Mały parametr w równaniu różniczkowym może pojawiać się zasadniczo na dwa sposoby: albo z prawej strony albo z lewej strony. W pierwszym przypadku mamy do czynienia z małym zaburzeniem układu, o którym na ogół sporo wiemy a w drugim przypadku pojawiają się tzw. drgania relaksacyjne. Oba przypadki są omawiane kolejno w następnych rozdziałach.
Przykładem układu z pierwszej grupy jest znany układ van der Pola
![]() |
gdzie jest naszym małym parametrem. Jest to szczególny
przypadek zaburzenia układu hamiltonowskiego o jednym stopniu
swobody
![]() |
(4.1) |
W zastosowaniach często pojawiają się układy hamiltonowskie z wieloma stopniami swobody postaci
![]() |
(4.2) |
gdzie jest funkcją
Hamiltona, lub hamiltonianem (Zadania 4.11 i 4.12). Na
ogół układ (4.2) nie daje się rozwiązać. Jednak istnieje
klasa układów hamiltonowkich w pełni rozwiązywalnych.
Definicja 4.1. Układ (4.2) nazywa się zupełnie całkowalnym jeśli istnieje układ funkcjonalnie niezależnych całek
pierwszych
taki, że każda
funkcja
jest całką pierwszą dla innych układów
hamiltonowskich generowanych przez inne funkcje
Mówi się
też, że funkcje
są w inwolucji.
Przykładami układów zupełnie całkowalnych jest zagadnienie Keplera i potok geodezyjny na powierzchni elipsoidy (patrz [4]); oba mają dwa stopnie swobody.
Dla układów spełniających warunek z Definicji 4.1 zachodzi następujące twierdzenie, które przytaczamy bez dowodu (patrz [4]).
Twierdzenie 4.2 (Liouville–Arnold). Jeśli wspólne
poziomice
zupełnie całkowalnego układu hamiltonowskiego są zwarte i gładkie, to są one
torusami
Ponadto w otoczeniu danego takiego torusa istnieje układ współrzędnych , tzw. zmienne działanie–kąt, w których układ (4.2) przyjmuje następującą postać hamiltonowską
![]() |
(4.3) |
gdzie jest
hamiltonianem po zamianie. W szczgólności ruch na torusach
, które są
parametryzowane przez kąty
mod
jest okresowy lub prawie-okresowy (patrz Rysunek 4.1):
![]() |
Przykład 4.3. Dla układu van der Pola z i
zmienne działanie–kąt są następujące:
i
Rozważmy teraz następujące zaburzenie układu (4.3)
![]() |
(4.4) |
gdzie
and
. Naturalne jest spodziewać się, że rozwiązanie układu (4.4)
po czasie rzędu
różni sę od rozwiązania układu
(4.3) z tymi samymi warunkami początkowymi o wielkość rzędu
Tymczasem poniższe Twierdzenie 4.4 mówi, że
taką samą wielkość
można uzyskać
po czasie dążącym do nieskończoności przy
Tego rodzaju zjawisko ma miejsce dzięki tzw. uśrednieniu.
Idea uśrednienia wiąże się z faktem, że na większości torusów
trajektori układu niezaburzonego jest gęsta (jak na Rysunku 4.1).
Zatem średnie odchylenie działania
można wyliczyć (w
przybliżeniu) poprzez uśrednienie po torusie.
Definijemy układ uśredniony
![]() |
(4.5) |
gdzie
![]() |
jest uśrednioną po wielkością prędkości zmian działania.
Twierdzenie 4.4 (O uśrednianiu). Niech i funkcje
będą klasy
i
na otwartym podzbiorze
Jeśli
i
są rozwiązaniami układów (4.4) i (4.5) takimi, że
to dla
![]() |
amy
![]() |
gdzie stała zależy tylko od
Dowód. Dokonajmy zamiany
![]() |
(4.6) |
tak, aby zachodziło Wyliczenie
przebiega następująco
![]() |
Zatem chcemy rozwiązać równanie
![]() |
z oczywistym rozwiązaniem Niestety, na ogół to rozwiązanie nie jest jednoznaczną (czyli okresową) funkcją od
Przeszkodą jest wielkość
która może być niezerowa.
Ale, zapisując
![]() |
tak, że możemy
zdefiniować jednoznaczną funkcję
![]() |
Dostajemy równanie
![]() |
Widać, że po czasie różnica pomiędzy
i
jest rzędu
Z drugiej strony, różnica pomiędzy
i
jest rzędu
dzięki zamianie (4.6). ∎
Dla zaburzeń typu (4.4) zupełnie całkowalnych układów
hamiltonoskich z wieloma stopniami swobody oszacowania są słabsze niż w tezie Twierdzenia 4.4. Okazuje się, że po czasie czędu , dla warunków początkowych spoza zbioru o
mierze Lebesque's
odchylenie
od
nie
przekracza
gdzie
są wykładnikami
zależnymi od
Po więcej informacji odsyłam
czytelnika do [5].
Przykład 4.5 (Całki abelowe). Rozważmy następujące zaburzenie dwuwymiarowego układu hamiltonowskiego
![]() |
Dla krzywe fazowe leżą w poziomicach funkcji
Hamiktona
W pewnym obszarze przestrzeni fazowej te krzywe są
zamknięte. Jak już robiliśmy to kilkakrotnie, badanie cykli
granicznych układu zaburzonego polega na analizie przekształcenia
powrotu Poincarégo z
(cięcie transweralne do krzywych
fazowych) do
Parametryzując
za pomocą
warunek
cyklu granicznego to
(patrz Rysunek 4.2). Mamy
![]() |
gdzie jest czasem powrotu do
a
jest krzywą fazową układu zaburzonego startującą z
takiego, że
Wyrażenie
![]() |
(4.7) |
jest tzw. całką abelową.15Pojęcie całki abelowej wywodzi się z zespolonej geometrii
algebraicznej. Są to całki z form meromorficznych wzdłuż
pewnych zamkniętych krzywych na zespolonych krzywych algebraicznych
(powierzchniach Riemanna). Gdy
i
są
wielomianami, to powierzchnia Riemanna jest zespoloną krzywą
a
forma to
Z Twierdzenia o funkcjach uwikłanych
wynika, że jeśli
i
to dla
i małego istnieje cykl graniczny
który dąży do krzywej
przy
To podejście do problemu cykli granicznych
jest szeroko stosowane w Jakościowej Teorii.
Nietrudno zauważyć, że funkcja jest odpowiednikiem całki uśrednienia
która występuje we wzorze (4.5).
Rozważmy układ hamiltonowski
![]() |
z hamiltonianem postaci
![]() |
gdzie jest hamiltonianem układu zupełnie całkowalnego, czyli
układu typu (4.3) w zmiennych działanie–kąt. Z tą sytuacją
wiąże się jedno z najważniejszych twierdzeń
matematycznych drugiej połowy XX wieku. Przed jego sformułowaniem musimy
wprowadzić jeszcze dwa założenia dotyczące niezdegenerowania
niezaburzonego hamiltonianu
![]() |
(4.8) |
![]() |
(4.9) |
Warunek (4.8) oznacza, że częstości znieniają się niezależnie i dosyć szybko wraz ze zmianą działań
natomiast warunek (4.9) oznacza, że te częstości
zmianiają się szybko i w miarę niezależnie po ograniczeniu
do poziomic
Twierdzenie 4.6 (Kołmogorow–Arnold–Moser). Jeśli są spełnione warunki niezdegenerowania (4.8) i (4.9) dla , to dla małego zaburzenia
większość torusów niezmienniczych
nie znika, ale tylko lekko deformuje się i ruch na nich jest
dalej prawie okresowy.
To twierdzenie zostało sformułowane w 1954 roku na Międzynarodowym
Kongresie Matematyków w Amsterdamie, ale na ścisły dowód musiało czekać do początku lat sześdziesiątych. Podali go
niezależnie V. Arnold (w przypadku analitycznym) i J. Moser (w przypadku
gładkim klasy Później klasa gladkości została obniżona do
Oczywiście nie jestem w stanie przedstawić tego
dowodu tutaj.
Przykład 4.7. (Płaski ograniczony problem trzech ciał)
Płaskie ograniczone zagadnienie trzech ciał jest to układ w
którym dwa ciała (oddziałujące na siebie siłą
grawitacji) obracają się za stała prędkością kątową wokół ich środka masy (w początku układu współrzędnych) a trzecie ciało porusza się w płaszczyźnie obrotu
dwu ciał i ma masę tak małą, że nie zakłóca ich ruchu.
Na Rysunku 4.3 mamy taki układ, w którym oznacza Słońce,
-Jowisz,
zaś jest Asteroidem. Jednostki czasu, długości i masy można dobrać tak, aby prędkość kątowa, suma mas
i
oraz stała grawitacyjna były równe
1. Wtedy też odległość między
i
też równa się
Jedynym parametrem charakteryzującym układ jest masa Jowisza
Równania ruchu Asteroidu są hamiltonowskie z hamiltonianem
![]() |
gdzie i
są odległościami
od
i
odpowiednio. Zauważmy, że położenia
i
zmieniają się z czasem:
zatem hamiltoniam zależy bezpośredno od czasu.
Aby pozbyć się tej zależności od czasu, dokonujemy następującej zamiany (jednoczesny obrót współrzędnych i pędów)
![]() |
Okazuje się, że w nowych zmiennych układ nadal jest hamiltonowski z nowym hamiltonianem
![]() |
(4.10) |
![]() |
(Zadanie 4.13). W nowych zmiennych
ciała
i
spoczywają.
Punkty równowagi układu hamiltonowsiego to punkty krytyczne funkcji hamiltona (Zadanie 4.14). W przypadku hamiltonianu (4.10) te punkty, które nazywamy względnymi położeniami równowagi, zadane są przez
![]() |
Mamy
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Mamy dwie możliwości:
1. tutaj znajdujemy trzy punkty tzw. współliniowe punkty libracji
(Zadanie 4.15), które okazują się niestabilne.
2. i
tutaj mamy dwa tzw. trójkątne punkty libracji
i
które leżą
w wierzchołkach dwóch trójkątów równobocznych o
podstawie
Wyliczenia, których nie przeprowadzamy, pokazują, że dla punkty
są niestabilne natomiast w przeciwnym
przypadku, tj. dla
wartości własne części liniowej układu
hamiltonowskiego są postaci
gdzie
Jesteśmy na granicy
obszaru stabilności.
Ponadto część kwadratowa w punkcie
przyjmuje postać
![]() |
w odpowiednim układzie wspólrzędnych w otoczeniu (patrz
[19]). Jest to Hamiltonian układu zupełnie całkowalnego ze zmiannymi
działanie–kąt
i z
(Zadanie
4.16).
Mamy sytuację jak w Twierdzeniu KAM: gdzie
jest
zupełnie całkowalny a
zawiera wyrazy rzędu
ze względu na
(które są małe). Niestety, to nie wystarcza, ponieważ częstości
są
stałe, a z warunku niezdegenerowania (4.8) powinny się zmianiać
wraz z
. Należy więc uwzględnić jeszcze dalsze wyrazy
rozwinięcia
w otoczeniu
Dokładniej, dokonujemy uproszczenia wyrazów rzędu trzeciego i
czwartego w hamiltonianie To uproszczenie jest analogiem formy
normalnej Poincarégo–Dulaca i zostało udowodnione przez G.
Birkhoffa w Twierdzeniu 4.9 poniżej. Ta forma normalna Birkhoffa w naszym przypadku ma następującą postać
![]() |
(4.11) |
gdzie
są
nowymi zmiennymi a
zawiera wyrazy rzędu
(oraz
i
są inne niż powyżej). W założeniu twierdzenia
Birkhoffa pojawia się warunek braku relacji rezonansowych rzędu 4 i
3. Okazuje się, że takie relacje zachodzą dla wartości
i
zatem te wartości parametru
należy wykluczyć.
Hamiltonian jest hamiltonianem zupełnie całkowalnym i ma szansę na spełnienie warunków niezdegenerowania
(4.8) i (4.9). Okazuje się, że tylko warunek (4.9) jest istotny. A.
Leontowicz pokazał, że może on zostać naruszony tylko dla
dyskretnego zbioru wartości parametru
Załóżmy zatem, że
spełnia wszystkie warunki wypisane powyżej, czyli jest prawdziwa teza twierdzenia KAM.
Jak z twierdzenia KAM wynika stabilność? Otóż znajdujemy się w przestrzeni wymiarowej w otoczeniu punktu równowagi.
Ponieważ układ jest hamiltonowski z hamiltonianem niezależnym od
czasu, więc ruch odbywa się po powierzchniach
Są one trójwymiarowe. Z twierdzenia KAM wynika, że każda taka
powierzchnia jest prawie zapełniona torusami niezmienniczymi
, których jest tym więcej im bliżej jesteśmy torusa
. Każdy torus niezmienniczy rozbija powierzchnię
const na dwie części, swoje wnętrze i zewnętrze. Zaden punkt
z wnętrza nie wychodzi zeń w trakcie ewolucji. Ponieważ w
przestrzeni zmiennych
torusy mogą być dowolnie małe, to
wynika stąd stabilność w sensie Lapunowa.
Uzupełnimy powyższy przykład. Załóżmy, że mamy hamiltonian w postaci
![]() |
Definicja 4.8. Mówimy, że `częstości' spełniają relację resonansową rzędu
jeśli isnieją liczby całkowite
z
takie, że
![]() |
Twierdzenie 4.9 (Birkhoff). Jeśli częstości nie spełniają żadnej relacji rezonansowej rzędu
to istnieje kanoniczna zamiana zmiennych
prowadząca do hamiltonianu
![]() |
gdzie i
sumowanie przebiega po wielowskaźmikach
z
i
Uwaga 4.10. Zamiana występująca w powyższym twierdzeniu jest kanoniczna jeśli
![]() |
Okazuje się, że po kanonicznej zamianie zmiennych układ hamiltonowski przechodzi w układ hamiltonowski (patrz [4]).
ZADANIA
Zadanie 4.11. Pokazać, że jeśli funkcja hamiltona
nie zależy bezpośrednio od czasu, to jest całką pierwszą
dla układu (4.2).
Zadanie 4.12. Pokazać, że pole wektorowe zadane wzorem (4.2) ma zerową dywergencję. Wywnioskować stąd, że odpowiedni potok fazowy zachowuje objętość.
Zadanie 4.13. Udowodnić wzór (4.10).
Zadanie 4.14. Pokazać, że jeśli nie zależy bezpośrednio od czasu, to punkty równowagi układu (4.2) są dokładnie punktami krytycznymi funkcji
Zadanie 4.15. Pokazać, że istnieją dokładnie trzy współliniowe punkty libracji.
Zadanie 4.16. Pokazać, że hamiltonian postaci (lub jak we wzorze (4.11)) jest hamiltonianem układu zupełnie całkowalnego.
Zadanie 4.17. Zastosować metodę całek abelowych (Przykład 4.5) do pokazania, że układ van der Pola
dla małego parametru
posiada dokładnie jeden cykl
graniczny.
Zacznijmy od znanego przykładu.
Przykład 4.18 (Układ van der Pola).
![]() |
(Gdy i położyć
, to dostaje się
z dokładnością do przeskalowania jest to układ z Przykładu 2.34.)
Widać, że zmienia się szybko w porównaniu z
mówimy, że
jest szybką zmienną a
wolną. Dla
mamy
const i w istocie mamy równanie na
zależne od parametru
(teoria bifurkacji się kłania, patrz
Rysunek 4.4). Gdy
(ale małe), to fizycy
powiedzieliby, że parametr
`płynie'. Oczekuje się istnienia
cyklu granicznego
(w istocie
jest stabilny) dążącego do kawałkmi gładkiej krzywej
przedstawionej na Rysunku 4.5. Cykl
składa się z:
— kawałków ruchu powolnego wzdłuż krzywej (gdzie
— odcinków skoku wzdłuż prostych const.
Taki ruch jest przykładem dragań relaksacyjnych (jak bicie serca).
Rozważmy teraz ogólną sytuację. Mamy układ niezaburzony
![]() |
(,
); tutaj
to szybkie współrzędne a
to wolne współrzędne. Mamy też układ zaburzony
![]() |
Definicja 4.19. Powierzchnia nazywa
się powolną powierzchnią.
Powolna powierzchnia dzieli się na obszary stabilności i niestabilności układu niezaburzonego; odpowiadają one sytuacjom gdy ,
i gdy istnieje
Na powolnej powierzchni mamy pole wektorowe definiowane następująco. Bierzemy pole
![]() |
w punkcie i rzutujemy je na
wzdłuż zmiennych
Jest to pole ruchu powolnego.
Przypomnę, że na początku tego rozdziału mówiliśmy,
że drgania relaksacyjne charakteryzują się własnością,
ze mały parametr występuje po lewej stronie. Aby się o tym przekonać wprowadzamy czas powolny Wtedy dostajemy układ
![]() |
Teraz równanie ruchu powolnego na (lokalnie
parametryzowanej przez
jest postaci
![]() |
(z odpowiednią funkcją
Przeanalizujmy ruch typowego punktu Składa
się on z kawałków trzech rodzajów: dochodzenie do powierzchni
powolnej, ruch wzdłuż powierzchnii powolnej i ruch w obszarze przejściowym.
4.20. Dochodzenie do powierzchni powolnej. Niech punkt spoza
rzutuje się (wzdłuż współrzędnych
na punkt
, na
w obszarze stabilności (patrz Rysunek 4.6). To
znaczy, że punkt
leży w basenie przyciągania punktu
dla równania
(
stałe). Rozważmy obszar
gdzie
jest pewnym obszarem odpowiadającum podzbiorowi obszaru stabilności w
Okazuje się, że
powolny czas dochodzenia rozwiązania z warunkiem początkowym
do
jest rzędu
co odpowiada rzeczywistemu
czasowi
![]() |
(stała zależy od
i od
4.21. Ruch powolny. W obszarze mamy ruch powolny, opisywany równaniem
Trwa on do momentu
co odpowiada długiemu czasowi rzeczywistemu
4.22. Ruch w obszarze przejściowym. Obszar przejściowy leży blisko granicy pomiędzy obszarami stabilności i niestabilności w Mamy dwie typowe możliwości (jak w teorii
bifurkacji):
A. (gdzie
B.
A. Zryw. Ten przypadek (który odpowiada bifurkacji siodło–węzeł) zanalizujemy dla sytuacji gdy i
(można do tego wszystko zredukować). Po odpowiednich
przeskalowaniach mamy następujący układ
![]() |
Dokonujemy normalizacji
![]() |
łatwo sprawdzić, że prowadzi to do pola
![]() |
orbitalnie równoważnemu polu Jego portret fazowy jest zadany równaniem
Riccatiego
![]() |
(4.12) |
i jest przedstawiony na Rysunku 4.717Równanie (4.12) jest chyba najprostszym przykładem równania różniczkowego, którego nie można rozwiązać w tzw. kwadraturach.. Zjawisko, które tutaj obserwujemy nosi nazwę zrywu.
B. Opóźnienie utraty stabilności. W tym przypadku, który odpowiada bifurkacji Andronowa–Hopfa, problem redukuje się do następującego modelowego układu
![]() |
(4.13) |
Oczywiście
jest `płynącym' parametrem. Załóżmy jeszcze, że
![]() |
przypadek jest mniej ciekawy. Dla amplitudy
dostajemy równanie Bernoulliego
![]() |
Połóżmy warunek początkowy
![]() |
gdzie jest ustaloną (nie za dużą i nie za małą)
stałą. To zagadnienie początkowe ma następujące rozwiązanie
![]() |
(4.14) |
(Zadanie 4.24). Zbadamy asymptotyczne zachowanie się tego rozwiązania przy dzieląc zakres czasu
na
cztery obszary:
(a) czyli
Niech Wtedy
i
gdzie
Zatem
![]() |
oraz
![]() |
jest malejącą funkcją od
(b) jest ustalone tak, że
Tutaj Zatem
![]() |
przy czym jest to bardzo szybkie dążenie do zera.
(c) czyli
.
Wprowadźmy zmienną Jak w
punkcie (a) mamy
Obszar całkowania dla całki we wzorze (4.14) podzielimy na trzy odcinki:
od do
, od
do
i od
do
Przez
i
oznaczymy odpowiednie całki. Podobnie jak w punkcie (a) pokazuje się, że
i
Z rachunków w punkcie (b)
wynika, że
bardzo szybko. Zatem
![]() |
(d) czyli
i jest ustalone. Teraz
Następnie
dla
bliskich
tj. dla tych
dla których wkład do całki jest
dominujący. Dostajemy
Stąd
![]() |
Możemy podsumować powyższe obliczenia.
Twierdzenie 4.23.W przypadku B opisywanego układem
(4.13) z zachodzi zjawisko opóźnienia utraty stabilności. Polega ono na tym, przy zmianie zmiennej
(która
jest współczynnikiem stabilności ruchu niezaburzonego) od wartości ujemnej
do wartości dodatniej
układ (względem
jest cały czas
stabilny, a zmiana stabilności rozwiązania następuje dla
parametru
przy czym dalej amblituda oscylacji rośnie
jak w zwykłej bifurkacji Andronowa–Hopfa.
Zjawisko opóźnienia utraty stabilności można objaśnić fizycznie.Zmienna jest ujemna przez bardzo długi czas, rzędu
Wtedy układ fizyczny zdąży
podejść bardzo blisko położenia równowagi; na tyle blisko,
że potrzeba potem tyle samo czasu, aby od położenia równowago
odejść (patrz Rysunek 4.8).
ZADANIA
Zadanie 4.24. Udowodnić wzór (4.14).
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.