3. Obserwowalność

Rozpatrujemy następujący układ liniowy:

$\dot{x}=Ax\,,\qquad x(0)=x_{0}\,,\qquad y=Cx\,,\quad t\geq 0\,,$

(3.1)

gdzie $x=x(t)\in{\mathbb{R}}^{n}$ , $y=y(t)\in{\mathbb{R}}^{m}$ , $A$ jest macierzą $n\times n$ oraz $C$ jest macierzą $m\times n$ .

Problem 3.1

Zagadnienie obserwowalności (Observability question): dla zadanego $y=y(t)\in{\mathbb{R}}^{m}$ odtworzyć $x=x(t)\in{\mathbb{R}}^{n}$ , a w szczególności $x_{0}\in{\mathbb{R}}^{n}$ .

Sens tego zagadnienia widać dla $m<n$ : $y$ to pomiary (obserwacje), z których należy odtworzyć wielowymiarowe $x$ .

Definicja 3.1

Układ (3.1) nazywa się obserwowalny (observable), jeżeli dla rozwiązań $x_{1}$ , $x_{2}$ , z faktu, że $Cx_{1}(t)=Cx_{2}(t)$ , dla $t\in[0,{t_{1}}]$ , wynika, że $x_{1}(0)=x_{2}(0)$ .

Przykład 3.1

Jeżeli $C=0$ , to układ nie jest obserwowalny. Jeżeli $n=m$ i $C$ jest nieosobliwa, to $x(t)=C^{{-1}}y(t)$ i układ jest obserwowalny.

Twierdzenie 3.1

Dwa następujące warunki są równoważne

(a) układ (3.1) jest obserwowalny;
(b) $\mathrm{rank}\,\Big[C^{T},A^{T}C^{T},\ldots,\big(A^{T}\big)^{{n-1}}C^{T}\Big]=n$ , czyli układ

$\dot{x}=A^{T}x+C^{T}u$ (3.2)

jest lokalnie sterowalny.

Dowód: [19], str. 25, [27], str. 117.

$\quad$

1. Dowód ${(b)}$ $\;\Rightarrow\;$ ${(a)}$ , czyli $\sim{(a)}$ $\;\Rightarrow\;$ $\sim{(b)}$ . Załóżmy więc $\sim{(a)}$ , czyli, że układ (3.1) nie jest obserwowalny. Istnieją wówczas punkty $x_{{1,0}},x_{{2,0}}\in{\mathbb{R}}^{n}$ , t.ż. $x_{{1,0}}\not=x_{{2,0}}$ ,

$\begin{array}[]{lllll}\dot{x}_{1}&=&Ax_{1}\,,\qquad x_{1}(0)&=&x_{{1,0}}\\ \dot{x}_{2}&=&Ax_{2}\,,\qquad x_{2}(0)&=&x_{{2,0}}\end{array}$

(3.3)

oraz $y(t)=Cx_{1}(t)=Cx_{2}(t)$ dla każdego $t\geq 0$ . Niech

$x(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)\,,\qquad x_{0}=x_{{1,0}}-x_{{2,0}}\,.$

(3.4)

Stąd

$\dot{x}=Ax\,,\qquad x(0)=x_{0}\not=0\,,$

(3.5)

czyli $x(t)=e^{{tA}}x_{0}$ . Mamy $Cx(t)=0$ dla $t\geq 0$ . Zatem

$Ce^{{tA}}x_{0}=0\,,\qquad t\geq 0\,.$

(3.6)

Zatem dla $t=0$ otrzymujemy $Cx_{0}=0$ , następnie różniczkując względem $t$ i wstawiając $t=0$ otrzymujemy, że

$CA^{k}x_{0}=0\,,\qquad\forall k=0,1,2,\ldots\,.$

(3.7)

Stąd $\big(x_{0}\big)^{T}\big(A^{k}\big)^{T}C^{T}=0$ , a więc $\big(x_{0}\big)^{T}\big(A^{T}\big)^{k}C^{T}=0$ , czyli

$\big(x_{0}\big)^{T}\Big[C^{T},A^{T}C^{T},\ldots,\big(A^{T}\big)^{{n-1}}C^{T}\Big]=0\,.$

(3.8)

Ponieważ $x_{0}\not=0$ , więc $\mathrm{rank}\Big[C^{T},A^{T}C^{T},\ldots,\Big(A^{T}\big)^{{n-1}}C^{T}\Big]<n$ , co kończy dowód ${(b)}$ $\;\Rightarrow\;$ ${(a)}$ .

2. Dowód ${(a)}$ $\;\Rightarrow\;$ ${(b)}$ , czyli $\sim{(b)}$ $\;\Rightarrow\;$ $\sim{(a)}$ . Załóżmy więc $\sim{(b)}$ , czyli, że

$\mathrm{rank}\Big[C^{T},A^{T}C^{T},\ldots,\big(A^{T}\big)^{{n-1}}C^{T}\Big]<n\,.$

Zatem istnieje $x_{0}\not=0$ , t.ż.

$\big(x_{0}\big)^{T}\,\Big[C^{T},A^{T}C^{T},\ldots,\Big(A^{T}\big)^{{n-1}}C^{T}\Big]=0\,,$

czyli $CA^{k}x_{0}=0$ dla każdego $k=0,1,\ldots,n-1$ .

Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że

$A^{n}=-\beta _{{n-1}}A^{{n-1}}-\ldots-\beta _{0}I$

dla odpowiednich stałych $\beta _{0},\ldots,\beta _{{n-1}}$ (z wielomianu charakterystycznego).

Stąd $CA^{n}x_{0}=0$ . Następnie

$A^{{n+1}}=-\beta _{{n-1}}A^{n}-\ldots-\beta _{0}A\,,$

a więc $CA^{{n+1}}x_{0}=0$ . Kontynuując otrzymujemy $CA^{k}x_{0}=0$ dla każdego $k=0,1,\ldots$ . Mamy

$x(t)=e^{{tA}}x_{0}=\sum\limits _{{k=0}}^{{\infty}}\frac{t^{k}A^{k}}{k!}x_{0}\,,$

skąd otrzymujemy $Cx(t)=0$ , a zatem układ (3.1) nie jest obserwowalny. To kończy dowód.

∎

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Teoria sterowania