Przypomnienie
Warunkowa wartość oczekiwana:
Niech będzie całkowalną zmienną losową w przestrzeni probabilistycznej
,
-ciałem takim, że
. Warunkową wartością oczekiwaną
pod warunkiem
nazywamy zmienną losową
, że:
jest
-mierzalna,
Załóżmy, że dla przestrzeni probabilistycznej określone zostały zmienne losowe całkowalne z kwadratem:
.
Zdefiniujmy
(
).
jest rzutem ortogonalnym
na
, gdzie
jest
-ciałem generowanym przez
, a
to miara prawdopodobieństwa warunkowego pod warunkiem zmiennej losowej
.
Załóżmy, że jest rzutem ortogonalnym
na
. Wtedy
:
![]() |
Z definicji warunkowej wartości oczekiwanej p.n.
Niech oznaczają zmienne losowe,
,
. Zdefiniujmy iloczyn skalarny jako
.
Pitagorasa
![]() |
![]() |
![]() |
Rzut ortogonalny jest więc najlepszym przybliżeniem w klasie
w sensie:
![]() |
Jeśli
, to
.
![]() |
Niech oznacza rzut
na
.
jest rzutem
na przestrzeń
. Rzut rzutu jest rzutem.
Oznaczmy jako rzut ortogonalny
na lin
,
rzut
na
. Wtedy:
![]() |
Ponieważ
, równość wynika łatwo ze stwierdzenia 9.2.
Przypomnienie
Korelacja:
![]() |
Współczynnik dopasowania to część zmienności
wyjaśnionej przez zmienność
:
![]() |
Błąd średniokwadratowy między i
:
![]() |
![]() |
Pitagrorasa dla korelacji
![]() |
Największą korelację ze wszystkich ,
ma ze swoim rzutem ortogonalnym na przestrzeń rozpiętą przez
:
![]() |
Patrząc na wnioski 9.1 i 9.2 oraz twierdzenie 9.2 zauważmy, że zachodzi zależność:
Minimalizacja błędu średniokwadratowego Maksymalizacja kwadratu korelacji. Dla równoważnych problemów optymalnym jest rzut ortogonalny.
Obrazuje tą zależność także kolejne stwierdzenie:
Niech będą wystandaryzowanymi zmiennymi losowymi (
,
,
,
). Wtedy:
![]() |
![]() |
Z twierdzenia 9.1 wynika jeszcze bardzo ważna zależność znana z rachunku prawdopodobieństwa:
![]() |
gdzie .
W twierdzeniu 9.1 za podstawmy
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.