4. Sterowalność dla układów nieliniowych

Rozważymy układ nieliniowy (NLA)

$\dot{x}=f(x,u)\,,\qquad x(t)\in{\mathbb{R}}^{n}\,,\qquad u\in{\mathbb{U}}_{m}\,,$

(4.1)

z celem ${\mathcal{T}}(t)\equiv 0\in{\mathbb{R}}^{n}$ . Zakładamy, że $f(0,0)=0\in{\mathbb{R}}^{n}$ i $f$ jest klasy $C^{1}$ na ${\mathbb{R}}^{n}\times{\mathbb{R}}^{m}$ .

Istotną rolę będzie pełniła linearyzacja (NLA) wokół $(0,0)\in{\mathbb{R}}^{n}\times{\mathbb{R}}^{m}$ :

$f(x,u)=A_{f}x+B_{f}u+o(|x|+|u|)\,,$

(4.2)

gdzie

$A_{f}=\bigg[\frac{\partial f^{i}}{\partial x^{j}}(0,0)\bigg]_{{i,j=1,\ldots,n}}\,,\qquad B_{f}=\bigg[\frac{\partial f^{i}}{\partial u^{k}}(0,0)\bigg]_{{\genfrac{}{}{0pt}{}{i=1,\ldots,n}{k=1,\ldots,m}}}\,.$

Chcemy o sterowalności dla (NLA) w otoczeniu $0\in{\mathbb{R}}^{n}$ wnioskować ze sterowalności linearyzacji wokół $(0,0)\in{\mathbb{R}}^{n}\times{\mathbb{R}}^{m}$ .

Definicja 4.1

Dla (NLA) wprowadzamy macierz sterowalności układu zlinearyzowanego:

$M_{f}=\underbrace{\Big[\, B_{f},A_{f}B_{f},A_{f}^{2}B_{f},\ldots,A_{f}^{{n-1}}B_{f}\,\Big]}_{{\mathrm{macierz}\; n\times nm}}$

Twierdzenie 4.1

Dla (NLA): $\;\mathrm{rank}\, M_{f}=n\;$ $\;\Longrightarrow\;$ $\; 0\in\mathrm{Int}\,{\mathcal{C}}$ .

Dowód: [31], str. 38. $\;\clubsuit$

Wniosek 4.1

Twierdzenie 4.1 zachodzi dla wszystkich sterowań, dla których można w danej klasie przedłużać sterowanie zerem.

Jednakże odpowiednik twierdzenia 4.1 dla ${{\mathcal{C}}}_{{BB}}$ jest fałszywy, jak pokazuje następujący przykład:

Przykład 4.1 (([31], str. 45))

Niech $n=m=1$ i

${\dot{x}}(t)=u(t)+\big(u(t)\big)^{2}$

dla $-1\leq u(t)\leq 1$ . Mamy

$A_{f}=f_{x}(0,0)=0\,,\qquad B_{f}=f_{u}(0,0)=1\,,\qquad M_{f}=1\,.$

Zatem $\;{\mathrm{rank}}\, M_{f}=1=n\;$ i $\; 0\;$ leży we wnętrzu $\;{{\mathcal{C}}}\;$ z twierdzenia 4.1 (a także dla $\;{{\mathcal{C}}}_{{PC}}\;$ oraz $\;{{\mathcal{C}}}_{{\varepsilon}}\;$ ). Ale $u\in{{\mathbb{U}}}_{{BB}}$ implikuje, że $u+\big(u\big)^{2}$ równa się $0$ , albo $2$ , a zatem ${\dot{x}}\geq 0$ . Stąd $0\not\in\,{\rm Int}\,{{\mathcal{C}}}_{{BB}}$ , gdyż żaden punkt $x_{0}>0$ nie może być doprowadzony do $0$ .

Ten sam przykład pokazuje, że zasada bang–bang (rozdział 5.1) nie zachodzi dla (NLA).

Twierdzenie 4.2

Dla (NLA): Jeżeli układ z zerowym sterowaniem ( $u=0$ ) jest globalnie asymptotycznie stabilny i $\;{\rm rank}\, M_{f}=n\;$ , to ${{\mathcal{C}}}={{\mathbb{R}}}^{n}$ .

Dowód: [31], str. 43.

$\quad$

Dla (NLA) twierdzenie 4.1 gwarantuje istnienie $\delta>0$ , t.ż. istnieje kula ${\mathbb{B}}(0;\delta)\subset{\mathcal{C}}$ . Globalna asymptotyczna stabilność rozwiązania dla $u\equiv 0$ implikuje, że

$\lim\limits _{{t\to\infty}}x(t;x_{0},0)=0$

dla każdego $x_{0}\in{\mathbb{R}}^{n}$ . Zatem każde rozwiązanie z $u\equiv 0$ wchodzi do ${\mathbb{B}}(0,\delta)$ w skończonym czasie. Następnie korzystamy z ${\mathbb{B}}(0;\delta)\subset{\mathcal{C}}$ .

∎

Twierdzenie 4.2 wskazuje na ścisły związek pomiędzy teorią stabilności a sterowalnością.

Ważnym pojęciem w badaniu stabilności jest funkcja Lapunova (por. [35], rozdział 7.2, [21], rozdział 26).

Definicja 4.2

Niech ${\mathbb{G}}\subset{\mathbb{R}}^{n}$ będzie otoczeniem punktu równowagi $x_{{\ast}}\in{\mathbb{R}}^{n}$ układu $\dot{x}=f(x)$ . Funkcję $V\,:\;{\mathbb{G}}\longrightarrow{\mathbb{R}}_{+}$ nazywamy funkcją Lapunova, jeżeli

jest ciągła w ${\mathbb{G}}$ i różniczkowalna w ${\mathbb{G}}\setminus\{ x_{{\ast}}\}$ ,
$V(x)\geq 0$ $\forall\; x\in{\mathbb{G}}$ , $\quad V(x)=0\;\Leftrightarrow\; x=x_{{\ast}}$
$\dot{V}(x)\leq 0$ $\;\forall\; x\in{\mathbb{G}}\setminus\{ x_{{\ast}}\}$ , gdzie

$\dot{V}(x)=\Big(\mathrm{grad}\, V(x)\Big)^{T}f(x)\,.$

Definicja 4.3

Mocną funkcją Lapunova nazywamy $V\,:\;{\mathbb{G}}\longrightarrow{\mathbb{R}}_{+}$ , jeżeli

jest funkcją Lapunova w ${\mathbb{G}}$ ,
$\dot{V}<0$ $\forall\; x\in{\mathbb{G}}\setminus\{ x_{{\ast}}\}$ .

Twierdzenie 4.3

$\quad$

Jeżeli istnieje funkcja Lapunova, to punkt równowagi $x_{{\ast}}$ jest stabilny w sensie Lapunova.
Jeżeli istnieje mocna funkcja Lapunova, to punkt równowagi $x_{{\ast}}$ jest asymptotycznie stabilny.

$\clubsuit$

Przykład 4.2 (por. [31], str. 43)

Punkt materialny, o jednostkowej masie, poruszający się pod wpływem zewnętrznej siły $F$ można opisać zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona:

$\ddot{y}=F\,.$

Jeżeli punkt zawieszony jest na sprężynie i ruch odbywa się w ośrodku stawiającym opór, to można przyjąć, że

$F=-l\dot{y}-h(y)+u\,,$

gdzie $F_{1}=-l\dot{y}$ jest siłą oporu środowiska, $l=l(y,\dot{y})$ , $-h(y)$ jest siłą sprężystości oraz $u$ jest siłą wymuszającą (lub tłumiącą). Na przykład dla prawa Hooke'a $h(y)=h_{0}y$ — por. przykład 1.3.

Załóżmy, że $l$ i $h$ są funkcjami klasy $C^{1}$ , $h(0)=0$ .

Przyjmując $x^{1}=y$ , $x^{2}=\dot{y}$ otrzymujemy układ równań

$\left[\begin{array}[]{c}{\dot{x}}^{1}\\ {\dot{x}}^{2}\end{array}\right]\,=\,\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 0&-l(x^{1},x^{2})\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}{x}^{1}\\ {x}^{2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{c}0\\ -h(x^{1})+u\end{array}\right]\,.$

(4.3)

Układ zlinearyzowany ma postać

$\left[\begin{array}[]{c}{\dot{x}}^{1}\\ {\dot{x}}^{2}\end{array}\right]\,=\,\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ -h^{{\prime}}(0)&-l(0,0)\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}{x}^{1}\\ {x}^{2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{c}0\\ u\end{array}\right]\,.$

(4.4)

Mamy

$M_{f}\,=\,\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 1&-l(0,0)\\ \end{array}\right]\,,\qquad\mathrm{oraz}\qquad\mathrm{rank}\, M_{f}=2=n\,.$

(4.5)

Zatem, dla każdego warunku gwarantującego globalną asymptotyczną stabilność rozwiązania $x\equiv 0$ układu dla $u=0$ , otrzymamy ${\mathcal{C}}={\mathbb{R}}^{2}$ .

Jeżeli

$l(x^{1},x^{2})>0$ dla każdego $(x^{1},x^{2})\not=0$ ,
$yh(y)>0$ dla każdego $y\not=0$ ,
$\lim\limits _{{|y|\to\infty}}\,\int\limits _{0}^{y}h(s)\mathrm{d}\, s=+\infty$ ,

to rozwiązanie $x\equiv 0$ jest globalnie asymptotycznie stabilne.

Rzeczywiście, niech:

$V(x^{1},x^{2}):=\frac{\big(x^{2}\big)^{2}}{2}+H(x^{1})\,,\qquad H(y)=\int\limits _{0}^{y}h(s)\mathrm{d}s\,,$

$V(x^{1},x^{2})>0\qquad\forall\;(x^{1},x^{2})\not=0\,,$

$\lim\limits _{{|x|\to\infty}}V(x)=\infty$

(4.6)

oraz wzdłuż rozwiązań układu z $u\equiv 0$ :

$\begin{array}[]{ll}\dot{V}(x^{1},x^{2})=x^{2}\dot{x}^{2}+h(x^{1})\dot{x}^{1}=&\\ x^{2}\Big(-l(x^{1},x^{2})x^{2}-h(x^{1})\Big)+h(x^{1})x^{2}=-\big(x^{2}\big)^{2}l(x^{1},x^{2})\leq&0\,.\end{array}$

(4.7)

Zatem $V$ jest funkcją Lapunova i rozwiązanie $x\equiv 0$ dla $u\equiv 0$ jest stabilne (w sensie Lapunova). Argument ten nie wystarczy do pokazania asymptotycznej stabilności, gdyż $\dot{V}$ zeruje się nie tylko dla $(x^{1},x^{2})=(0,0)$ , ale również dla punktów $(x^{1},x^{2})$ , takich że $x^{1}\not=0$ , $x^{2}=0$ . Aby pokazać asymptotyczną stabilność wystarczy wykazać, że jeżeli trajektoria przechodzi przez taki punkt $(x^{1},0)$ , $x^{1}\not=0$ , to jest to punkt przegięcia (flex point) funkcji $V$ i funkcja ta jest ściśle malejąca (por. [35], str. 211, przykład 7.4). Jeżeli ${t_{{\ast}}}>0$ jest t.ż. $x^{1}({t_{{\ast}}})\not=0$ i $x^{2}({t_{{\ast}}})=0$ , to $\dot{x}^{2}({t_{{\ast}}})=-h(x^{1}({t_{{\ast}}}))\not=0$ . Stąd $\dot{x}^{2}(t)$ ma ten sam znak i $x^{2}(t)\not=0$ w sąsiedztwie ${t_{{\ast}}}$ . Zatem $V(x^{1}(t),x^{2}(t))$ ma w ${t_{{\ast}}}$ punkt przegięcia i jest ściśle malejąca. To gwarantuje asymptotyczną stabilność.