacji. My omówimy tutaj tylko dwie.
A. Bifurkacja siodło–węzeł dla cyklu granicznego. Tutaj
mamy i
dla wartości własnych macierzy
Sprowadzając sytuację
do rozmaitości centralnej (czyli
wymiarowej dla dyfeomorfizmu) i nakładając odpowiednie warunki niezdegenerowania (tzn.
pokazuje się równoważność odpowiedniej rodziny
wymiarowych przekształceń z następującą modelową rodziną
![]() |
Odpowiednie bifurkacje są przedstawione na Rysunku 3.17. Widzimy, że dla mamy dwa cykle graniczne, które się zlewają przy
a następnie znikają.
B. Bifurkacja podwojenia okresu. Tutaj mamy i
dla
Ponieważ
przekształcenie powrotu zmienia orientację, to rozmaitość
centralna dla orbity
jest wstęgą Möbiusa (patrz
Rysunek 3.19).
Modelową rodziną przekształceń w tym przypadku jest
![]() |
Oczywiście to przekształcenie ma tylko jeden punkt stały, tj.
Ale jego druga iteracja ma postać
![]() |
i posiada dwa dodatkowe punkty stałe dla
Te punkty stałe odpowiadają orbicie okresowej dla
o okresie 2. Stąd bierze się nazwa bifurkacji; czasami też
jest używana nazwa bifurkacja widełki (od kształtu krzywej
punktów okresowych na płaszczyźnie
Odpowiednie bifurkacje dla są przedstawione
na Rysunku 3.18.14Bifurkacja podwojenia okresu leży u podstaw znanej bifurkacji
Feigenbauma dla nieodwracalnego przekształcenia
odcinka
w siebie. Najpierw punkt stały traci stabilność przy przechodzeniu
wartości własnej przez
Potem powstała obrita okresowa o
okresie 2 znowu traci stabilność i powstaje orbita okresowa o
okresie 2
itd. Dla granicznej wartości parametru mamy bifurkację Feigenbauma.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.