Rozważmy nieautonomiczny układ równań różniczkowych (lub pole wektorowe zależne od czasu)
![]() |
(1.1) |
Tutaj należy do pewnej rozmaitości
zaś
(czas) do
przedziału
. W tym rozdziale możemy zakładać, że
jest otwartym podzbiorem
i że pole
jest klasy
tak, że spełnione są założenia twierdzeń z Dodatku.
Przypomnijmy, że punkt taki, że
![]() |
(dla każdego nazywa się punktem równowagi; inne
nazwy spotykane w literaturze to: punkt osobliwy pola i punkt krytyczny pola (głównie w przypadku pola autonomicznego). Oczywiście
jest rozwiązaniem tego układu. Celem tego rozdziału jest zbadanie własności rozwiązań
układu (1.1) w otoczeniu pnktu równowagi.
Najprostszą i pożądaną z punktu widzenia zastosowań własnością puktu równowagi jest jego stabilność. Poniżej podajemy dwie matematycznie ścisłe definicje stabilności.
Definicja 1.1. Punkt równowagi równania (1.1)
jest stabily w sensie Lapunowa, jeśli dla każdego
istnieje
takie, że każde rozwiązanie
startujące z
otoczenia
puktu
,
pozostaje w
otoczeniu tego punktu,
dla wszystkich czasów
Punkt równowagi jest asymptotycznie stabilny, jeśli jest on stabilny w sensie Lapunowa i, dodatkowo, istnieje
takie, że każde rozwiązanie
startujące z punktu
bliskiego punktowi równowagi,
, dąży do
przy
Przykład 1.2. Dla oscylatora harmonicznego albo
![]() |
rozwiązania leżą w elipsach (patrz Rysunek 1.1). Stąd dla
wynika, że wybór
spełnia warunki definicji stabilności w sensie Lapunowa. Ponieważ
rozwiązania nie dążą do punktu równowagi
nie
jest on asymptotycznie stabilny.
Przykład 1.3. Na Rysunku 1.2 przedstawiono portret fazowy pewnego pola wektorowego, które ma tę własność, że każde rozwiązanie dąży do punktu równowagi (czyli jest spełniony drugi z warunków na stabilność asymptotyczną). Jednakowoż ten punkt równowagi nie jest stabily w sensie Lapunowa, ponieważ trajektorie starujące z dołu oraz dowolnie blisko punktu równowagi wychodzą z czasem z ustalonego otoczenia tego punktu.
Okazuje się, że odpowiednie autonomiczne pole wektorowe można zadać konkretnym wzorem. Mianowicie, ma ono postać
![]() |
(1.2) |
(patrz Zadanie 2.64).
Podstawowy wynik o stabilności punktów równowagi pochodzi od A.
Lapunowa. Dotyczy ono punktu równowagi dla kiełka1Przez kiełek pola wektorowego
(lub funkcji
czy formy różniczkowej
czy odwzorowania) w punkcie
rozumiemy pole wektorowe (lub funkcję lub formę różniczkową lub odwzorowanie) określoną na pewnym otoczeniu
punktu
Dwa kiełki, jeden określony na otoczeniu
a drugi
na
są równoważne, jeśli są zgodne na
pewnym otoczeniu
Przyjmuje się oznaczenie
dla oznaczenia
kiełka funkcji w
analogoczne oznaczenia są dla pól
wektorowych, form różniczkowych, odwzorowań, itd.
autonomicznego pola wetorowego w
postaci
![]() |
(1.3) |
gdzie jest macierzą linearyzacji
pola w punkcie
Twierdzenie 1.4 (Lapunow). Jeśli macierz ma własność, że części rzeczywiste wszystkich jej wartości własnych są ujemne,
![]() |
(1.4) |
to punkt równowagi jest asymptotycznie stabilny.
Zanim zaczniemy ścisły dowód tego twierdzenia wprowadzimy pojęcie funkcji Lapunowa, które okazuje się być użyteczne dla pokazywania asymptotycznej stabilności nawet bez założenia (1.4).
Definicja 1.5.Funkcją Lapunowa dla punktu równowagi kiełka autonomicznego pola wektorowego
nazywamy
funkcję
![]() |
z otoczenia punktu
która spełnia następujące dwie
własności:
(i) i
tylko dla
(ii) dla
Stwierdzenie 1.6. Jeśli istnieje funkcja Lapunowa (dla
punktu równowa- gi pola
to
ten punkt jest asymptotycznie stabilny.
Dowód. Własność (i) z definicji funkcji Lapunowa mówi, że zbiory
, są ograniczone i dążą do punktu
przy
Własność (ii) oznacza, że jeśli jest rowiązaniem równania
to
![]() |
Widać, że funkcja Lapunowa maleje wzdłuż rozwiązań równania różniczkowego (patrz Rysunek 1.3).
Zatem rozwiązania startujące z brzegu zbioru
`wchodzą' do wnętrza tego
zbioru. Ponieważ te trajektorie pozostają w zbiorach
jest spełniony warunek stabilności w sensie Lapunowa. Z
drugiej strony, rozwiązania muszą dążyć do punktu
przy
a to oznacza asymptotyczną stabilność. ∎
Teraz dla dowodu twierdzenia Lapunowa wypada skonstruować funkcję
Lapunowa. W tym celu poprawimy nieco macierz Po pierwsze, założymy, że jest ona w postaci Jordana. Zatem mamy klatki
![]() |
odpowiadające nierzeczywistym ( i
zespolonym (
) wartościom własnym.
Okazuje się, że jedynki nad diagonalą można zastąpić
małymi ami. Rzeczywiście, jeśli mamy klatkę
Jordana wymiaru
z rzeczywistą wartością własną
to w standardowej bazie
mamy
![]() |
Zatem dla bazy takiej, że
![]() |
będziemy mieli i
Analogiczną zamianę stosujemy
w przypadku, gdy mamy klatkę Jordana z zepolonymi wartościami własnymi (Zadanie 1.27). Mamy zatem następujący
Lemat 1.7.W odpowiednim liniowym układzie współrzędnych macierz przyjmuje postać
![]() |
gdzie jest blokowo-diagonalna z
i z
na diagonali a maciarz
jest ograniczona,
Następny lemat kończy dowód Stwierdzenia 1.6.
Lemat 1.8.Niech będzie układem współrzędnych z tezy Lematu 1.7. Wtedy funkcja
![]() |
na odpowiednio małym otoczeniu pnktu jest funkcją Lapunowa dla tego punktu równowagi.
Dowód. Oczywiście wystarczy sprawdzić własność (ii) z Definicji 1.5 funkcji Lapunowa. Mamy
![]() |
gdzie Pierwszy wyraz po prawej stronie tej równości wynosi (jak łatwo sprawdzić)
![]() |
(1.5) |
gdzie w drugiej sumie sumujemy po Następnie, z
ograniczoności
dostajemy
![]() |
Poniewaz nieliniowe wyrazy pola są rzędu
mamy
![]() |
dla pewnej stałej i dostatecznie małego
Warunek (1.4) z założenia twierdzenia Lapunowa oznacza, że w (1.5) mamy
![]() |
dla pewnego . Zatem mamy
a pozostałe dwa człony w
szacują się przez
To pokazuje, że
dla
i małego
co kończy dowód lematu i twierdzenia Lapunowa.
∎
Istnieje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lapunowa. Jest ono dosyć naturalne i przypuszczalnie Lapunow miał jego świadomość, ale w rosyjskiej literaturze (np. w [10]) przypisuje się je V. Czetajewowi.
Twierdzenie 1.9 (Czetajew). Jeśli macierz linearyzacji pola wektorowego (1.3) posiada wartość własną o
ściśle dodatniej części rzeczywistej, to punkt równowagi
nie jest stabilny (ani w sensie Lapunowa ani asymptotycznie).
Dowód. Niech będą ściśle dodatnie a
Możemy założyć, że
![]() |
w rozkładzie przy
czym macierz
ma wartości własne
a macierz
ma wartości własne
Ponadto, możemy założyć, że macierze
i
są jak w tezie Lematu 1.7. Przyjmijmy jeszcze, że
w powyższym rozkładzie
oraz
.
Zdefiniujmy stożek za pomocą nierówności
![]() |
gdzie stałe i
będą zdefiniowanie w trakcie
dalszych etapów dowodu. Zauważmy, że brzeg
stożka
składa się z dwóch części:
i
Zdefiniujmy też `funkcję
Czetajewa', jako
![]() |
Okazuje się, że przy odpowiednio dobranych i
zachodzą następujące własności:
(a) pole wektorowe wchodzi do na częsci
brzegu,
(b) dla
Oczywiście, z nich wynika teza twierdzenia; trajektorie startujące
dowolnie blisko
w
wychodzą z
przez część
brzegu (patrz Rysunek 1.4).
Aby udowodnić te własności, skorzystamy z nierówności (które są konsekwencją poczynionych założeń):
![]() |
(dla i małego
przy warunku, że
(
dostatecznie małe). Jak zwykle
oznacza pochodną wzdłuż trajektorii
pola wektorowego.
Warunek (a) oznacza, że Ale dla
mamy
![]() |
o ile jest małe. Z drugiej strony dla
mamy
![]() |
∎
W związku z powyższymi twierdzeniami nasuwa się naturalne praktyczne pytanie:
jak sprawdzić, czy wszystkie wartości własne danej macierzy mają ujemne częsci rzeczywiste?
Oczywiście to pytanie sprowadza się do pytania o części rzeczywiste pierwiastków wielomianu charakterystycznego tej macierzy.
Zatem załóżmy, że mamy wielomian2Wielomian charakterystyczny macierzy ma współczynnik
Tutaj przyjmujemy
dla
uproszcenia formułowanych niżej wyników.
![]() |
(1.6) |
Definicja 1.10. Mówimy, że wielomian jest
stabilny jeśli wszystkie jego zera
mają ujemną część rzeczywistą.
Pytamy o warunki konieczne i dostateczne aby wielomian postaci (1.6) był stabilny. Okazuje się, że ten problem był badany już w XIX wieku i ma pełne rozwiązanie.
Aby przyjrzeć się temu zagadnieniu, odnotujmy następujący prosty warunek konieczny.
Lemat 1.11.Jeśli wielomian postaci (1.6) jest
stabilny, to dla wszystkich
Dowód. Przyjrzyjmy się czynnikom w przedstawieniu
![]() |
gdzie pierwszy iloczyn jest związany z rzeczywistymi pierwiastkami a drugi iloczyn jest związany z nierzeczywistymi
pierwiastkami
Ponieważ każdy z czynników ma dodatnie współczynniki, to i cały wielomian też musi mieć dodatnie współczynniki. ∎
Uwaga 1.12. Jeśli stopień to warunek
jest również warunkiem dostateczym.
Zdefiniujmy następującą macierz wymiaru
![]() |
(1.7) |
taką, że na diagonali stoją kolejno liczby
Twierdzenie 1.13 (Warunki Raussa–Hurwitza). Warunkiem koniecznym i dostatecznym na stabilność wielomianu (1.6) jest:
(i) dla wszystkich
(ii) minory główne (wymiarów
macierzy (1.7) są dodatnie.
Przykłady 1.14. Dla macierz (1.7) ma postać
zatem
Dla czyli macierzy
mamy
i
zatem odtwarzamy
Uwagę 1.12.
Dla mamy macierz
![]() |
Warunki Raussa–Hurwitza przyjmują postać: (nic nowego),
![]() |
(1.8) |
i (też nic nowego).
Uwaga 1.15. Można pokazać, że warunek dla wszystkich
można zastąpić następującym warunkiem Liénarda–Shapira:
![]() |
(patrz także poniższy dowód).
Dowód Twierdzenia 1.13.3Na wykładzie dowód jest ograniczony do przypadku i tego wymaga się od studentów na egzaminie. Idea dowodu jest dosyć prosta.
Warunki
(oraz
) definiują
pewien podzbiór
w przestrzeni
współczynników
Zbiór
jest semi-algebraiczny i
jego brzeg składa się z gładkich `stratów'. Chodzi o równania definiujące te straty. Jeśli
, to mamy dwie
możliwości: albo
(a) pewien pierwiastek równania zeruje się,
albo
(b) para sprzężonych pierwiastków zespolonych leży na osi urojonej.
Przypadek (a) oznacza, że czyli
; to jest
dosyć proste.
Rozważmy sytuację z parą
urojonych pierwiastków. Mamy wtedy
![]() |
(1.9) |
dla pewnego wielomianu
![]() |
o którym możemy założyć, że jest stabilny. Ponadto, z
założenia indukcyjnego (względem możemy przyjąć,
że
i odpowiednie minory
Mamy następujące relacje
![]() |
To oznacza, że macierz w (1.7) ma pos
tać
gdzie
![]() |
![]() |
Zauważmy, że ty wiersz macierzy
równa się
temu wierszowi macierzy
dla
To oznacza, że
wszystkie minory
macierzy
są równe odpowiednim minorom
dla macierzy
(związanej z wielomianem
zatem są one dodatnie. Stąd też wynika, że
i
Widać, że równanie opisuje lokalnie hiperpłaszczyznę w przestrzeni współczynników
oddzielającą wielomiany stabilne od nie-
stabilnych. Wypada tylko sprawdzić, czy nierówność
lokalnie definiuje zbiór wielomianów
stabilnych.
W tym celu rozważymy następującą deformację sytuacji (1.9):
![]() |
gdzie parametr jest mały i
jest rzeczywiste. Wtedy do
macierzy
dochodzi jeszcze jeden człon
gdzie w
ostatnich dwóch wierszach macierzy
niezerowy jest tylko końcowy fragment wymiaru
![]() |
Gdy i
są niezerowe wielomian
jest stabilny; zatem
dla
Policzmy granicę
przy
i stałym
(Wtedy
bo
ale to nam nie przeszkadza.) Łatwo zobaczyć, że dla
i małego niezerowego
macierz
przyjmuje postać blokową, z blokami:
(wymiaru
(wymiaru
(wymiaru
i
Ponieważ
jest bliskie
(z założenia indukcyjnego), więc i
Zatem
![]() |
∎
Przykład 1.16 (Regulator Watta). Na Rysunku 1.5 mamy przedsta- wiony schemat regulatora Watta, stosowanego w XIX wieku w maszynach parowych. Ten regulator składa się z:
— sworznia który może się obracać wokół swojej
osi;
— dwu kul o masie każda, umieszczonych na ruchomych przegubach wokół sworznia
, tak, że górna obręcz jest nieruchoma
(scalona z
) a dolna obręcz może przesuwać się w górę i w dół (przy czym kule odpowiednio oddalają się od
sworznia i przybliżają do sworznia), ponadto pręty
i
łaczące kule z górną obręczą mają długość
;
— koła zamachowego umieszczonego na walcu
— przekładni zębatej pomiędzy sworzniem i walcem
o
stosunku prędkości obrotowych
— dźwigni regulującej dopływ pary do maszyny i
przymocowanej do dolnej obręczy.
Na każdą kulę działają trzy siły (patrz Rusunek 1.6): siła odśrodkowa
(skierowana prostopadle od sworznia na zewnątrz), siła ciężkości
(skierowana w dół) oraz tarcie
(prostopadłe do prętów
). Tutaj
jest prędkością kątową obrotu sworznia
(i kul),
jest kątem pomiędzy prętami
a sworzniem
jest przyspieszeniem ziemskim a
jest pewnym współczynnikiem. Sumując składowe tych sił prostopadłe do prętów
dostajemy następujące równanie ruchu
![]() |
(1.10) |
Przy tym zwykle zakłada się (np. w [16]), że
![]() |
tj. w pewnych jednoskach długości.
W równaniu (1.10) oprócz dynamicznej zmiennej występuje jeszcze wielkość
która także zmienia się
z czasem. Aby dostać jakąś zależność
(lub
jej pochodnych) od
uwzględnijmy najpierw jej związek
![]() |
z prędkością obrotową walca
Z drugiej strony,
ruch koła zamachowego
opisuje się równaniem
![]() |
gdzie jest momentem bezwładności koła, natomiast po prawej
stronie mamy moment siły działającej na koło. Przy tym składnik
jest proporcjonalny do ilości dopływu pary (
jest pewną stałą) a
jest stałą spowalniającą siłą związaną z pracą wykonywaną przez maszynę. Z
powyższych rozważań wynika następujący zamknięty i
autonomiczny układ równań różniczkowych dla
i
![]() |
(1.11) |
Okazuje się, że ten układ ma dokładnie jedno (fizycznie
realizowalne) położenie równowagi zadane równaniami
![]() |
(1.12) |
Ponadto macierz linearyzacji układu (1.11) w tym punkcie równowagi jest następująca
![]() |
(1.13) |
a jej wielomian charakterystyczny to
![]() |
(1.14) |
Widać, że współczynniki wielomianu są
dodatnie, czyli jest spełniony warunek (i) Twierdzenia Raussa–Hurwiza. Dzięki Przykładowi 1.14 (dla
warunkiem dostatecznym stabilności wielomian
jest nierówność (1.8), która w
tym przypadku oznacza
![]() |
(1.15) |
(Zadanie 1.28). Tutaj ma mechaniczną
interpretację nierównomierności pracy maszyny. Zatem
ostatnia nierówność przyjmuje prostą postać
![]() |
Można stąd wysnuć następujące wnioski:
— zwiększanie masy kul pogarsza stabilność;
— zmniejszanie współczynnika tarcia pogarsza stabilność;4Gdy prezentowałem ten przykład kilka lat temu na wykładzie z JTRRZ, Z.
Nowak poinformował nas o przypadkach, gdy w niektórych fabrykach
niemieckich (gdzie dbano o wszystko) uporczywe zmniejsznie współczynnika tarcia prowadziło do awarii maszyn parowych.
— zmniejszenie momentu bezwładności koła zamachowego
pogarsza stabilność;
— podobny wpływ ma zmniejszenie współczynnika nierównomierności pracy maszyny.
Wyniki poprzedniego rozdziału nauczyły nas, że warunek dla pewnej wartości własnej macierzy linearyzacji
w punkcie równowagi autonomicznego pola wektorowego
![]() |
(1.16) |
jest warunkiem granicznym dla roztrzygnięcia problemy stabilności asymptotycznej tego punktu równowagi. Stąd pojawia się następująca
Definicja 1.17. Punkt równowagi autonomicznego pola
wektorowego (1.16) nazywa się punktem hiperbolicznym, jeśli
części rzeczywiste wszystkich wartości własnych macierzy
linearyzacji pola w tym punkcie są niezerowe.
Załóżmy, że punkt jest hiperboliczny i rozważmy
odpowiedni układ liniowy
![]() |
(1.17) |
Wtedy istnieje naturalny rozkład przestrzeni na sumę
prostą podprzestrzeni stabilnej
i
podprzestrzeni niestabilnej
(od angielskich słów `stable' i `unstable'), odpowiadających wartościom własnym z
i z
odpowiednio:
![]() |
(1.18) |
Zauważmy, że podprzestrzenie i
można zdefiniować topologicznie w terminach liniowego potoku fazowego
liniowego pola (1.17) (patrz Dodatek). Mianowicie
![]() |
(patrz Rysunek 1.7).
Okazuje się, że analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku nieliniowego pola (1.16).
Twierdzenie 1.18 (Hadamard–Perron). Dla hiperbolicznego
punktu równowagi pola
klasy
, istnieją lokalne podrozmaitości, stabilna
i niestabilna
klasy
, takie, że
![]() |
(1.19) |
oraz5Tutaj oznacza lokalny potok fazowy generowany przez pole
a
oznacza przestrzeń styczną do podrozmaitości
w
punkcie
![]() |
(1.20) |
Zanim zabierzemy się za dowód tego twierdzenia, zauważmy, że
analogiczne pojęcia i twierdzenia można wprowadzić dla
lokalnych dyfeomeorfizmów. Po pierwsze, jeśli jest punktem równowagi pola wektorowego
to
jest
punktem stałym przekształcenia potoku po czasie
tzn.
![]() |
Ponadto część liniowa
przekształcenia
w
ma postać macierzy
![]() |
(Zadanie 1.36). W istocie istnieje dyskretna wersja pojęcia potoku fazowego.
Definicja 1.19. Dyfeomorfizm definiuje
homomorfizm
z grupy addytywnej liczb całkowitych do grupy dyfeomeorfizmów rozmaitości tak, że
![]() |
gdzie (
razy dla
i
(
razy
dla
W literaturze
nazywa się kaskadą.
Punkt jest punktem okresowym o okresie
dla
, jeśli
przy tym pod okresem będziemy
rozumieli minimalny okres (tzn.
dla
Oczywiście punkt okresowy o okresie
jest punktem stałym.
Definicja 1.20. Punkt okresowy o okresie
dyfeomorfizmu
nazywa się hiperbolicznym, jeśli macierz
![]() |
ma wszystkie wartości własne poza okręgiem jednostkowym,
![]() |
Lemat 1.21.Jeśli jest hiperbolicznym
punktem równowagi pola wektorowego
to
jest też hiperbolicznym punktem stałym dyfeomorfizmu
, i odwrotnie (Zadanie 1.36).
Mamy następującą wersję twierdzenia Hadamarda–Perrona dla dyfeomorfizmów.
Twierdzenie 1.22.Jeśli punkt stały lokalnego dyfeomorfizmu
klasy
jest hiperboliczny, to istnieją lokalne
podrozmaitości, stabilna
i niestabilna
klasy
, takie, że
![]() |
(1.21) |
oraz
![]() |
(1.22) |
gdzie i
są podprzestrzniami
rozpiętymi przez podprzestrzenie własne
odpowiadające wartościom własnym macierzy
o module
i
odpowiednio.
Droga do dowodu Twierdzenia Hadamarda–Perrona 1.18 wiedzie poprzez dowód Twierdzenia 1.22. Przy tym, jak się wkrótce przekonamy, metoda
dowodu istnienia podrozmaitościi i
o własnościach (1.21) klasy
jest dosyć naturalna: dostaje się równanie na punkt stały pewnego przekształcenia w odpowiedniej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha. Niestety `wyciśnięcie'
warunku kontrakcji tego przekształcenia jest mocno wyczerpujące.
Dlatego w poniższym dowodzie ograniczymy się do wyprowadzenie
odpowiednich równań i naszkicujemy ogólny schemat
oszacowań. Po ścisły dowód odsyłamy czytelnika do monografii
W. Szlenka [18].
Dowód Twierdzenia 1.22. Dla uproszczenia sytuacji załóżmy rozkład(1.18), czyli i przekształcenie w postaci
takie, że
![]() |
(1.23) |
gdzie
![]() |
(1.24) |
oraz funkcje i
są rzędu
(Zadanie 1.37).
Oczywiście wektorowe funkcje i
są określone w małym otoczeniu zera. W dowodzie, który predstawiamy poniżej, stanowi to pewną techniczną przeszkodę. Dlatego dokonamy następującej zamiany
![]() |
gdzie funkcja jest gładka (klasy
) i taka, że:
(i) w małym otoczeniu zera,
;
(ii) poza małym otoczeniem zera,
(Zadanie 1.38).
Zatem funkcje
i
po przedłużeniu zerem
dla
będą określone na całym
Dalej oznaczamy je przez
i
Przypomnijmy, że te nowe funkcje spełniają
oraz
i
są małe wraz z pochodnymi. Dzięki własności (i) dynamika przekształcenia
z nowymi
i
w otoczeniu zera jest taka sama jak dla starego przekształcenia
(1.23).
Poszukujemy podrozmaitości w postaci wykresu pewnego
odwzorowania (lub funkcji wektorowej)
![]() |
(Dowód istnienia podrozmaitości przebiega zupełnie
analogicznie, dlatego ograniczamy się do przypadku
.)
Z własności (1.21) wynika, że podrozmaitość
powinna być niezmiennicza względem dyfeomorfizmu
To oznacza, że
dla
pewnych
zależnych od
Z (1.23)
znajdujemy, że
Zatem dostajemy warunek
![]() |
który przepiszemy w następującej postaci
![]() |
(1.25) |
Traktujemy ostatnie równanie jako równanie punktu stałego dla nieliniowego operatora
definiowanego przez
prawą stronę tej równości.
Zakładając, że funkcje i
są klasy
,
naturalne jest wprowadzić przestrzeń Banacha
odwzorowań ciągłych z normą supremum.
Nietrudno też pokazać, że przekształcenie
przeprowadza
w siebie. Aby zastosować zasadę Banacha
dla odwzorowań zwężających, należałoby jeszcze
udowodnić warunek kontrakcji, czyli oszacować normę różnicy
Tutaj pojawia się
problem, bo z (1.25) dostajemy następującą nierówność:
![]() |
||||
![]() |
![]() |
(Zadanie 1.39). Ponieważ (patrz
(1.24)) oraz
i
są małe (patrz powyżej), to wypada tylko umieć
oszacować normę pochodnej
odwzorowania
Ale, jeśli wybieramy
i
dowolnie z przestrzni
, to
będzie tylko ciągłe, a jego pochodna może być nieograniczona.
Jest wyjście z tego impasu. Przypomnijmy, że w dowodzie twierdzenia
Banacha wybiera się a następnie punkty
powinny zbiegać do punktu stałego.
Chodzi o to aby wybrać wektorową funkcję
gładką i
pokazać, że funkcje
też są gładkie z odpowiednio
ograniczonymi normami. Nietrudno zgadnąć, że
![]() |
jest dibrym wyborem. Łatwo też widać ze wzoru (1.24), że są gładkie, np.
Trzeba tylko pokazać, że funkcje są jednakowo ciągłe. To sprowadza się do oszacowania normy pochodnej
przy założeniu, ograniczoności
normy
Mamy
![]() |
(1.26) |
gdzie pominęliśmy argumenty funkcji występujących po prawej stronnie tej równości. Zatem norma supremum szacuje się następująco:
![]() |
gdzie jest małe,
i
Stąd wynika, że, jeśli
jest dostatecznie mała,
(dla odpowiedniego
), to i
(Zadanie 1.40). To daje równomierne oszacowanie dla norm
ciągu funkcji
Zatem zbiegają do punktu stałego
o którym na
razie możemy powiedzieć tylko że jest reprezentowany przez ciągłe odwzorowanie z
do
; czyli, że podrozmaitość
![]() |
jest klasy
Powiemy krótko, jak dowieść gładkości funkcji W tym celu należy stosować jednocześnie równania (1.25) i
(1.26) do ciągów
i
W szczególności, pokazuje się jednakową ciągłość rodziny
co wymaga
jednostajnego szacowania wyrażenia
.Okazuje się, że to daje się zrobić korzystając z oszacowań dla
,
.
Następnie korzysta się z twierdzenia Ascoliego, które mówi,
że z jednakowo ciągłego ciągu funkcji na zwartym zbiorze można wybrać podciąg zbieżny. Tutaj zbiór zwarty to dla pewnego
a
granicą podciągu
musi być
(bo taka jest granica w przestrzeni funkcji ciągłych).
W tym (skróconym) dowodzie ograniczyliśmy się do przypadku, gdy jest klasy
(i wtedy
są też klasy
Ale
przypadek klasy
dla
też da się udowodnić, i to tą samą metodą, tylko dowód wymaga większej liczby wzorów i oszacowań. Pomijamy go.
Na koniec zauważmy, że ponieważ i
i
to mamy
dla dowolnego
Zatem
co oznacza, że podrozmaitość
jest styczna w punkcie
do przestrzeni
∎
Dowód Twierdzenia 1.18. Połóżmy czyli
przekształcenie potoku fazowego po czasie
i niech
będzie lokalną rozmaitością stabilną dla
(patrz
Twierdzenie 1.22). Ponieważ podrozmaitość
jest
definiowana topologicznie jako zbiór tych punktów
że
gdy
to
Z drugiej strony, jeśli
, to zapisując
dla
i
mamy
(jako, że rodzina
jest jednakowo ciągła). ∎
Drugi podstawowy wynik dotyczący hiperbolicznych punktów stałych pochodzi od D. Grobmana i P. Hartmana ([13]). Formułujemy go jednocześnie dla kaskad i potoków.
Twierdzenie 1.23 (Grobman–Hartman). Niech będzie kiełkiem dyfeomorfizmu klasy
z hiperbolicznym punktem stałym w
Wtedy
istnieje lokalny homeomorfizm
taki, że
![]() |
(1.27) |
Analogicznie, dla lokalnego potoku generowanego przez kiełek pola wektorowego
z
hiperbolicznym punktem równowagi
istnieje lokalny
homeomorfizm
(jak wyżej) taki, że
![]() |
(1.28) |
Dowód. Zaczniemy od przypadku kaskady. Podobnie jak w przypadku
dowodu Twierdzenia 1.22 sprowadzamy sytuację do przypadku, gdy i
![]() |
gdzie zachodzą oszacowania (1.24) i
jest określone na całym
oraz jest małe wraz z pochodnymi.
Homeomorfizm
wybierzemy w postaci
![]() |
(1.29) |
Równanie (1.27) na które odnacza przemienność następującego diagramu
![]() |
prowadzi do równania W składowych dostajemy układ równań
![]() |
Przepiszmy ten układ w dogodnej dla nas formie
![]() |
(1.30) |
Łatwo rozpoznać tu równanie punktu stałego
dla nieliniowego operatora
działającego na
poprzez prawe strony układu (1.30).
Jako przestrzeń Banacha wybierzemy
![]() |
z normą . Tutaj już nietrudno pokazać, że
operator
przekształca kulę w
o odpowiednim
promieniu w siebie i że jest kontrakcją. Podstawowy argument polega
na tym, że macierze
i
mają normę
.
Oderwijmy się na moment od naszego dowodu i rozważmy sytuację, gdy równanie (1.27) zastąpić równaniem
![]() |
(1.31) |
gdzie Po podstawieniu
i pewnych przekształceniach otrzymujemy następujący analog układu (1.30)
![]() |
Tutaj też mamy do czynienia z równaniem punktu stałego dla
odpowiedniego przekształcenia , które jest zwężające. Zatem również układ
(1.31) ma rozwiązanie.
Odnotujmy następującą własność rozwiązań równań (1.27) i (1.31), które są konsekwencją faktu, że w tezie twierdzenia Banacha o punkcie stałym przekształcenia zwężającego w przestrzeni Banacha tenże punkt stały zależy w sposób ciągły od parametrów (o ile samo przekształcenie zależy od parametrów w sposób ciągły):
Rozwiązania i
równań (1.27) i (1.31) są jednoznaczne i zależą w sposób ciągły od danych występujących w tych równaniach (czyli od
i
Ponadto w równaniu (1.27) możemy zastąpić liniowe przekształcenie
dowolnym przekształceniem
takim,
że
Wyżej wspomniana jednoznaczność pozwoli nam na udowodnienie,
że przekształcenia i
są homeomorfizmami; dokładniej,
że
Rzeczywiście, przekształcenie
spełnia warunek
czyli równanie
(1.27) dla
Ponieważ również przekształcenie tożsamościowe też spełnia to równanie, to z jednoznaczności mamy
Analogicznie, przekształcenia
i
spełniają
równanie
Przejdźmy teraz do dowodu drugiej części twierdzenia, czyli
isnienia homeomorfizmu , który spełnia jendocześnie wszystkie równania typu (1.27) dla rodziny przekształceń
. Dla
przekształcenia
mają
hiperboliczny punkt stały
Zatem z udowodnionej już pierwszej części twierdzenia mamy istnienie rodziny homeomorfizmów
, takich, że
![]() |
Trzeba jeszcze tylko pokazać, że nie zależą od
który tutaj traktujemy jako parametr. Przynajmniej wiemy, że
zależy od
w sposób ciągły.
Zauważmy teraz następującą tożsamość
![]() |
(tutaj wykorzystaliśmy grupową własność potoku fazowego).
Oznacza ona, że (jednoznaczność). Analogicznie
dowodzi się, że
dla naturalnego
i stąd,
że
![]() |
(Zadanie 1.41). Widać, że dla wymiernego zbioru parametrów przekształcenia
są takie same. Z ciągłej zależności
of parametru (patrz wyżej) wynika, że
jako funkcja od
Teraz obserwacja, że jeśli
spełnia równanie (1.28) dla danego czasu
to spełnia to równanie też dla czasu
(Zadanie 1.42) kończy dowód.
Na koniec jeszcze jedna uwaga. Ponieważ
jest tylko lokalnym potokiem fazowym (dla pola wektorowego
określonego w otoczeniu
to trzeba zatroszczyć się o dziedziny
przekształceń potoku, i tym samym, o dziedziny przkształceń
Ale tu nie ma problemu, bo dziedzina przekształcenia
zwiększa się ze wzrostem
Wystarczy w powyższym dowodzie ograniczyć się do czasów takich , że
∎
Własność (1.27) oznacza, że dynamika (tj. kaskada) generowana
przez dyfeomorfizm jest taka sama, z jakościowego punktu widzenia
jak dynamika generowana przez dyfeomorfizm liniowy
Rzeczywiście, jeśli
jest orbitą
punktu względem dyfeomorfizmu
i
, to
jest orbitą
punktu
względem liniowego dyfeomorfizmu
Następująca definicja wydaje się naturalna.
Definicja 1.24. Jeśli dla dyfeomorfizmów i
istnieje homeomorfizm
taki, że
![]() |
to mówimy, że dyfeomorfizmy i
są topologicznie
sprzężone (przy pomocy
Jeśli
jest klasy
,
to mówimy o sprzężeniu klasy
Podobnie, pola
wektorowe
i
są topologicznie (lub klasy
sprzężone, jeśli ich potoki fazowe są sprzężone
przy pomocy homeomorfizmu (lub odpowiednio dyfeomorfizmu klasy
Jeśli dyfeomorfizm ma własność, że dowolny
dyfeomorfizm
który jest bliski
(w pewnej klasie, której
tutaj nie chcemy uściślać) jest topologicznie sprzężony
z
to mówimy, że
jest strukturalnie stabilny.
Podobnie, pole wektorowe
jest strukturalnie stabilne jeśli bliskie pola są topologicznie sprzężone z nim.
Twierdzenie Grobmana–Hartmana mówi, że dyfeomorfizm (odpowiednio pole wektorowe) w otoczeniu hiperbolicznego punktu stałego (odpowiednio hiperbolicznego punktu równowagi) jest topologicznie sprzężone z częścią liniową dyfeomorfizmu (odpowiednio pola). Możemy udowodnić więcej.
Stwierdzenie 1.25.Dyfeomorfizm (odpowiednio pole wektorowe) w otoczeniu hiperbolicznego punktu stałego (odpowiednio hiperbolicznego punktu równowagi) jest strukturalnie stabilny.
Dowód. Użyjemy następującej bezpośredniej
konstrukcji homeomorfizmu który sprzęga dwa dyfeomorfizmy
i
w przypadku asymptotycznie stabilnym, tzn. takim, że
i
mają wszystkie wartości własne o module
Można założyć, że
i
w
dowodzie twierdzenia Grobmana–Hartmana. Wtedy istnieje `funkcja Lapunowa',
tzn. spełniająca warunek (i) Definicji 1.5 i następujący
analog warunku (ii):
![]() |
Jej konstrukcja jest zpełnie analogiczna jak w dowodzie Twierdzenia
Lapunowa; możemy założyć, że w odpowiednim (liniowym) układzie współrzędnych. Niech
będzie odpowiednią funkcją
Lapunowa dla dyfeomorfizmu
(też w odpowiednim układzie współrzędnych). Mamy dwa egzemplarze
, na których działają odpowiednio dyfeomorfizmy
i
Wybierzmy małe i rozważmy hiperpowierzchnie
(dyfeomorficzne ze sferami)
i
Zdefiniujmy homeomorfizm
pomiędzy
tymi hiperpowierzchniami jako
(patrz Rysunek 1.8). Warunek
![]() |
(1.32) |
pozwala 'dookreślić' przekształcenie pomiędzy
hiperpowierzchniami
i
jak na Rysunku 1.8. Przedłużmy
w sposób ciągły i wzajemnie jednoznaczny do
obszaru pomiędzy hiperpowierzchniami
i
Stosując
wielokrotnie równanie (1.32) przedłużamy
do całego
obszaru
. Kładąc
dostajemy poszukiwany homeomorfizm.
Zupełnie analogiczna konstrukcja pracuje w przypadku dyfeomorfizmów
rozszerzających, tzn. gdy macierze i
mają wartości własne o module
Rozważmy teraz dwa dyfeomorfizmy liniowe i
definiowane
przy pomocy hiperbolicznych macierzy
i
w odpowiednich (i takich samych) rozkładach
Z powyższych rozważań dostajemy
homeomorfizmy
i
, które sprzęgają
z
i
z
odpowiednio. Teraz homeomorfizm
![]() |
sprzęga z
Rozważmy teraz dyfeomorfizm w otoczeniu hiperbolicznego punktu stałego
i jego małe zaburzenie
z tym samym punktem stałym. Ponieważ macierz
jest bliska macierzy
to
też jest hiperboliczna z takimi samymi wymiarami podprzestrzeni
stabilnej i niestabilnej; czyli możemy zastosować powyższą
konstrukcję homeomorfizmu sprzęgającego części liniowe
tych dyfeomorfizmów. Widzimy, że
jest sprzężony z
,
jest sprzężony z
i
jest sprzęzony z
składając te trzy
homeomorfizmy dostaje się sprzężenie
z
Przypadek Stwierdzenia 1.25 dla pól wektorowych pozostawiamy słucha- czom jako ćwiczenie (Zadanie 1.43). ∎
Uwaga 1.26. Można zapytać, czy nie można wzmocnić
tezy twierdzenia Grobmana-Hartmana, tzn. czy homeomorfizm może być klasy
Okazuje się, że nie. Na przykład, przekształcenie
nie da się zlinearyzować przy pomocy
dyfeomorfizmu klasy
(patrz [13], Problem 8.1). Ten problem wiąże się z rezonansami pomiędzy wartościami własnymi (patrz
Twierdzenie Poincarégo–Dulaca w Rozdziale 3.3).
ZADANIA
Zadanie 1.27. Uzupełnić dowód Lematu 1.7, tzn. w przypadku nierzeczywistych wartości własnych.
Zadanie 1.28. Udowodnić wzory (1.11)–(1.15).
Zadanie 1.29. Zbadać stabilność (w sensie Lapunowa i
asymptotyczną) dla punktu osobliwego
układu
Lotki–Volterry
![]() |
(1.33) |
który opisuje dynamikę dwóch konkurujących populacji (drapieżników i ofiar).
Wskazówka: Stwierdzenie 2.11 poniżej.
Zadanie 1.30. Korzystając z Definicji 1.1 sprawdzić, czy położenie równowagi dla równania
jest stabilne w sensie Lapunowa, t.j. z
.
Zadanie 1.31. Zbadać stabilność położenia równowagi dla układu
Zadanie 1.32. Zbadać stabilność zerowego rozwiązania dla układu
Zadanie 1.33. Dla jakich wartości parametru rozwiązanie zerowe układu
jest
asymptotycznie stabilne?
Wskazówka: gdy prosta
jest niezmiennicza.
Zadanie 1.34. Dla jakich wartości parametrów i
rozwiązanie zerowe układu
jest
asymptotycznie stabilne?
Wskazówka: dla wprowadzając
sprowadzić
układ do postaci
i znaleźć funkcję Lapunowa.
Zadanie 1.35. Dla jakich wartości parametrów i
rozwiązanie
równania
jest asymptotycznie stabilne?
Zadanie 1.36. Pokazać, że dyfeomorfizm (lokalnego)
potoku fazowego generowanego przez pole wektorowe
ma część liniową w punkcie stałym
postaci
Wywnioskować stąd Lemat 1.21.
Zadanie 1.37. Udowodnić oszacowania (1.24) (dla odpowiedniego
układu współrzędnych i euklidesowej normy w
Zadanie 1.38. Podać jawny wzór na funkcję z
dowodu Twierdzenia 1.22.
Zadanie 1.39. Udowodnić nierówność dla z dowodu Twierdzenia
1.22.
Zadanie 1.40. Podać jakiś wzór na , w zależności od
, w nierówności
.
Zadanie 1.41. Udowodnić, że dla
i
Zadanie 1.42. Udowodnić, że jeśli spełnia własność (1.28) dla danego
to też spełnia tę własność dla
Zadanie 1.43. Uzupełnić dowód Stwierdzenia 1.25.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.