2. Podstawowe metody prezentacji danych

$\par$

Rys. 2.1. Przykładowe boxplot, histogram i estymator jądrowy gęstości dla zmiennej crabs $[,5]$ ze zbioru danych crabs (MASS).

2.1. Boxplot

Dla próby losowej $X=(X_{1},\ldots,X_{n})$ zajmiemy się reprezentacją graficzną danych. Zaczniemy od boxplotu.

Boxplot. Przykładowy boxplot znajduje się na rysunku 2.1. Do jego narysowania potrzebne są następujące elementy:
1. kwartyle próbkowe $\hat{\varphi}_{{\frac{1}{4}}}(X),\hat{\varphi}_{{\frac{1}{2}}}(X),\hat{\varphi}_{{\frac{3}{4}}}(X)$ ;
2. rozstęp międzykwartylowy (wysokość pudełka) $\text{IQR}(X)=\hat{\varphi}_{{\frac{3}{4}}}(X)-\hat{\varphi}_{{\frac{1}{4}}}(X)$ ;
3. wąs górny $\text{wasG}(X)=(\hat{\varphi}_{{\frac{3}{4}}}(X)+1,5*\text{IQR}(X))\wedge\max(X)$ , gdzie $\max(X)$ oznacza element maksymalny z próby;
4. wąs dolny $\text{wasD}(X)=(\hat{\varphi}_{{\frac{1}{4}}}(X)-1,5*\text{IQR(X)})\vee\min(X)$ , gdzie $\min(X)$ oznacza element minimalny z próby;
5. obserwacje odstające, które nie mieszczą się w przedziale $[\text{wasD}(X),\text{wasG}(X)]$ i nanosimy je oddzielnie w postaci punktów.

$\par$

Rys. 2.2. Przykładowy boxplot.

2.2. Estymacja gęstości

Załóżmy, że próba $X=X_{1},\ldots,X_{n}$ pochodzi z rozkładu o gęstości $f$ i jest iid (niezależna o tym samym rozkładzie), będziemy szukać estymatora dla gęstości $f$ .

Histogram. Przykładowy histogram znajduje się na rysunku 2.1. Wybieramy dowolne $x_{0}\in\mathbb{R}$ . Dla ustalonego $h>0$ , oznaczającego szerokość klasy, tworzymy odcinki:

$I_{m}=[x_{0}+mh,x_{0}+(m+1)h),\quad m=\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots;$

$\text{ wtedy }\forall x\in\mathbb{R}\quad\exists!\ m\text{ , że }x\in I_{m},\text{ oznaczmy }I(x)=I_{m}\text{ jeśli }x\in I_{m}.$

Histogramem nazywamy funkcję $x\in\mathbb{R}$ :

$\hat{f}_{n}(x)=\frac{\#\{ i:x_{i}\in I(x)\}}{nh}=\frac{1}{n}\sum _{{i=1}}^{n}\frac{1}{h}\mathbf{1}_{{\left(x_{i}\in I(x)\right)}}.$

Uwaga 2.1

Podczas rysowania histogramu ważną kwestią jest dobór odpowiedniej szerokości przedziału, $h$ . Istnieje wiele konwencji wyboru, niektóre z nich to:

$h_{{opt}}\approx cn^{{-\frac{1}{3}}}\text{, gdzie}$

Jeżeli $f,f^{{\prime}}\in L^{2}(\mathbb{R})$ , $c=\left(\frac{6}{\int[f^{{\prime}}(x)]^{2}dx}\right)^{{\frac{1}{3}}}$ .
Jeśli $f$ jest normalna, $c=2\cdot 3^{{\frac{1}{3}}}\pi^{{\frac{1}{6}}}\sigma\approx 3,186\sigma$ .
Inny wybór to $c=2,64*\text{ IQR}$ .

Estymator jądrowy gęstości. Przykładowy estymator jądrowy gęstości znajduje się na rysunku 2.1.

$\breve{f}_{n}(x)=\frac{1}{n}\sum _{{i=1}}^{n}\frac{1}{\bar{h}}K\left(\frac{x-X_{i}}{\bar{h}}\right).$

Dla budowy tego estymatora ważny jest dobór dwóch parametrów: szerokości pasma $\bar{h}$ oraz funkcji jądra $K$ . Jądro jest gęstością dowolnego rozkładu, czyli jest dowolną funkcją określoną na $\mathbb{R}$ o własnościach $K\geq 0$ , $\int K(x)dx=1$ . Jednym z wyborów może być jądro postaci:

$K_{e}(t)=\left\{\begin{array}[]{ll}\frac{3}{4\sqrt{5}}(1-\frac{1}{5}t^{2}),&\hbox{$|t|\leq\sqrt{5}$;}\\ 0,&\hbox{wpp.}\end{array}\right.$

Uwaga 2.2

Jeśli $f\in C^{2}$ oraz $\int(f^{{\prime\prime}})^{2}<\infty$ , to w klasie symetrycznych jąder $K\in L^{2}(\mathbb{R})$ , asymptotycznie optymalne jest $K_{e}$ . Ponadto:

$\bar{h}_{{opt}}\approx c\cdot n^{{-\frac{1}{5}}}\text{ , gdzie}$

$c=\left[\int t^{2}K(t)dt\right]^{{-\frac{2}{5}}}\left[\int K^{2}(t)dt\right]^{{\frac{1}{5}}}\left[\int(f^{{\prime\prime}}(x))^{2}dx\right]^{{-\frac{1}{5}}}.$
Jeśli $f$ jest gęstością rozkładu normalnego, to $\int(f^{{\prime\prime}}(x))^{2}dx=\frac{3}{8}\pi^{{-\frac{1}{2}}}\sigma^{{-5}}\approx 0,212\sigma^{{-5}}$ .
Jeśli jądro $K$ jest gęstością standardowego rozkładu normalnego oraz $f$ jest rozkładem normalnym, to $\bar{h}_{{norm}}=1,06\sigma n^{{-\frac{1}{5}}}$ .
Jeśli jądro jest równe $K_{e}$ oraz $f$ jest rozkładem normalnym, to $\bar{h}_{e}=1,05\sigma n^{{-\frac{1}{5}}}$
Domyślnie w programie R nastawiona jest metoda Silvermana wyboru parametru $\bar{h}$ : $\bar{h}=0,9\min(\hat{\sigma}^{2},\frac{\text{IQR}}{1,34})n^{{-\frac{1}{5}}}$ .