Rozpatrujemy następujący układ liniowy:
![]() |
(3.1) |
gdzie ,
,
jest macierzą
oraz
jest
macierzą
.
Zagadnienie obserwowalności (Observability question):
dla zadanego
odtworzyć
, a w szczególności
.
Sens tego zagadnienia widać dla :
to pomiary (obserwacje), z których należy odtworzyć
wielowymiarowe
.
Układ (3.1) nazywa się obserwowalny (observable), jeżeli dla
rozwiązań ,
, z faktu, że
, dla
, wynika, że
.
Jeżeli , to układ nie jest obserwowalny. Jeżeli
i
jest nieosobliwa, to
i układ jest obserwowalny.
Dwa następujące warunki są równoważne
(a) układ (3.1) jest obserwowalny;
(b) , czyli
układ
![]() |
(3.2) |
jest lokalnie sterowalny.
1. Dowód
, czyli
. Załóżmy więc
, czyli, że układ (3.1) nie jest obserwowalny.
Istnieją wówczas punkty
, t.ż.
,
![]() |
(3.3) |
oraz dla każdego
. Niech
![]() |
(3.4) |
Stąd
![]() |
(3.5) |
czyli . Mamy
dla
. Zatem
![]() |
(3.6) |
Zatem dla otrzymujemy
, następnie różniczkując względem
i wstawiając
otrzymujemy, że
![]() |
(3.7) |
Stąd , a więc
,
czyli
![]() |
(3.8) |
Ponieważ , więc
,
co kończy dowód
.
2. Dowód
, czyli
. Załóżmy więc
, czyli, że
![]() |
Zatem istnieje , t.ż.
![]() |
czyli dla każdego
.
Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że
![]() |
dla odpowiednich stałych (z wielomianu charakterystycznego).
Stąd . Następnie
![]() |
a więc . Kontynuując otrzymujemy
dla każdego
.
Mamy
![]() |
skąd otrzymujemy , a zatem układ (3.1) nie jest obserwowalny. To kończy dowód.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.