Rozważymy układ nieliniowy (NLA)
![]() |
(4.1) |
z celem . Zakładamy, że
i
jest klasy
na
.
Istotną rolę będzie pełniła linearyzacja (NLA) wokół :
![]() |
(4.2) |
gdzie
![]() |
Chcemy o sterowalności dla (NLA) w otoczeniu wnioskować ze
sterowalności linearyzacji wokół
.
Dla (NLA) wprowadzamy macierz sterowalności układu zlinearyzowanego:
![]() |
Dla (NLA):
.
Dowód: [31], str. 38.
Twierdzenie 4.1 zachodzi dla wszystkich sterowań, dla których można w danej klasie przedłużać sterowanie zerem.
Jednakże odpowiednik twierdzenia 4.1 dla jest fałszywy,
jak pokazuje następujący przykład:
Niech i
![]() |
dla . Mamy
![]() |
Zatem i
leży we wnętrzu
z twierdzenia
4.1 (a także dla
oraz
).
Ale
implikuje, że
równa się
, albo
,
a zatem
. Stąd
, gdyż
żaden punkt
nie może być doprowadzony do
.
Ten sam przykład pokazuje, że zasada bang–bang (rozdział 5.1) nie zachodzi dla (NLA).
Dla (NLA): Jeżeli układ z zerowym sterowaniem () jest globalnie
asymptotycznie stabilny i
, to
.
Dla (NLA) twierdzenie 4.1 gwarantuje istnienie , t.ż. istnieje
kula
. Globalna asymptotyczna stabilność rozwiązania dla
implikuje, że
![]() |
dla każdego .
Zatem każde rozwiązanie z
wchodzi do
w skończonym czasie.
Następnie korzystamy z
.
Twierdzenie 4.2 wskazuje na ścisły związek pomiędzy teorią stabilności a sterowalnością.
Ważnym pojęciem w badaniu stabilności jest funkcja Lapunova (por. [35], rozdział 7.2, [21], rozdział 26).
Niech będzie otoczeniem punktu równowagi
układu
.
Funkcję
nazywamy funkcją Lapunova, jeżeli
jest ciągła w i różniczkowalna w
,
,
, gdzie
![]() |
Mocną funkcją Lapunova nazywamy , jeżeli
jest funkcją Lapunova w ,
.
Jeżeli istnieje funkcja Lapunova, to punkt równowagi jest stabilny
w sensie Lapunova.
Jeżeli istnieje mocna funkcja Lapunova, to punkt równowagi jest
asymptotycznie stabilny.
Punkt materialny, o jednostkowej masie, poruszający się pod wpływem zewnętrznej siły
można opisać zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona:
![]() |
Jeżeli punkt zawieszony jest na sprężynie i ruch odbywa się w ośrodku stawiającym opór, to można przyjąć, że
![]() |
gdzie jest siłą oporu środowiska,
,
jest siłą
sprężystości oraz
jest siłą wymuszającą (lub tłumiącą). Na przykład dla prawa Hooke'a
— por. przykład 1.3.
Załóżmy, że i
są funkcjami klasy
,
.
Przyjmując ,
otrzymujemy układ równań
![]() |
(4.3) |
Układ zlinearyzowany ma postać
![]() |
(4.4) |
Mamy
![]() |
(4.5) |
Zatem, dla każdego warunku gwarantującego globalną asymptotyczną stabilność rozwiązania
układu dla
, otrzymamy
.
Jeżeli
dla każdego
,
dla każdego
,
,
to rozwiązanie jest globalnie asymptotycznie stabilne.
Rzeczywiście, niech:
![]() |
![]() |
![]() |
(4.6) |
oraz wzdłuż rozwiązań układu z :
![]() |
(4.7) |
Zatem jest funkcją Lapunova i rozwiązanie
dla
jest
stabilne (w sensie Lapunova). Argument ten nie wystarczy do pokazania asymptotycznej
stabilności, gdyż
zeruje się nie tylko dla
, ale
również dla punktów
, takich że
,
. Aby pokazać asymptotyczną
stabilność wystarczy wykazać, że jeżeli trajektoria przechodzi przez taki punkt
,
, to jest to punkt przegięcia (flex point) funkcji
i funkcja ta jest ściśle malejąca (por. [35], str. 211, przykład 7.4).
Jeżeli
jest t.ż.
i
,
to
. Stąd
ma ten sam znak
i
w sąsiedztwie
. Zatem
ma w
punkt przegięcia i jest ściśle malejąca. To gwarantuje asymptotyczną stabilność.
Globalność wynika z warunku 4.6 — por. [23], twierdzenia 26.2, 26.3, str. 108–109.
Istnieje związek pomiędzy i
:
Dla (NLA): jeżeli , to
.
Dowód: [31], str. 46–47.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.