6. Zagadnienie optymalnego sterowania

Badanie sterowalności jest jednym z podstawowych aspektów teorii sterowania. Kolejnym jest badanie optymalności pomyślnych sterowań. Wprowadzamy funkcjonał kosztu (cost functional) (lub funkcjonał wypłaty (payoff functional))

${\mathfrak{C}}[u]=\int\limits _{0}^{{{t_{1}}}}{\mathfrak{f}}^{0}\Big(t,x(t),u(t)\Big)\mathrm{d}\, t+{\mathfrak{g}}({t_{1}},x({t_{1}}))\,,$

(6.1)

gdzie $x(t)=x(t;x_{0},{u(\,.\,)})$ jest odpowiedzią na sterowanie $u\in{\mathbb{U}}_{m}$ , ${\mathfrak{f}}^{0}$ i $\mathfrak{g}$ są zadanymi funkcjami rzeczywistymi. Pierwszy (całkowy) wyraz lewej strony (6.1) jest bieżącym kosztem (running cost) (lub bieżącą wypłatą (running payoff)), a drugi wyraz (tzn. ${\mathfrak{g}}$ ) jest końcowym kosztem (terminal cost) (lub końcową wypłatą (terminal payoff)). W przypadku interpretacji $\mathfrak{C}[u]$ jako kosztu naturalne jest poszukiwanie sterowań $u$ minimalizujących $\mathfrak{C}[u]$ , a w przypadku interpretacji jako wypłaty — maksymalizujących. Dalej będziemy mówili o koszcie i minimalizacji.

Rozpatrujemy więc zagadnienie:

$\dot{x}=f(t,x,u)\,,\qquad x(t)\in{\mathbb{R}}^{n}\,,\qquad u(t)\in\Omega\,,$

z danymi początkowymi $x(0)=x_{0}$ oraz funkcjonałem kosztu zadanym jednym z poniższych wzorów

(L) $\quad{\mathfrak{C}}[u]=\int\limits _{{0}}^{{{{t_{1}}}}}\mathfrak{f}^{0}(t,x(t),u(t))\,\mathrm{d}t\,,\qquad\qquad$ — zagadnienie Lagrange'a;
(M) $\quad{\mathfrak{C}}[u]=\mathfrak{g}({t_{1}},x({t_{1}}))\,,\qquad\qquad\qquad\;\;$ — zagadnienie Mayera;
(B) $\quad{\mathfrak{C}}[u]=\int\limits _{{0}}^{{{{t_{1}}}}}\mathfrak{f}^{0}(t,x(t),u(t))\,\mathrm{d}t+\mathfrak{g}({t_{1}},x({t_{1}}))\,,\qquad$ — zagadnienie Bolzy.

Problem 6.1

Zagadnienie sterowania optymalnego (optimal control problem) polega na tym, by doprowadzić do celu sterowaniem z odpowiedniej klasy, w taki sposób, by ${\mathfrak{C}}[u]$ było możliwie najmniejsze.

Definicja 6.1

Niech klasa pomyślnych sterowań (successful controls) będzie oznaczona przez

$\Delta=\Big\{ u\in{\mathbb{U}}_{m}\;:\quad\exists\,{t_{1}}\qquad x({t_{1}};x_{0},{u(\,.\,)})\in{\mathcal{T}}({t_{1}})\Big\}$

Sterowanie $u_{{\ast}}\in{\mathbb{U}}_{m}$ jest optymalne (optimal), jeżeli

$u_{{\ast}}\in\Delta\qquad\qquad\mathrm{oraz}\qquad{\mathfrak{C}}[u_{{\ast}}]\leq{\mathfrak{C}}[u]\qquad\forall\; u\in\Delta\,.$

(6.2)

Dla zagadnienia Bolzy (B) (lub zagadnienia Lagrange'a (L)), zadanego sterowania $u$ i odpowiedzi $x$ określamy

$x^{0}(t)=\int\limits _{{0}}^{t}\mathfrak{f}^{0}\big(s,x(s),u(s)\big)\,\mathrm{d}s$

Jeżeli $u$ jest pomyślne, to $x({{t_{1}}})\in{\mathcal{T}}({t_{1}})$ (dla pewnego ${{t_{1}}}\geq 0$ ) i odpowiedni koszt to $x^{0}({{t_{1}}})+\mathfrak{g}({t_{1}},x({t_{1}}))$ . Gdy $u$ jest optymalne, to $x^{0}({{t_{1}}})+\mathfrak{g}({t_{1}},x({t_{1}}))$ jest najmniejsze.

Określamy $(n+1)$ –wymiarowy wektor $\mathbf{x}(t)=\big(x^{0}(t),x^{T}(t)\big)^{T}$ oraz

$\mathbf{f}(t,\mathbf{x})=\big(\mathfrak{f}^{0},f^{T}\big)^{T}(t,x)\,.$

W ten sposób zagadnienie Bolzy (B) (lub zagadnienie Lagrange'a (L)) można sprowadzić do zagadnienia Mayera (M) dla

$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x},u)\,,$

(6.3)

$\mathfrak{C}[u]=x^{0}({t_{1}})+\mathfrak{g}({t_{1}},\mathbf{x}({t_{1}}))\,.$

(6.4)

Cel może być ustalony, lub nie:

(I) Gdy, tak jak w poprzednich rozdziałach, cel jest ustalony mamy do czynienia z zagadnieniem ustalonego punktu końcowego, ${{\mathcal{T}}}(t)\equiv x_{1}$ , $x_{1}$ jest ustalonym punktem w ${\mathbb{R}}^{n}$ , ${{t_{1}}}$ jest wówczas czasem dotarcia do celu $x_{1}$ i nie jest ustalone (fixed–end–point (a target point is given) – free–time problem);
(II) Można rozpatrywać zagadnienie, gdy cel ${{\mathcal{T}}}(t)=\mathbb{S}$ , gdzie $\mathbb{S}$ jest $l$ –wym. ( $l<n$ ) gładką rozmaitością (manifold; por. [12], str. 64) w ${\mathbb{R}}^{n}$ — podobnie jak powyżej ${t_{1}}$ nie jest ustalone;
(III) Cel może nie być określony i wtedy mamy do czynienia z zagadnieniem swobodnego punktu końcowego (free–end–point problem; a target point is not given): wtedy ${t_{1}}>0$ jest ustalone, ${\mathcal{T}}(t_{1})={\mathbb{R}}^{n}$ .