Zagadnienia

6.1 Definicje
6.2 Twierdzenia
6.3 Metody rozwiązywania
6.4 Układy i równania liniowe

6. Dodatek. Podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii RRZ

6.1. Definicje

Pod równaniem różniczkowym zwyczajnym rozumiemy równanie postaci

$\frac{dx}{dt}=\dot{x}=v(t,x),$

(6.1)

gdzie $t\in I\subset\mathbb{R}$ jest czasem rzeczywistym ( $I$ to otwarty odcinek), $x$ należy do przestrzeni fazowej (rozmaitości) $M$ a $v$ jest zależnym od czasu polem wektorowym na $M,$ $v:I\times M\longmapsto TM$ spełnia $v(t,x)\in T_{{x}}M.$ Często $M=U$ jest podzbiorem otwartym przestrzeni euklidesowej $\mathbb{R}^{{n}};$ wtedy $v:I\times U\longmapsto\mathbb{R}^{{n}}$ i mówimy o układzie równań różniczkowych zwyczajnych. Jeśli $v$ nie zależy od czasu, $v=v(x)$ , to równanie (6.1) jest równaniem autonomicznym (a $v$ jest autonomicznym polem wektorowym), w przeciwnym przypadku mamy do czynienia z nieautonomicznym równaniem. Przestrzeń $I\times M$ nazywa się rozszerzoną przestrzenią fazową.

Rozwiązaniem równania (6.1) nazywamy dowolną różniczkowalną krzywą $\varphi:J\longmapsto M,$ $J\subset I,$ która spełnia równanie

$\frac{d\varphi}{dt}(t)\equiv v(t;\varphi(t)).$

Zagadnieniem początkowym nazywamy następujące dwa warunki

$\dot{x}=v(t,x),\text{ \ \ }x(t_{{0}})=x_{{0}},$

(6.2)

z których drugi nazywa się warunkiem początkowym. Rozwiązaniem zagadnienia początkowego (6.2) nazywamy rozwiązanie

$\varphi(t)=\varphi(t;x_{{0}},t_{{0}})$

równania (6.1), które ma własność $\varphi(t_{{0}})=x_{{0}}.$

Jeśli $\varphi(t)$ jest rozwiązaniem układu (6.1), to krzywą $\left\{\left(t,\varphi(t)\right):t\in J\right\}\subset I\times M$ (tj. wykres rozwiązania) nazywamy krzywą całkową; jeśli, dodatkowo, układ (6.1) jest autonomiczny, to krzywą $\left\{\varphi(t):t\in J\right\}$ (tj. obraz rozwiązania) nazywamy krzywą fazową.

Uwaga 6.1. Wprowadzając nowy czas $\tau$ możemy przepisać nieautonomiczne równanie (6.1) w postaci następującego układu autonomicznego

$\frac{dt}{d\tau}=1,\text{ \ }\frac{dx}{d\tau}=v(t,x)$

(6.3)

w rozszerzonej przestrzeni fazowej. Wtedy krzywe całkowe dla równania (6.1) okażą się krzywymi fazowymi dla układu (6.3).

Równanie różniczkowe rzędu $n$ , czyli

$\frac{d^{{n}}x}{dx^{{n}}}=x^{{(n)}}=f(t,x,x^{{(1)}},\ldots,x^{{(n-1)}}),\text{ \ }t\in I,\text{\ }x\in\mathbb{R},$

(6.4)

zastępuje się układem równań pierwszego rzędu

$\dot{y}_{{1}}=y_{{2}},\text{ }\dot{y}_{{2}}=y_{{3}},\ldots,\text{ }\dot{y}_{{n-1}}=y_{{n}},\text{ }\dot{y}_{{n}}=f(t,y_{{1}},\ldots,y_{{n}})$

(6.5)

przy pomocy podstawienia $x=y_{{1}},$ $x^{{(1)}}=y_{{2}},\ldots,$ $x^{{(n-1)}}=y_{{n}}.$ Naturalnym warunkiem początkowym dla równania (6.4) jest

$x(t_{{0}})=x_{{0}},\text{ }x^{{(1)}}(t_{{0}})=x_{{1}},\ldots,\text{\ }x^{{(n-1)}}(t_{{0}})=x_{{n-1}}.$

(6.6)

Zauważmy, że stosując trick z Uwagi 6.1 możemy zastąpić (na ogól) nieautonomiczny układ (6.5) odpowiednim układem autonomicznym w $\mathbb{R}^{{n+1}}.$

Uwaga 6.2. W książkach o równaniach różniczkowych rozważane są także równania uwikłane względem pochodnej, typu

$F(t,x,\dot{x})=0,\text{ \ \ }t\in\mathbb{R},\text{ \ }x\in\mathbb{R}.$

(6.7)

Okazuje się, że, jeśli równanie $F(t,x,p)=0$ da się rozwikłać w otoczeniu pewnego punktu $\left(t_{{0}},x_{{0}},p_{{0}}\right)$ w postaci $x=g(t,p),$ to równanie (6.7) można przepisać w postaci układu autonomicznego

$\frac{dt}{d\tau}=g_{{p}}^{{\prime}}(t,p),\text{ \ }\frac{dp}{d\tau}=p-g_{{t}}^{{\prime}}(t,p),$

gdzie $\tau$ jest nowym `czasem'. Rzeczywiście, mamy $\frac{dx}{d\tau}=\frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\tau}=p\frac{dt}{d\tau}.$ Zatem, różniczkując tożsamość $x(\tau)=g(t(\tau),p(\tau)),$ dostajemy warunek $p\frac{dt}{d\tau}\equiv g_{{t}}^{{\prime}}\frac{dt}{d\tau}+g_{{p}}^{{\prime}}\frac{dp}{d\tau}.$ Jest on spełniony dla powyższego pola wektorowego.

Podobny układ można napisać, gdy równanie $F=0$ rozwikłuje się względem $t,$ a także gdy $x\in\mathbb{R}^{{n}}$ i $F\in\mathbb{R}^{{n}}.$ W tym skrypcie równania typu (6.7) nie są badane, ale przytoczyliśmy je, aby zademonstrować pewną uniwersalną własność autonomicznych równań różniczkowych.

Z autonomicznym równaniem

$\dot{x}=v(x)$

(6.8)

wiąże się pojęcie potoku fazowego. Zauważmy, że rozwiązania $\varphi(t;x_{{0}},0)$ równania (6.8) z warunkiem początkowym $x(0)=x_{{0}}$ zadają rodzinę odwzorowań

$g^{{t}}:D_{{t}}\longmapsto M,\text{ \ }x_{{0}}\longmapsto\varphi(t;x_{{0}},0),$

gdzie $D_{{t}}$ jest dziedziną odwzorowania $g^{{t}}.$ Ta rodzina powinna spełniać dwie naturalne własności

	$\displaystyle g^{{0}}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle id,$		(6.9)
	$\displaystyle g^{{t}}\circ g^{{s}}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle g^{{t+s}}.$		(6.10)

Własność (6.9) to definicja warunku początkowego. Własność (6.10), która powinna być spełniona dla $x_{{0}}\in D_{{s}}\cap\left(g^{{s}}\right)^{{-1}}(D_{{t}}),$ oznacza, że jeśli wystartujemy w momencie czasu $0$ z punktu $x_{{0}}$ i dojedziemy (wzdłuż rozwiązania) do punktu $y_{{0}}=g^{{s}}(x_{{0}})$ a następnie wyzerowujemy stoper i jedziemy z $y_{{0}}$ po czasie $t,$ to dojedziemy do tego samego punktu, jak byśmy jechali po czasie s $t+s$ z $x_{{0}}$ bez zerownia stopera. Oczywiście, tutaj istotne jest, że $v(s,y_{{0}})=v(0,y_{{0}})=v(y_{{0}})$ (autonomiczność).

Rodzina $\left\{ g^{{t}}\right\} _{{t\in I}},$ $g^{{t}}:D_{{t}}\longmapsto M,$ spełniająca warunki (6.9)–(6.10) nazywa się lokalnym potokiem fazowym. Rodzina

$g^{{t}}:M\longmapsto M,\text{ \ }t\in\mathbb{R},$

(globalnych) dyfeomorfizmów przestrzeni fazowej $M,$ spełniająca własności (6.9)–(6.10) nazywa się potokiem fazowym na $M.$ Inaczej mówiąc, odwzorowanie $t\longmapsto g^{{t}}$ jest homomorfizmen z grupy $\mathbb{R}$ do grupy $Diff(M)$ dyfeomorfizmów rozmaitości $M.$

Przykład 6.3. Równanie

$\dot{x}=x^{{2}}+1$

definiuje globalne pole wektorowe na przestrzeni rzutowej $\mathbb{RP}^{{1}}=\mathbb{R}\cup\infty$ (gdzie współrzędna $y=1/x$ w otoczniu $x=\infty$ spełnia równanie $\dot{y}=-1-y^{{2}}).$ Tutal lokalny potok fazowy okazuje sie być potokiem fazowym na $\mathbb{RP}^{{1}}$ złożonym z przekształceń Möbiusa

$g^{{t}}(x_{{0}})=\frac{x_{{0}}\cos t+\sin t}{\cos t-x_{{0}}\sin t}.$

Uwaga 6.4. W przypadku nieautonomicznego pola wektorowego mamy do czynienia z $2-$ parametrową rodziną przekształceń

$g_{{s}}^{{t}}:M\longmapsto M$

(ściślej, z jej lokalną wersją) definiowaną tak, że $g_{{s}}^{{t}}(x_{{0}})=\varphi(t;x_{{0}};s),$ czyli wartość w chwili $t$ rozwiązania startującego z $x_{{0}}$ w chwili $s.$ Zachodzą oczywiste tożsamości

$g_{{t}}^{{t}}=id,\text{ \ \ }g_{{s}}^{{t}}\circ g_{{u}}^{{s}}=g_{{u}}^{{t}}.$

6.2. Twierdzenia

Poniżej czytelnik znajdzie szereg twierdzeń, które są podstawowe w teorii równań różniczkowych zwyczajnych i które są podane bez dowodów. Po więcej szczegółów odsyłam do [3], [15].

Twierdzenie 6.5 (O istnieniu i jednoznaczności lokalnych rozwiązań). Załóżmy, że pole $v(t,x)$ jest klasy $C^{{1}}$ na zbiorze otwartym $I\times U\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{{n}}.$ Niech $(t_{{0}},x_{{\ast}})\in I\times U.$

Wtedy istnieje odcinek $I_{{0}}\subset I,$ zawierający moment początkowy $t_{{0}},$ oraz otoczenie $U_{{0}}\subset U$ punktu $x_{{\ast}}$ takie, że dla dowolnego $x_{{0}}\in U_{{0}}$ zagadnienie początkowe $\dot{x}=v(t;x),$ $x(t_{{0}})=x_{{0}}$ posiada dokładnie jedno rozwiązanie $\varphi(t;x_{{0}}).$

Ponadto odwzorowanie

$\left(t,x_{{0}}\right)\longmapsto\varphi(t;x_{{0}})$

(6.11)

jest ciągłe, a w przypadku, gdy pole $v(t,x)$ jest analityczne, to to odwzorowanie też jest analityczne.

Przypomnimy, że podstawowa idea dowodu tego twierdzenia polega na zastąpieniu zagadnienia początkowego (6.2) równaniem całkowym

$\varphi(t;x_{{0}})=x_{{0}}+\int _{{t_{{0}}}}^{{t}}v(t,\varphi(s;x_{{0}}))ds.$

(6.12)

To równanie jest traktowane jako równanie punktu stałego $\varphi=\mathcal{T}(\varphi)$ dla operatora $\mathcal{T}$ definiowanego po prawej stronie równania (6.12) działającego w odpowiedniej przestrzeni Banacha odwzorowań $\varphi(t,x_{{0}}).$ Na ogół jest to przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na $I_{{0}}\times U_{{0}}$ z normą supremum, przy tym warunek zwężania dla operatora $T$ wynika z warunku Lipschitza względem $x$ dla pola $v(t,x).$ W przypadku analitycznym jako przestrzeń Banacha wybiera się przestrzeń funkcji holomorficznych w pewnym obszarze w $\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{{n}}$ z normą supremum (Zadanie 6.25)

Przykład 6.6. Równanie

$\dot{x}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x}$

posiada dwa rozwiązania z tym samym warunkiem początkowym $x(0)=0$ : $\varphi _{{1}}(t)=0$ dla $t<0$ i $\varphi _{{1}}(t)=t^{{3/2}}$ dla $t\geq 0$ oraz $\varphi _{{2}}(t)\equiv 0.$ Ten standardowy przykład pokazuje, jak ważny jest warunk Lipschitza; tutaj on nie zachodzi w $x=0.$

Twierdzenie 6.7 (O zależności od warunku początkowego). Jeśli w Twierdzeniu 6.5 założymy, że $v$ jest klasy $C^{{2}}$ , to odwzorowanie (6.11) będzie klasy $C^{{1}}.$ Ogólniej, jeśli $v$ jest klasy $C^{{r}},$ $1\leq r\leq\infty,$ to $\varphi$ jest klasy $C^{{r-1}}.$

Twierdzenie 6.8 (O zależności od parametrów). ¹⁹W niektórych źródłach (np. [13], [12]) dowodzi się klasy $C^{{r}}$ zależności rozwiązań od parametrów. Dla naszych celów klasa $C^{{r-1}}$ jest wystarczająca, zwłaszcza, jeśli uwzględni się prostotę poniższego szkicu dowodu tego twierdzenia. Jeśli pole $v$ zależy dodatkowo od parametru $\lambda\in V\subset\mathbb{R}^{{k}}$ i $v(t,x;\lambda)$ jest klasy $C^{{r}},$ $r\geq 2,$ to rozwiązanie $\varphi(t;x_{{0}};\lambda)$ jest klasy $C^{{r-1}}.$

W dowodach ostatnich dwóch twierdzeń wykorzystuje się ważnie pojęcie równania w wariacjach. Równaniem w wariacjach względem warunku początkowego nazywamy równanie

$\dot{y}=A(t)y,\text{ \ \ }A(t)=\frac{\partial v}{\partial x}(t,\varphi _{{0}}(t)).$

(6.13)

Tutaj $\varphi _{{0}}(t),$ $\varphi _{{0}}(t_{{0}})=x_{{0}}$ , jest zadanym rozwiązaniem, a równanie (6.13) otrzymuje się przez podstawienie zaburzenia $x=\varphi _{{0}}(t)+\varepsilon y(t)+O(\varepsilon^{{2}})$ (z małym $\varepsilon$ ) do zagadnienia początkowego (6.2) z warunkiem początkowym $x(t_{{0}})=x_{{0}}+\varepsilon y_{{0}}$ i przyrównania wyrazów rzędu $\varepsilon.$ Pochodną czastkową $\partial\varphi/\partial(x_{{0}})_{{j}}$ rozwiązania względem warunku początkowego otrzymuje się jako rozwiązanie układu (6.13) z warunkiem początkowym $y_{{0}}=e_{{j}}$ (gdzie $\left(e_{{j}}\right)$ to standardowa baza w $\mathbb{R}^{{n}}).$

Równaniem w wariacjach względem parametru nazywamy równanie

$\dot{y}=A(t)y+b(t),\text{ \ \ }b(t)=\frac{\partial v}{\partial\lambda}(t,\varphi _{{0}}(t);\lambda _{{0}}).$

(6.14)

Tutaj $\varphi _{{0}}(t)$ jest wyróżnionym rozwiązaniem zagadnienia początkowego $\dot{x}=v(t,x,\lambda _{{0}}),$ $x(t_{{0}})=x_{{0}},$ tzn. dla ustalonego parametru $\lambda=\lambda _{{0}},$ i macierz $A(t)$ jest taka sama jak w (6.13). To równanie otrzymuje się przez podstawienie $x=\varphi _{{0}}(t)+\varepsilon y(t)+O(\varepsilon^{{2}})$ do zagadnienia początkowego $\dot{x}=v(t,x;\lambda _{{0}}+\epsilon\nu _{{0}}),$ $x(t_{{0}})=x_{{0}},$ i porównanie wyrazów liniowych względem małego $\varepsilon.$

W dowodach Twierdzeń 6.7 i 6.8 problem sprowadza się do układu $\dot{x}=v(t,x),$ $\dot{y}=\frac{\partial v}{\partial x}(t,x)y$ lub do układu $\dot{x}=v(t,x;\lambda),$ $\dot{y}=\frac{\partial v}{\partial x}(t,x;\lambda)y+\frac{\partial v}{\partial\lambda}(t,x;\lambda)$ i stosuje Twierdzenie 6.5 (Zadania 6.26 i 6.27).

Z powyższych twierdzeń wynikają ważne wnioski o jakościowym zachowaniu się rozwiązań równania (6.1).

Twierdzenie 6.9 (O prostowaniu dla układu nieautonomicznego) . Jeśli $v(t,x)$ jest klasy $C^{{r}},$ $r\geq 2,$ i $\left(t_{{0}},x_{{\ast}}\right)\in I\times U\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{{n}},$ to istnieje lokalny dyfeomeorfizm

$f:(t,x)\longmapsto(t,y),$

z otoczenia punktu $\left(t_{{0}},x_{{\ast}}\right),$ który przeprowadza układ (6.1) w układ

$\dot{y}=0.$

W dowodzie dyfeomeorfizm $f$ jest definiowany tak, że jeśli punkt $x=\varphi(t;x_{{0}},t_{{0}})$ , tj. jest wartością rozwiązania po czasie $t$ i z warunkiem początkowym $x(t_{{0}})=x_{{0}}$ , to kładziemy $y=x_{{0}}$ (Zadanie 6.28).

Twierdzenie 6.10 (O prostowaniu dla układu autonomicznego) . Jeśli autonomiczne pole wektorowe $v(x)$ jest klasy $C^{{r}},$ $r\geq 2,$ na $U$ i punkt $x_{{\ast}}\in U$ jest taki, że

$v(x_{{\ast}})\not=0,$

(6.15)

to istnieje lokalny dyfeomorfizm $f:x\longmapsto y$ z otoczenia punktu $x_{{\ast}}$ , który przeprowadza układ $\dot{x}=v(x)$ w układ

$\dot{y}_{{1}}=1,\text{ }\dot{y}_{{2}}=0,\ldots,\text{ }\dot{y}_{{n}}=0.$

Jak można się domyślić, zmienna $y_{{1}}$ to czas $t$ wdłuż rozwiązań $\varphi(t;x_{{0}}),$ które startują przy $t=0$ z pewnej hiperpłaszczyzny $H$ prostopadłej do wektora $v(x_{{\ast}}).$ Pozostałe zmienne $y_{{j}}$ pochodzą od jakiegoś układu współrzędnych na hiperpłaszczyźnie $H$ i są stałe wzdłuż rozwiązań (Zadanie 6.29).

Uwaga 6.11. Powyższe twierdzenie można nazwać pierwszym twierdzeniem jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych.²⁰W angojęzycznej literaturze występuje ono pod nazwą `Flow Box Theorem'. Mówi ono, że lokalnie każde pole wektorowe spełniające warunek (6.15) jest takie samo z matematycznego punktu widzenia. Istotne różnice pojawiają się przy badaniu zachowania globalnych rozwiązań. Warunek (6.15) implikuje pewną prostotę pola wektorowego. W pierwszym rozdziale niniejszego skryptu badamy sytuację gdy ten warunek jest naruszony.

Twierdzenie 6.12 (O lokalnym potoku fazowym). Dla autonomicznego pola wektorowego $v(x)$ klasy $C^{{r}},$ $r\geq 2,$ istnieje lokalny potok fazowy $\left\{ g^{{t}}\right\},$ $x_{{0}}\longmapsto g^{{t}}(x_{{0}})$ (spełniający warunki (6.9)–(6.10)) zadany przez rozwiązania $\varphi(t;x_{{0}})$ zagadnień początkowych $\dot{x}=v(x),$ $x(0)=x_{{0}}.$

Oczywiście to twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności lokalnych rozwiązań dla układu (6.1) z autonomicznym polem $v(x).$

Twierdzenie 6.13 (O przedłużniu rozwiązań). Niech pole $v(t,x)$ będzie klasy $C^{{r}},$ $r\geq 1,$ w zbiorze otwarym $I\times U$ i niech $F\subset U$ będzie zwarym podzbiorem. Wtedy dowolne lokalne rozwiązanie $\varphi(t;x_{{0}};t_{{0}})$ starujące z $x_{{0}}\in F$ albo przedłuża się dla wszystkich czasów $t_{{0}}\leq t<\infty$ pozostając w $F,$ albo wychodzi z $F$ po skończonym czasie $T(x_{{0}})\geq t_{{0}}.$

Taka sama alternatywa ma miejsce dla rozwiązań $\varphi(t;x_{{0}};t_{{0}})$ przy $t<t_{{0}}$ .

W pewnym sensie to twierdzenie jest oczywiste. Następujący przykład pokazuje, że założenie o zwartości $F$ jest istotne.

Przykład 6.14. Równanie

$\dot{x}=x^{{2}},\text{ \ \ }x\in\mathbb{R},$

ma rozwiązania $\varphi=x_{{0}}/(1-tx_{{0}}),$ które uciekają do nieskończoności po skończonym czasie $T=1/x_{{0}}.$

6.3. Metody rozwiązywania

Poniżej przedstawiamy listę klas równań różniczkowych zwyczajnych, które dają się scałkowac i podajemy metody ich całkowania. Wszystkie rozważane tutaj równania mają postać

$\frac{dy}{dx}=\frac{Q(x,y)}{P(x,y)}$

(6.16)

albo równoważną postać równania Pfaffa

$Q(x,y)dx-P(x,y)dy=0.$

Przykład 6.15.Równania z rozdzielonymi zmiennymi. Są to równania postaci

$\frac{dy}{dx}=\frac{Q(x)}{P(y)}.$

Oczywiście rozwiązania są zadane w postaci uwikłanej

$\int _{{x_{{0}}}}^{{x}}Q(z)dz=\int _{{y_{{0}}}}^{{y}}P(y)dy.$

Przykład 6.16.Równania jednorodne są postaci

$\frac{dy}{dx}=f\left(y/x\right).$

Tutaj podstawienie $u=\frac{y}{x}$ prowadzi do równania z rozdzielonymi zmiennymi

$x\frac{du}{dx}=f(u)-u.$

Do tej klasy można zaliczyć równania postaci

$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{ax+by+\alpha}{cx+dy+\beta}\right),\text{ \ \ }\left|\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right|\not=0.$

Poprzez przesunięcie początku układu współrzędnych do punktu przecięcia się prostych $ax+by+\alpha=0$ i $cx+dy+\beta=0$ staje się ono ewidentnie jednorodne. Gdy $ad-bc=0$ równanie łatwo sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych.

Przykład 6.17.Równania quasi-jednorodne charakteryzują się niezmienniczością względem symetrii typu

$x\longmapsto\lambda x,\text{ \ }y\longmapsto\lambda^{{\gamma}}y,\text{ \ \ \ }\lambda\in\mathbb{R}\setminus 0,$

która uogólnia analogiczną symetrię z $\gamma=1$ dla równania jednorodnego. Tutaj podstawienie $u=y/x^{{\gamma}}$ prowadzi do równania z rozdzielonymi zmiennymi.

Przykład 6.18.Równania liniowe

$\frac{dy}{dx}=a(x)y+b(x)$

(6.17)

dzielą się na jednorodne, gdy $b(x)\equiv 0,$ i niejednorodne. Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego $\frac{dy}{dx}=a(x)y$ stowarzyszonego z równaniem (6.17) ma postać

$\varphi _{{jedn}}=C\cdot\exp A(x),$

gdzie $A(x)$ jest funkcją pierwotną dla funkcji $a(x).$ Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego jest sumą ogólnego rozwiązania równania jednorodnego $\varphi _{{jedn}}$ i pewnego szczególnego rozwiązania $\varphi _{{szcz}}$ równania niejednorodnego. To ostatnie rozwiązanie poszukujemy metodą uzmienniania sta łej, tzn. w postaci

$\varphi _{{szcz}}=C(x)\cdot\exp A(x).$

Po podstawieniu do równania (6.17) dostajemy równanie $C^{{\prime}}(x)=e^{{-A(x)}}b(x).$

Ogólne rozwiązanie ma postać

$y=e^{{A(x)}}C+\int^{{x}}e^{{A(x)-A(z)}}b(z)dz.$

(6.18)

Przykład 6.19.Równanie Bernoulliego

$\frac{dy}{dx}=a(x)y+b(x)y^{{n}}$

sprowadza się do równania liniowego przez podstawienie

$z=y^{{1-n}}.$

Przykład 6.20.Równanie z czynnikiem całkującym ma postać

$\frac{dy}{dx}=\frac{Q(x,y)}{P(x,y)}=\frac{-MH_{{x}}^{{\prime}}}{MH_{{y}}^{{\prime}}},$

lub

$M(H_{{x}}^{{\prime}}dx+H_{{y}}^{{\prime}}dy)=MdH=0.$

Tutaj $M=M(x,y)$ jest czynnikiem całkującym a $H=H(x,y)$ jest całką pierwszą równania, tzn. funkcja $H$ jest stała na krzywych całkowych równania, $H(x,\varphi(x))\equiv\textrm{const}.$ Oczywiście, tutaj rozwiązania $y=\varphi(x)$ są uwikłane w postaci równań

$H(x,y)=h.$

Naturalne jest pytanie, jak z postaci funkcji $P$ i $Q$ odgadnąć, czy istnieje czynnik całkujący i całka pierwsza. Wygodnie jest operować autonomicznym polem wektorowym

$\dot{x}=P(x,y),\text{ \ \ }\dot{y}=Q(x,y)$

(6.19)

związanym z równaniem (6.16).

Zauważmy, że przypadek z $M(x,y)\equiv 1$ z całką pierwszą $H(x,y)$ odpowiada sytuacji, gdy układ (6.19) jest hamiltonowski z $H$ jako funkcją Hamiltona (hamiltonianem),

$\dot{x}=H_{{y}}^{{\prime}},\text{ \ \ }\dot{y}=-H_{{x}}^{{\prime}}.$

Oczywiście wtedy mamy

$\textrm{div\,}V=P_{{x}}^{{\prime}}+Q_{{y}}^{{\prime}}\equiv 0,$

(6.20)

tzn. dywergencja pola wektorowego $V=Q\partial _{{x}}+P\partial _{{y}}$ zeruje się, lub, równoważnie,

$d\left(Qdx-Pdy\right)=0.$

Jest to warunek konieczny dla hamiltonowskości układu (6.19). Gdy $\textrm{div}V\equiv 0$ to można zdefiniować funkcję $H$ następująco

$H(x,y)=\int _{{\Gamma(x.y)}}\left(Qdx-Pdy\right),$

gdzie $\Gamma(x,y)$ jest drogą z ustalonego punktu $\left(x_{{0}},y_{{0}}\right)$ do $\left(x,y\right).$ Jeśli obszar $U\subset\mathbb{R}^{{2}}$ , w którym jest zdfiniowany układ (6.19) jest jednospójny (każda pętla jest ściągalna do punktu), to definicja $H(x,y)$ nie zależy od wyboru drogi $\Gamma=\Gamma(x,y):$ różnica pomiędzy tą wartością i wartością zdefiniowaną dla innej drogi $\Gamma^{{\prime}}$ jest całką po zamkniętej pętli $\Gamma-\Gamma^{{\prime}}$ (która ogranicza obszar $\Omega)$ z $1-$ formy $\omega=Qdx-Pdy,$ która jest zamknięta, zatem wzór Stokes'a daje $\oint _{{\Gamma-\Gamma^{{\prime}}}}\omega=\iint _{{\Omega}}d\omega=0.$

Przykład równania

$d\left(\textrm{arctg}\frac{y}{x}\right)=\frac{-y}{x^{{2}}+y^{{2}}}dx+\frac{x}{x^{{2}}+y^{{2}}}dy=0$

w $\mathbb{R}^{{2}}\setminus 0,$ które spełnia warunek (6.20), i posiada lokalną (ale nie globalną) całkę pierwszą $H=\arg\left(x+iy\right)$ pokazuje, że założenie jednospójności jest istotne.

Przypadek, gdy istnieje nietrywialny czynnik całkujący $M$ jest dużo trudniejszy. Pozwolę sobie tutaj zacytować wynik M. Singera, który dotyczy przypadku, gdy $P$ i $Q$ są wielomianami.

Twierdzenie 6.21 (Singer). Jeśli równanie (6.16) z wielomanami $P$ i $Q$ posiada czynnik całkujący $M$ i całkę pierwszą, które można przedstawić w kwadraturach, to czynnik całkujący $M$ można wybrać w tzw. postaci Darboux

$M=e^{{g(x,y)}}f_{{1}}^{{a_{{1}}}}(x,y)\ldots f_{{r}}^{{a_{{r}}}}(x,y),$

gdzie $g(x,y)$ jest funkcją wymierną, $f_{{j}}(x,y)$ są wielomianami a $a_{{j}}\in\mathbb{C}.$

Odsyłam czytelnika do książki [20], w której można znaleźć definicję funkcji przedstawialnych w kwadraturach oraz dowód twierdzenia Singera.

6.4. Układy i równania liniowe

Układy liniowe równań różniczkowych zwyczajnych są uogólnieniami równań (6.17) i mają postać

$\dot{x}=A(t)x+b(t),\text{ \ \ }t\in I\subset\mathbb{R},\text{ \ \ }x\in\mathbb{R}^{{n}}.$

(6.21)

Równolegle rozpatruje się liniowe równania różniczkowe rzędu $n$ postaci

$x^{{(n)}}+a_{{n-1}}(t)x^{{(n-1)}}+\ldots+a_{{0}}(t)x=b(t),\text{ \ \ }t\in I\subset\mathbb{R},\text{ \ \ }x\in\mathbb{R}.$

(6.22)

Wiadomo, że rozwiązania $x=\varphi(t;x_{{0}};t)$ takich układów i równań przedłużają się do całego odcinka $I$ (Zadanie 6.40). W przypadku jednorodnym, tzn. gdy $b(t)\equiv 0,$ zbiór rozwiązań tworzy $n-$ wymiarową przestrzeń wektorową. Każda baza tej przestrzeni tworzy tzw. układ fundamentalny $\left(\varphi _{{j}}\right)_{{j=1}}^{{n}}.$ Taki układ fundamentalny zadaje macierz fundamentalną $\mathcal{F}(t)=\left(\varphi{}_{{1}},\ldots,\varphi _{{n}}\right)$ w przypadku układu (6.21) i

$\mathcal{F}(t)=\left(\begin{array}[]{ccc}\varphi _{{1}}&\ldots&\varphi _{{n}}\\ \varphi _{{1}}^{{(1)}}&\ldots&\varphi _{{n}}^{{(1)}}\\ \ldots&\ldots&\ldots\\ \varphi _{{1}}^{{(n-1)}}&\ldots&\varphi _{{n}}^{{(n-1)}}\end{array}\right)$

w przypadku równania (6.22). Wyznacznik macierzy fundamentalnej nazy- wa się Wrońskianem

$W(t)=\det\mathcal{F}(t)$

(6.23)

(od nazwiska polskiego matematyka J. Hoene-Wrońskiego).

Ogólne rozwiązanie układu jednorodnego (6.21) (z $b\equiv 0$ ) ma postać

$\varphi(t)=\mathcal{F}(t)\cdot C,$

(6.24)

gdzie $C$ jest stałym wektorem (wyznaczanym z warunków początkowych); w szczególności, gdy układ fundamentalny jest tak dobrany aby $\mathcal{F}(t_{{0}})=I,$ to rozwiązanie $\varphi(t)=\mathcal{F}(t)x_{{0}}$ spełnia warunek początkowy $\varphi(t_{{0}})=x_{{0}}.$ W przypadku jednorodnego równania (6.22) (z $b\equiv 0$ ) ogólne rozwiązanie ma postać

$\varphi(t)=\left(\mathcal{F}(t)\cdot C\right)_{{1}}=C_{{1}}\varphi _{{1}}(t)+\ldots+C_{{n}}\varphi _{{n}}(t),$

tzn. pierwsza składowa wektora stojącego po prawej stronie równania (6.24).

Nietrudno domyślić się, że ogólne rozwiązanie układu lub równania niejednorodnego (tj. z $b(t)\not\equiv 0)$ jest sumą ogólnego rozwiązania równania jednorodnego $\varphi _{{jedn}}$ i szczególnego rozwiązania układu lub równania niejednorodnego $\varphi _{{szcz}}.$ Aby rozwiązać układ lub równanie niejednorodne, znając macierz fundamentalną, stosujemy metodę uzmienniania stałych, tzn. robimy podstawienie $x=\mathcal{F}(t)\cdot C(t).$ Rozwiązując odpowiednie równanie na $C(t)$ znajdziemy ogólne rozwiązanie układu (6.21) w postaci

$x=\mathcal{F}(t)C+\int _{{t_{{0}}}}^{{t}}\mathcal{F}(t)\mathcal{F}^{{-1}}(s)b(s)ds.$

Oczywiście, podstawowym problemem jest znalezienie macierzy fundamentalnej $\mathcal{F}(t).$

W przypadku, gdy macierz $A(t)=A$ w układzie (6.21) lub współczynniki $a_{{j}}(t)=a_{{j}}$ w równaniu (6.22) nie zależą od czasu, mówimy o układzie o stałych współczynnikach lub o równaniu o stałych współczynnikach. W tym przypadku macierz fundamentalna ma postać

$\mathcal{F}(t)=\exp At=I+At+\frac{t^{{2}}}{2!}A^{{2}}+\ldots,$

gdzie

$A=\left(\begin{array}[]{ccccc}0&1&0&\ldots&0\\ 0&0&1&\ldots&0\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ -a_{{0}}&-a_{{1}}&-a_{{2}}&\ldots&-a_{{n-1}}\end{array}\right)$

w przypadku równania.

Dla równania (6.21) o stałych współczynnikach ogólne rozwiązanie równania jednorodnego można otrzymać bezpośrednio z równania charakterystycznego

$P(\lambda)=\lambda^{{n}}+a_{{n-1}}\lambda^{{n-1}}+\ldots+a_{{0}}=0.$

(6.25)

Ma ono postać

$\begin{array}[]{lll}\varphi _{{jedn}}(t)&=&(C_{{1,0}}+C_{{1,1}}t+\ldots+C_{{1,k_{{1}}-1}}t^{{k_{{r}}-1}})e^{{\lambda _{{1}}t}}+\ldots\\ &&+(C_{{r,0}}+\ldots+C_{{r,k_{{r}}-1}}t^{{k_{{r}}-1}})e^{{\lambda _{{r}}t}},\end{array}$

(6.26)

gdzie $\lambda _{{j}}$ są pierwiastkami równania charakterystycznego krotności $k_{{j}}$ ; w przypadku występowania par zespolonych pierwiastków $\lambda _{{j}}=\bar{\lambda}_{{j+1}}=\alpha _{{j}}+i\beta _{{j}},$ $i=\sqrt{-1},$ odpowiednie wspólczynniki w sumie w (6.26) są sprzężone, $C_{{j+1,l}}=\bar{C}_{{j}},l,$ i te dwa składniki dają wyrażenie

$D_{{j,l}}t^{{l}}e^{{\alpha _{{j}}t}}\cos(\beta _{{j}}t)+E_{{j,l}}t^{{l}}e^{{\alpha _{{j}}t}}\sin(\beta _{{j}}t)$

(ze stałymi $D_{{j,l}}$ i $E_{{j,l}}$ ).

Również istnieje recepta na szczególne rozwiązanie niejednorodnego równania (6.22) o stałych współczynnikach, w przypadku gdy funkcja $b(t)$ (po prawej stronie równania) jest tzw. quasi-wielomianem postaci

$b(t)=e^{{\mu t}}p(t).$

(6.27)

Tutaj $\mu$ nazywa się wykładnikiem quasi-wielomianu a $p(t)$ jest zwykłym wielomianem stopnia $m$ , nazywanym stopniem quasi-wielomianu. Również funkcje postaci $e^{{\nu t}}\cos(\xi t)p(t)$ i $e^{{\nu t}}\sin(\xi t)p(t)$ są odpowiednio częściamu rzeczywistą i urojoną quasi-wielomianu z zespolonym wykładnikiem $\mu=\nu+i\xi.$

Twierdzenie 6.22. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać (6.26).

Jeśli prawa strona równania niejednorodnego (6.22) ma postać (6.27) i wykładnik $\mu$ quasiwielomianu jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (6.25) krotności $k,$ to szczególne rozwiązanie równania można wybrać w postaci quasi-wielomianu

$\varphi _{{szcz}}=t^{{k}}e^{{\mu t}}q(t),$

gdzie $q(t)$ jest wielomianem stopnia $m=\deg p(t)$ .

Następujące twierdzenie, pochodzące od J. Liouville'a, jest uogólnieniem elementarnej algebraicznej tożsamości

$\det\exp A=\exp\textrm{tr}A$

i ma olbrzymie zastosowanie w Jakościowej Teorii.

Twierdzenie 6.23 (Liouville). Wrońskian $W(t)$ związany z macierzą fundamentalną $\mathcal{F}(t)$ układu (6.21) (wzór (6.23)) spełnia równanie

$\dot{W}=\textrm{tr}A(t)\cdot W.$

Dowód sprowadza się do policzenia granicy

$\lim _{{s\rightarrow 0}}\frac{\det(I+sA(t))-1}{s},$

bo $\mathcal{F}(t+s)=(I+sA(t))\mathcal{F}(t)+O(s^{{2}}).$ Latwo sprawdzić, korzystając ze standardowej definicji wyznacznika $\det\left(I+sA\right)=\sum\left(-1\right)^{{\pi}}\prod\left(I+sA\right)_{{j,\pi(j)}}$ , że człony pochodzące od nietrywialnych permutacji $\pi$ dają wkład rzędu $s^{{2}}$ . Człon $\prod\left(I+sA\right)_{{j,j}}=\prod(1+sa_{{jj}})$ równa się $1+s\sum a_{{jj}}+O(s^{{2}}).$

W przypadku gdy macierz fundamentalna $\mathcal{F}(t)$ spełnia własność $\mathcal{F}(t_{{0}})=I,$ wyznacznik Wrońskiego ma naturalną interpretację ( $n-$ wymiarowej) objętości równoległościanu rozpiętego przez wektory $f_{{i}}(t)=g_{{t_{{0}}}}^{{t}}e_{{i}},$ $i=1,\ldots n,$ gdzie $g_{{t_{{0}}}}^{{t}}$ jest to $2-$ parametrowa rodzina przekształceń ewolucji układu (które są zdefiniowane w Uwadze 6.4 i które są liniowe) a $\left(e_{{i}}\right)$ to standardowa baza w $\mathbb{R}^{{n}}.$ Inaczej mówiąc, zachodzą tożsamości

$\left|g_{{t_{{0}}}}^{{t}}(V)\right|=W(t)\cdot\left|V\right|,\text{ \ \ \ }\frac{d}{dt}\left|g_{{t_{{0}}}}^{{t}}(V)\right|=\textrm{tr}A(t)\cdot\left|g_{{t_{{0}}}}^{{t}}(V)\right|,$

(6.28)

dla obszaru $V\subset\mathbb{R}^{{n}},$ gdzie $\left|V\right|$ oznacza objętość.

Zastosujmy tę obserwację do równania w wariacjach względem warunków początkowych (6.13) w przypadku autonomicznego pola wektorowego $\dot{x}=v(x).$ To równanie w wariacjach ma postać $\dot{y}=A(t)y,$ gdzie $A(t)=\frac{\partial v}{\partial x}(\varphi _{{0}}(t))$ jest macierzą pochodnych cząstkowych $\partial v_{{i}}/\partial x_{{j}}$ składowych $v_{{i}}$ pola wzdłuż wyróżnionego rozwiązania $\varphi _{{0}}(t).$ Łatwo sprawdzić tożsamość

$\textrm{tr}A(t)=\sum _{{i=1}}^{{n}}\frac{\partial v_{{i}}}{\partial x_{{i}}}(\varphi _{{0}}(t))=\textrm{div\,}v(\varphi _{{0}}(t),$

(6.29)

gdzie div oznacza dywergencję.

Niech $V\subset\mathbb{R}^{{n}}$ będzie obszarem takim, że rozwiązania starujące z $V$ są określone dla czasów pomiędzy $0$ i $t.$ Podzielmy obszar $V$ na prostokątne kostki $\Delta _{{j}}$ o małej krawędzi $\varepsilon$ i z wyróżnionymi punktami $z_{{j}}\in\Delta _{{j}}$ . Pod działaniem potoku $g^{{t}}$ te kostki przejdą na nielinowe obszarki $g^{{t}}(\Delta _{{j}})$ , które są bliskie równoległościankom rozpiętym przez wektory postaci $\varepsilon\cdot f_{{i}}(t),\,$ gdzie każdy wektor $f_{{i}}(t)$ jest jak powyżej dla przekształcenia $g_{{0}}^{{t}}$ związanego z równaniem w wariacjach wzdłuż rozwiązania $\varphi _{{j}}(t)$ startującego z $z_{{j}}.$ Następnie sumujemy objętości obszarków $g^{{t}}(\Delta _{{j}})$ i przechodzimy do granicy z $\varepsilon\rightarrow 0,$ korzystając z własności (6.28) i (6.29). W rezultacie otrzymujemy następujący wynik.

Twierdzenie 6.24. Dla obszaru $V\subset\mathbb{R}^{{n}}$ i potoku $g^{{t}}$ generowanego przez autonomiczne pole vektorowe $v(x)$ zachodzi tożsamość

$\frac{d}{dt}\left|g^{{t}}(V)\right|=\int _{{g^{{t}}(V)}}\textrm{div\,}v(x)d^{{n}}x.$

W szczególności, jeśli $\textrm{div}\, v(x)<0,$ to potok $g^{{t}}$ ma własność zmniejsznia objętości, a jeśli $\textrm{div}\, v(x)>0,$ to potok ma własność rozszerzania obszarów.

ZADANIA

Zadanie 6.25. W zależności od stałych $M=\sup _{{I\times U}}\left|v(t,x)\right|$ i $L=\sup\frac{\left|v(t,x_{{1}})-v(t,x_{{2}}\right|}{\left|x_{{1}}-x_{{2}}\right|}$ (stała Lipschitza) dobrać $\varepsilon$ w $I_{{0}}=(t_{{0}}-\varepsilon,t_{{0}}+\varepsilon)$ i promienie w kulach $U_{{0}}=$ $B(x_{{\ast}},r)=\left\{\left|x-x_{{\ast}}\right|<r\right\}\subset U$ i $\mathcal{B}(x_{{0}},R)=\left\{\varphi:I_{{0}}\times U_{{0}}\longmapsto\mathbb{R}^{{n}}:\sup\left|\varphi(t,x_{{0}})-x_{{0}}\right|<R\right\},$ aby: (i) $\mathcal{T}:\mathcal{B}(x_{{0}},R)$ $\longmapsto\mathcal{B}(x_{{0}},R)$ oraz (ii) $\mathcal{T}$ było kontrakcją na $\mathcal{B}(x_{{0}},R).$ To da uzupełnienie dowodu Twierszenia 6.5.

Zadanie 6.26. Uzupełnić dowody Twierdzeń 6.7 i 6.8.

Wskazówka: W dowodzie Twierdzenia 6.7 rozważyć ciąg przybliżeń $x=\varphi _{{n}}(t;x_{{0}}),$ $z=\psi _{{n}}(t;x_{{0}})$ dla zagadnienia początkowego $\dot{x}=v(t;x),\dot{z}=\frac{\partial v}{\partial x}(t,x)z,$ $x(t_{{0}})=x_{{0}},$ $z(t_{{0}})I$ , gdzie $z(t;x_{{0}})$ przyjmuje wartości w przestrzenie macierzy $n\times n.$ W dowodzie Twierdzenia 6.8 skorzystać z Twierdzenia 6.7.

Zadanie 6.27. Udowodnić, że jeśli $v(t,x;\lambda)$ zależy w sposób analityczny od zwoich argumentów, to rozwiązanie $\varphi(t;x_{{0}};\lambda)$ też jest analityczne.

Zadanie 6.28. Uzupełnić dowód Twierdzenia 6.9.

Zadanie 6.29. Uzupełnić dowód twierdzenia 6.10.

Zadanie 6.30. Znaleźć rozwiązanie równania $x^{{2}}\frac{dy}{dx}-\cos 2y=1$ spełniające warunek $y(+\infty)=\frac{9\pi}{4}.$

Zadanie 6.31. Rozwiązać równanie $\frac{dy}{dx}=\sqrt{4x+2y-1}.$

Zadanie 6.32. Rozwiązać równanie $x\frac{dy}{dx}=y-xe^{{y/x}}.$

Zadanie 6.33. Rozwiązać równanie $\frac{dy}{dx}=y^{{2}}-2/x^{{2}}.$

Zadanie 6.34. Rozwiązać równanie $2ydx+(x^{{2}}y+1)xdy=0.$

Zadanie 6.35. Rozwiązać równanie $xy^{{\prime}}-2y=2x^{{4}}.$

Zadanie 6.36. Rozwiązać równanie $xydy=(y^{{2}}+x)dx.$

Zadanie 6.37. Rozwiązać następujące równanie Riccatiego $y^{{\prime}}=2xy-y^{{2}}+5-x^{{2}}.$

Wskazówka: Zgadnąć jedno rozwiązanie.

Zadanie 6.38. Rozwiązać równanie $\frac{dy}{dx}=\frac{ax^{{2}}+by^{{2}}+1}{2xy}.\$

Wskazówka: Poszukać czynnika całkującego w postaci $x^{{\alpha}}.$

Zadanie 6.39. Rozwiązać równanie $\frac{y}{x}dx+(y^{{3}}+\ln x)dy=0.$

Zadanie 6.40. Rozważmy układ liniowy $\dot{x}=A(t)x+b(t),$ z ciągłymi $A(t)$ i $b(t)$ oraz z oszacowaniami $\left\| A(t)\right\|\leq C_{{1}}(t)$ i $\left|b(t)\right|\leq C_{{1}}(t).$ Pokazać oszacowania $\left|\frac{d}{dt}\left|x\right|^{{2}}\right|\leq 2C_{{1}}(t)\left|x\right|^{{2}}+2C_{{2}}(t)\left|x\right|\leq C_{{3}}(t)\left|x\right|^{{2}},$ gdzie ostatnia nierówność zachodzi dla dostatecznie dużych $\left|x\right|$ i pewnej ciągłej funkcji $C_{{3}}(t).$ Wywnioskować stąd, że rozwiązania nie mogą uciec do nieskończoności po skończonym czasie.

Zadanie 6.41. Podać ogólne rozwiązanie układu $\dot{x}=x-y-z,$ $\dot{y}=x+y,$ $\dot{z}=3x+z.$

Zadanie 6.42. Podać ogólne rozwiązanie układu $\dot{x}=x-y+1/\cos t,$ $\dot{y}=2x-y.$

Zadanie 6.43. Podać ogólne rozwiązanie równania $\frac{d^{{4}}}{dt^{{4}}}x+4x=0.$

Zadanie 6.44. Podać ogólne rozwiązanie równania $\ddot{x}+2\dot{x}+x=t(e^{{-t}}-\cos t).$

Zadanie 6.45. Dla jakich $k$ i $\omega$ równanie $\ddot{x}+k^{{2}}x=\sin\omega t$ posiada przynajmniej jedno okresowe rozwiązanie.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych