Dla autonomicznego pola wektorowego w portret fazowy i ruch
jest w pełni zdeterminowany; to zostało opisane w Rozddziale 2.4. Ale
gdy przestrzeń fazowa nie jest tak prosta, to mogą się zdarzać ciekawe zjawiska.
Na przykład, stałe pole wektorowe
![]() |
na torusie może mieć gęste krzywe fazowe, tj. gdy
jest niewymierne. Wtedy krzywe fazowe są obmotkami
(jak na Rysunku 4.1 powyżej) a ruch jest prawie okresowy, co
oznacza, że rozwiązanie powraca z grubsza okresowo do każdego małego obszaru przestrzeni fazowej. Ponadto, z każdego małego
obszaru można dojść do dowolnego innego małego obszaru. Taka własność nazywa się tranzytywnością w teorii Układów Dynamicznych. Ruch nie jest w pełni deterministyczny, dlatego
że po długim czasie trudno powiedzieć, gdzie znajduje się
ewoluująca cząstka. Jednak nie jest to ruch chaotyczny, ponieważ, jeśli na początku mieliśmy skupiony obszar przestrzeni
fazowej, to ten obszar zachowuje swój skupiony kształt w trakcie
ewolucji. Tymczasem w ruchu chaotycznym taka komórka zaczyna
`rozpływać się' w przestrzeni fazowej.
Przykład 5.1 (Tranzytywność i chaos). Dobrym przykładem sytuacji obrazującej różnicę pomiędzy tranzytywnością a chaosem są dwie szklanki z wodą takie, że w jedną wpuszczono małą kropelkę oliwy a w drugą wlano taką samą ilość soku (Rysunek 5.1). Kropelka oliwy będzie dryfować, odwiedzająć każde miejsce w wodzie, a sok zacznie się rozpuszczać, zapełniając równomiernie cały obszar wody (ta własność jest też nazywana mieszaniem).
Chyba najprostszymi układami różniczkowymi, w których można zaobserwować chaos są okresowe nieautonomiczne układy postaci
![]() |
(5.1) |
gdzie jest
wymiarową rozmaitością. Jak wiemy, taki układ można potraktować jako autonomiczny w rozszerzonej przestrzeni
fazowej
Wtedy wygodnie jest pracować z przekształceniem monodromi (po okresie)
![]() |
gdzie jest
parametrową rodziną dyfeomorfizmów
definiujących ewolucję. W terminach rozszerzonej przestrzeni
fazowej jest to przekształcenie powrotu na hiperpowierzchnię
W monografii J. Guckenheimera i P. Holmes'a [11] jest zanalizowany przykład układu Duffinga z siłą zewnętrzną
![]() |
My zajmiemy się nieco innym przykładem.
Przykład 5.2 (Huśtawka). Jest to równanie
![]() |
gdzie jest małą okresową siłą zewnętrzną, z okresem
. Można
to interpretować jak równanie huśtawki z dziewczynką, która wykonuje okresowe przykucnięcia (patrz Rysunek 5.2). Można też potraktować ten układ jako podukład
wymiarowego układu
autonomicznego
![]() |
Skupmy się jednak na rozszerzonej przestrzeni fazowej gdzie
jest cylindrem i
mamy
![]() |
(5.2) |
Dla sytuacji niezaburzonej () portret fazowy jest znany
(patrz Rysunek 2.1 powyżej); my go przedstawiamy na Rysunku 5.3, gdzie górna i dolna krawędzie walca są przedstawione jako koncentryczne
przerywane okręgi. Nas interesuje, co będzie się działo z pętlą separatrys
punktu siodłowego
Gdyby zaburzenie było niezależne od czasu, to oczekiwany portret fazowy zaburzonego pola byłby jak na Rysunku 5.4, czyli separatrysy punktu siodłowego rozdzieliłyby się. Jednak w przypadku układu nieautonomicznym, ale okresowym ze względu na czas, portret fazowy układu niezaburzonego należy traktować jako dynamikę przekształcenia monodromii. Przy tym w układzie zaburzonym separatrysy nie mają obowiązku rozłączyć się. Spodziewamy się, że będą one przecinać się transwersalnie, jak na Rysunku 5.5. Niżej to wykażemy.
Rozwiązanie układu niezaburzonego, odpowiadające górnej pętli separatrys, jest następujące
![]() |
(5.3) |
(porównaj Zadanie 2.44). Ma ono tę własność, że
i wartość całki pierwszej
![]() |
(5.4) |
wynosi (patrz Rysunek 5.6).
Do badania ukladu zaburzonego () użyjemy całej
rodziny przekształceń monodromii
![]() |
gdzie jest utożsamiane z cięciem
w rozszerzonej przestrzeni fazowej
. Każde przekształcenie
ma swój punkt stały
(utożsamiany z
ten punkt zależy od
i od
i leży blisko punktu
Ponieważ jest to punkt stały
i hiperboliczny (siodło) to ma swoją podrozmaitość stabilną
i niestabilną
(patrz Rysunek 5.6); oczywiście te podrozmaitości też zależą od
i
.
Wybierzmy cięcie transwersalne do
i do
. Niech
(odpowiednio
będzie rozwiązaniem z warunkiem początkowym
(odpowiednio
Oczywiście
przy
i
przy
Ponadto
i
(niezmienniczość podrozmaitości).
Punkt przecięcia podrozmaitości stabilnej i niestabilnej odpowiada
sytuacji, gdy dla odpowiedniego
Jak w przypadu
autonomicznych zaburzeń układów hamiltonowskich (patrz Przykład
4.5) odległość pomiędzy
i
liczymy za
pomocą różnicy wartości całki pierwszej w tych punktach,
![]() |
Mamy
![]() |
Zatem którą to całkę przybliżmy kładąc
ze wzoru (5.3). Dostajemy tzw. całkę Mielnikowa
(analog całki abelowej)
![]() |
(5.5) |
Nietrudno pokazać następujący
Lemat 5.3.Jeśli i
to podrozmaitości
i
przecinają się transwersalnie w
punkcie bliskim
(Zadanie 5.5).
Okazuje się, że całka Mielnikowa ze wzoru (5.5) jest policzalna.
Podstawiając (z
) dostajemy
![]() |
Wyliczymy całkę metodą konturową. Całka wzdłuż konturu z
Rysunku 5.7, w granicy z promieniami okręgów dążących do
i
odpowiednio, wynosi
![]() |
To daje i
![]() |
Łatwo widać, że ta funkcja spełnia wymaganie
Znaleźliśmy przynajmniej jeden punkt przecięcia się
rozmaitości stabilnej i niestabilnej punktu stałego
dla
dyfeomorfizmu
![]() |
gdzie jest pewnym otoczeniem pętli separatrys
siodła
a
jest wyróżnionym przekształceniem monodromii z rodzimy
(z
hiperbolicznymi punktami stałymi
. Ale takich punktów jest
znacznie więcej; są one postaci
Przy
i przy
punkty
dążą do punktu stałego
Jednakże podrozmaitości i
zachowują się co najmniej niestandardowo. Na przykład, rozmaitość
przechodząc przez coraz dalsze punkty
zaczyna być coraz bardziej równoległa do
samej siebie, ale w okolicy siodła
(czyli do lokalnej rozmaitości
niestabilnej
Przy tym oczywiście, pomiędzy punktami
i
wykonuje ostry zakręt. To samo mniej więcej
dzieje się z rozmaitością
przyprzejściu
przez punkty
dla
i pomiędzy tymi
punktami. W szczególności wyróżnione powyżej kawałki
i
zaczynają się przecinać w innych puktach (niż
Aż strach pomyśleć, co się dzieje przy
dalszych iteracjach; np. kawałki
równoległe do
zaczynają być coraz dłuższe (patrz Rysunek 5.8).
ZADANIA
Zadanie 5.4. Pokazać, że jeśli jest
parametrową rodziną dyfeomorfizmów definiujących ewolucję
nieautonomicznego pola wektorowego
które jest okresowe
z okresem
względem czasu, to
Zadanie 5.5. Udowodnić Lemat 5.3.
Wskazówka: Po pierwsze, pokazać, że (jako bliskie krzywej
fazowej z równania (5.3)) w otoczeniu punktu
podrozmaitości
i
leżą poziomo, czyli są
wykresami pewnych funkcji od
Dla
będziemy trakować
je jako wykresy funkcji
i
odpowiednio z pewnego odcinka
(na
osi
ów) do cięcia
przy czym
jest parametryzowane przez
.
Po drugie. przekształcenia i
są sprzężone,
Wywnioskować stąd, że
i podobnie jest z
Przekształcenia
są bliskie przekształceniom
potoku fazowego niezaburzonego układu (5.2), które w otoczeniu punktu
jest z grubsza
`ruchem w prawo'. Stąd wynika, że przy zmianie
rozmaitości
powstają z rozmaitości
przez
`przesuwanie' jej. Stąd wynika, że jeśli
jest zadane
jak w (5.3), to funkcję
, której wykresem jest
można zadać w pierwszym przybliżeniu jako
![]() |
Podobnie wykres funkcji w pierwszym przybliżeniu zadaje
. Różnica
. Pokazać, że
warunek transwersalności
i
wynika z własności:
dla
Prawdopodobnie S. Smale był pierwszym, który dobrze zrozumiał zjawisko z końca poprzedniego rozdziału i opisał je w ścisłych matematycznych terminach. Na Rysunku 5.9 widzimy (nieco krzywoliniowy)
`prostokąt ' wzdłuż lokalnej rozmaitości stabilnej
który pod działaniem odpowiednio wysokiej iteracji
przekształcenia
przechodzi na figurę, która
przecina
w dwu miejscach. Można dobrać parametry definiujące
prostokąt
, aby to rzeczywiście miało miejsce; (my tego nie
robimy, ale możemy odesłać czytelnika do książek R.
Devaney'a [9], C. Robinsona [17] i W. Szlenka [18]).
Modelowy przykład przekształcenia jak na Rysunku 5.9 to przekształcenie podkowy Smale'a przedstawione na Rysunku 5.10.
Definicja 5.6 (Podkowa Smale'a). Mamy (autentyczny) prostokąt na płaszczyźnie
z którym dokonujemy następującej
operacji. Najpierw wydłużmy go w kierunku pionowym i zwężamy w
kierunku poziomym. Następnie zaginamy nasz wydłużony prostokąt
i kładziemy na płaszczyznę tak ,aby przecinał wyjściowy prostokąt wzdłuż dwóch równoległych pionowych pasków
![]() |
W ten sposób dostajemy nową figurę, oznaczaną gdzie
jest dyfeomorfizmem podkowy.18Można to przekształcenie przedłużyć. Doklejmy do dolnej i górnej podstaw
półkola i oznaczmy nową figurę przez
Przedłużmy
na ba półkola, tak aby ich obrazy przylegały do
dolnych końców
. Zakładając, że nowa figura leży
całkowicie w
, dostajemy dobrze określony dyfeomorfizm
Podkowa Smale'a, chociaż prosto zdefiniowana, wcale taka prosta nie
jest. Latwo stwierdzić, że składa się z 4
pionowych pasków; ogólniej,
składa się z
pionowych pasków (Zadanie 5.14). Z drugiej strony,
składa się z dwu poziomych pasków; ogólniej,
składa się z
poziomych i
cienkich pasków (Zadanie 5.15). Zatem
składa się z
małych prostokącików.
Bardzo ważny jest następujący zbiór
![]() |
(5.6) |
Łatwo sprawdzić, że jest to zbiór niezmienniczy względem
(Zadanie 5.16). Można
powiedzieć więcej o
i o
ale najpierw
powinniśmy wprowadzić jedną definicję.
Definicja 5.7. Niech będzie przeliczalnym iloczynem kartejańskim ustalonego zbioru
elementowego; składa się ona z ciągów
. Zdefiniujemy przekształcenie
następująco:
![]() |
Układ dynamiczny zdefiniowany powyżej
nazywa się układem symbolicznym, albo przesunięciem.
Na przetrzeni wprowadza się topologię produktową,
gdzie otoczeniami danego ciągu symboli
są zbiory cylindryczne
postaci
![]() |
(dla ustalonych
jest też przestrzenią metryczna,
bo odległość dwóch ciągów to
Ma miejsce następujące
Twierdzenie 5.8.Istnieje ciągły homeomorfizm który sprzęga
z
![]() |
Dowód. Przekształcenie jest łatwe do
zdefiniowania. Jeśli
to kładziemy
gdzie
![]() |
Własność sprzęgania sprawdza się bezpośrednio (Zadanie
5.18). Pozostaje zatem tylko sprawdzić ciągłość i
odwracalność przekształcenia
Te dwie własności wynikają z hiperboliczności przekształcenia podkowy: w kierunku poziomym jest ściskanie ze stałą a w kierunku pionowym mamy rozciąganie ze stałą
Zatem prostokąciki, pojawiające się przy
lokalizacji punktów
tzn.
![]() |
(5.7) |
stają się eksponencjalnie małe przy i
bardzo dużych. W
granicy dostaniemy tylko jeden punkt (odwracalność). Małe rozmiary
zbiorów (5.7) odpowiadają małości odpowiednich zbiorów
cylindrycznych w
jest to dokładnie ciągłość
i
∎
Ponieważ jest jedynym zbiorem niezmienniczym w prostokącie
to cała interesująca dynamika przekształcenia podkowy
ogranicza się do dynamiki
Dzięki powyższemu
twierdzeniu jest to taka sama dynamika, jak dla przekształcenia
symbolicznego
na
Z drugiej strony, przekształcenie
symboliczne jest przyjemne do badania. Ma ono następujące ciekawe włsności.
Stwierdzenie 5.9.Punkty okreowe dla są gęste w przestrzeni symbolicznej
Dowód. Niech . Dla dużego
wszyskie ciągi
takie, że
są bliskie
Zatem bliski jest też ciąg utworzony z bloku
(długości
i powtarzanego periodycznie. Odpowiada on puktowi
okresowemu dla
o okresie
. ∎
Stwierdzenie 5.10.Układ dynamiczny jest tranzytywny, tzn. dla dowolnych podzbiorów otwartych
istnieje i
takie, że
Dowód. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy i
są zbiorami cylindrycznymi definiowanymi przy pomocy bloków
i
Wtedy
wystaczy wziąć dowolny ciąg z blokiem
(długości
∎
Uwaga 5.11. Można wprowadzić na probabilistyczną miarę produktową
, taką, że
(miara Bernoulliego). Okazuje się ona być niezmiennicza względem przesunięcia
Ponadto
zachodzi własność mieszania, o której wspomniałem na początku rozdziału a której nie chcę ściśle definiować. Zatem układ podkowy Smale'a a także układ huśtawki są układami chaotycznymi.
Podzbiór niezmienniczy dla przekształcenia podkowy Smale's, ma jeszcze jedną ważną własność. Mianowicie jest hiperboliczny, co oznacza, że indukowane
przekształcenia liniowe
są hiperboliczne (mają jedną wartość własną
i drugą
Niestety, zbiór jest bardzo cienki (jego wymiar Hausdorffa
zależy od
i
i na pewno nie jest rozmaitością (nawet lokalnie). Ale istnieją chaotyczne układy
dynamiczne ze strukturą hiperboliczną na całej rozmaitości. Są to tzw. dyfeomorfizmy Anosowa, których najbardziej znanym
reprezentatnem jest następujący
Przykład 5.12 (Hiperboliczny automorfizm torusa). Utożsamijmy
dwuwymiatowy torus z płaszczyzną podzieloną przez kratę, Macierz
![]() |
zadaje przekształcenie płaszczyzny, które punkty o współrzędnych całkowitych przekształca na podobne punkty. Zatem definiuje ono
przekształcenie Ponieważ
wyznacznik naszej macierzy jest równy 1, to i przekształcenie odwrotne
zachowuje kratę; zatem
jest dyfeomorfizmem.
Przekształcenie ma dokładnie jeden punkt stały, odpowiadający
punktowi
Za to równania na punkty okresowe o
okresie 2 przyjmują postać
Nietrudno zobaczyć, że daje to 25 rozwiązań. Ogólnie, ze wzrostem
liczba punktów okresowych dla
o okresie
rośnie do nieskończoności; w szczególności, punkty z wymiernymi obiema współrzędnymi są okresowe (Zadanie 5.19).
Macierz pochodnej w każdym punkcie
jest taka sama i równa
Z
kolei macierz
jest hiperboliczna, z wartościami własnymi
i
Zatem
ma (równomierną) strukturę hiperboliczną. (Ta własność wchodzi w definicję dyfeomorfizmu Anosowa, której nie przytaczam).
Co więcej, przez każdy punkt przechodzą
dwie specjalne krzywe: jedna
odpowiada prostej w kierunku własnym odpowiadającym
i druga
odpowieda
prostej w drugim kierunku własnym. Ponieważ wartości własne są niewymierne, to współczynniki nachylenia obu kierunków własnych są niewymierne. Zatem każda z rozmaitości
i
jest gęsta w torusie (tworzy obmotkę); w topologii mówi się o podrozmaitościach immersyjnych.
Okazuje się, że hiperboliczny automorfizm torusa ma własność tranzytywności mieszania względem miary Lebesque'a (która jest zachowana przez
Na koniec, poinformuję czytelników, że dyfeomorfizm jest
strukturalnie stabilny. To znaczy, że dowolny bliski niemu dyfeomorfizm
jest z nim sprzężony przy pomocy pewnego homeomorfizmu torusa
(analog Twierdzenia Grobmana–Hartmana). Jest to ogólna własność dyfeomorfizmów Anosowa.
Innym naturalny układem typu Anosowa jest potok geodezyjny na powierzchni o stałej ujemnej krzywiźnie.
Bardzo ważnymi przykładami układów dynamicznych są tzw.
atraktory hiperboliczne. Są to przekształcenia gładkie
(nawet niekoniecznie odwracalne) dla których istnieje
domknięty podzbiór niezmienniczy
z otoczeniem
takim, że
Lokalnie
ma postać
gdzie
jest regularną
rozmaitością (z
a
jest zbiorem typu Cantora.
Ponadto ma strukturę hiperboliczną w tym sensie, że
jednostajnie rozciąga w kierunku
i jednostajnie
ściska w kierunku transwersalnym do
Przykład 5.13 (Selenoid). Niech będzie pełnym torusem, gdzie
to dysk a
. Przekształcenie jest zadane następująco
![]() |
Obrazem będzie torus czterokrotnie cieńczy i
dwukrotnie dłuższy oraz włożony w
tak, że owija się
dwukrotnie wokół `równika'
przy tym lekko skręcając
(patrz Rysunek 5.11).
Oczywiście jest zbiorem
niezmienniczym i spełnia wymagania, które nałożyłem powyżej na hiperboliczne atraktory.
Na koniec, chciałbym zauważyć, że w teorii układów
dynamicznych trudny do rozwiązania problem stanowią tzw. dziwne atraktory, które spełniają własność ale nie chcą być równomiernie
hiperboliczne. Najbardziej znane to atraktor Hènona zadany
odwzorowaniem
![]() |
(gdzie np. i
i atraktor Lorenza zadany polem
wektorowym
![]() |
(gdzie np.
i
ZADANIA
Zadanie 5.14. Narysować
Zadanie 5.15. Pokazać, że
składa się z
poziomych pasków.
Zadanie 5.16. Udowodnić, że ze wzoru (5.6) jest
zbiorem niezmienniczym.
Zadanie 5.17. Pokazać, że (z (5.6)) jest
homeomorficzne z
gdzie
jest (odpowiednio zdefiniowanym)
zbiorem Cantora.
Zadanie 5.18. Sprawdzić, że sprzęga
z
Zadanie 5.19. Udowodnić, że zbiór punktów okresowych przekształcenia z Przykładu 5.12 pokrywa się ze zbiorem punktów o wymierych obu współrzędnych.
Wskazówka: Zbiór
dla ustalonego
jest skończony i niezmienniczy względem
Ponadto równania na punkty okresowy o okresie
przyjmują
postać
gdzie
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.