5. Zasada bang–bang

Twierdzenie 5.1 (Zasada bang–bang (bang–bang principle))

Dla (LA): Niech $t_{1}>0$ oraz $x_{0}\in{{\mathcal{C}}}({{t_{1}}})$ . Wówczas istnieje sterowanie bang-bang $u_{{\ast}}$ , które prowadzi $x_{0}$ do $0$ w czasie $t_{1}$ .

Zatem

$\mathcal{C}(t_{1})=\mathcal{C}_{{BB}}(t_{1})\qquad\forall\; t_{1}>0\,.$

(5.1)

Dowód: [19], str. 27–30, [27], str. 171.

$\quad$

Dowód zostanie przeprowadzony w 3 krokach.

Niech

$L^{{\infty}}(0,t)=\Big\{ u:\,]0,t[\,\to{\mathbb{R}}^{m}\;:\quad\| u\| _{{\infty}}:=\mathrm{ess}\sup\limits _{{0<s<t}}|u(s)|<\infty\Big\}$

dla $t>0$ .

Definicja 5.1

Niech $u_{j}\in L^{{\infty}}(0,t)$ , dla $j=1,\ldots$ , oraz $u\in L^{{\infty}}(0,t)$ . Ciąg $\{ u_{j}\}\,$ jest zbieżny do $u$ słabo ${}^{{\ast}}$ (weakly ${}^{{\ast}}$ convergent) w $L^{{\infty}}(0,t)$ (zapis $u_{j}\,\rightharpoonup^{{\ast}}\, u$ ), jeżeli

$\lim\limits _{{j\to\infty}}\int\limits _{0}^{t}u_{j}(s)v(s)\,{\rm d}s=\int\limits _{0}^{t}u(s)v(s)\,{\rm d}s$

dla każdego $v\in L^{1}(0,t)$ .

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Mamy

$X\subset X^{{\ast\ast}}\,:\qquad J\,:\; X\to X^{{\ast\ast}}\,,\quad J[x](x^{{\ast}})=x^{{\ast}}(x)\quad\forall\; x^{{\ast}}\in X^{{\ast}}\,.$

W $X^{{\ast}}$ można zdefiniować następujące topologie (poprzez zdefiniowanie zbieżności ciągów)
- topologię mocną: $\;\lim\limits _{{j\to\infty}}\| x^{{\ast}}_{j}-x^{{\ast}}\| _{{X^{{\ast}}}}=0$ ,
- topologię słabą: $\;\lim\limits _{{j\to\infty}}x^{{\ast\ast}}(x^{{\ast}}_{j})=x^{{\ast\ast}}(x^{{\ast}})\;$ dla każdego $x^{{\ast\ast}}\in X^{{\ast\ast}}$ ,
- topologię słabą ${}^{{\ast}}$ : $\;\lim\limits _{{j\to\infty}}x^{{\ast}}_{j}(x)=x^{{\ast}}(x)\;$ dla każdego $x\in X$ .
Słaba topologia w $X^{{\ast}}$ jest najsłabszą topologią, w której każdy $x^{{\ast\ast}}\in X^{{\ast\ast}}$ pozostaje ciągły.

Słaba ${}^{{\ast}}$ topologia w $X^{{\ast}}$ jest najsłabszą topologią, przy której funkcjonał $J[x]$ , zdefiniowany na $X^{{\ast}}$ jest ciągły dla każdego $x\in X$ .

Kula jednostkowa w $X^{{\ast}}$ jest zwarta w słabej ${}^{{\ast}}$ topologii (twierdzenie Banacha–Alaoglu–Bourbakiego).

Mamy $(L^{1}(0,t))^{{\ast}}=L^{{\infty}}(0,t)$ , $L^{1}(0,t)\subset(L^{{\infty}}(0,t))^{{\ast}}$ .

Ćwiczenie 5.1

Pokazać, że $(L^{{\infty}}(0,t))^{{\ast}}\setminus L^{1}(0,t)\not=\emptyset$ .

Rozwiązanie ćwiczenia: Niech $m=1$ . Rozważmy ustalony przedział $[0,t]$ , $0<t$ . Niech $T$ będzie przekształceniem $C([0,t];\mathbb{R}^{1})\ni f\mapsto f(0)$ . Wówczas mamy

$|Tf|\leq\| f\| _{{L^{{\infty}}(0,t)}}\,.$

Z twierdzenia Hahna–Banacha (por. [34], §17) istnieje rozszerzenie tego funkcjonału liniowego (do $L^{{\infty}}(0,t)$ ) zachowujące normę (oznaczamy również przez $T$ ):

$|Tg|\leq\| g\| _{{L^{{\infty}}(0,t)}}\qquad\forall\; g\in L^{{\infty}}(0,t)\,.$

Jeżeli $(L^{{\infty}}(0,t))^{{\ast}}=L^{1}(0,t)$ , to istnieje $h\in L^{1}(0,t)$ , t.ż.

$f(0)=\int\limits _{0}^{t}f(s)h(s)\,\mathrm{d}s\,,$

dla $f\in C([0,t];\mathbb{R}^{1})$ .

Stąd jeżeli $0<a<b\leq t$ , to

$\int\limits _{a}^{b}h(s)\,\mathrm{d}s=0\,,$

a zatem $h=0$ prawie wszędzie. Dla $f=1$ otrzymujemy sprzeczność: $1=0$ .

Twierdzenie 5.2 (Alaoglu)

Niech $t>0$ oraz $\{ u_{j}\} _{{j=1,\ldots}}\subset{{\mathbb{U}}}_{m}[0,t]$ . Wówczas istnieje podciąg $\{ u_{{j_{k}}}\} _{{k=1,\ldots}}$ oraz $u\in{{\mathbb{U}}}_{m}[0,t]$ , t.ż

$u_{{j_{k}}}\,\rightharpoonup^{{\ast}}\, u\qquad k\to\infty$

Dowód: [30], str. 181; [34], str. 219. $\;\clubsuit$

Definicja 5.2

Punkt $z\in{\mathbb{K}}$ nazywa się ekstremalny (extreme) jeżeli

$\Bigg(z=\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2}\;\mathrm{dla}\; 0<\lambda<1\;\mathrm{oraz}\; x_{1},x_{2}\in\mathbb{K}\Bigg)\Rightarrow\Big(z=x_{1}=x_{2}\Big)\,,$

czyli nie istnieją punkty $x_{1}\,,\, x_{2}\,\in{\mathbb{K}}$ , $x_{1}\not=x_{2}$ oraz $0<\lambda<1$ , t.ż. $z=\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2}$ .

Twierdzenie 5.3 (Kreina–Milmana)

Niech $t>0$ oraz ${\mathbb{K}}$ będzie niepustym, wypukłym podzbiorem $L^{{\infty}}(0,t)$ , zwartym w słabej ${}^{{\ast}}$ topologii. Wówczas ${\mathbb{K}}$ ma (przynajmniej jeden) punkt ekstremalny.

Dowód: [34], str. 212. $\;\clubsuit$
Rozważamy zagadnienie (LA):

${\dot{x}}=Ax+Bu\,,\qquad x(0)=x_{0}$

Niech ${\Delta _{{t_{1}}}}$ będzie zbiorem sterowań, które prowadzą $x_{0}\in{{\mathcal{C}}}({{t_{1}}})$ do $0$ w czasie ${{t_{1}}}$ :

${\Delta _{{t_{1}}}}=\Big\{ u\in{{\mathbb{U}}}_{m}[0,{{t_{1}}}]\,:\quad u\;{\textrm{prowadzi}}\; x_{0}\;{\textrm{do}}\; 0\;{\textrm{w}}\;{{t_{1}}}\,\Big\}$

Pokażemy, że ${\Delta _{{t_{1}}}}$ spełnia założenia tw. Kreina–Milmana, a następnie, że punkt ekstremalny jest sterowaniem bang–bang.

Lemat 5.1

Zbiór ${\Delta _{{t_{1}}}}$ spełnia założenia tw. Kreina–Milmana.

Dowód: [19], str. 27–30, [27], str. 171.

$\quad$

$x_{0}\in{{\mathcal{C}}}({{t_{1}}})$ , więc ${\Delta _{{t_{1}}}}\not=\emptyset$ . Pokażemy, ze ${\Delta _{{t_{1}}}}$ jest wypukły.

$u\in{\Delta _{{t_{1}}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$x_{0}=-\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}e^{{-As}}Bu(s)\,{\rm d}s$

Niech $u\,,\,\bar{u}\,\in{\Delta _{{t_{1}}}}$ oraz $0\leq\lambda\leq 1$ .

Wówczas

$x_{0}=-\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}e^{{-As}}B\Big(\lambda u(s)+(1-\lambda)\bar{u}(s)\Big)\,{\rm d}s$

Zatem $\lambda u+(1-\lambda)\bar{u}\in{\Delta _{{t_{1}}}}$ .

Pokażemy zwartość w słabej ${}^{{\ast}}$ topologii. Niech $\{ u_{j}\} _{{j=1,2,...}}\subset{\Delta _{{t_{1}}}}$ .

Z tw. Alaoglu: ist. $j_{k}\to\infty$ oraz $u\in{{\mathbb{U}}}_{m}[0,{{t_{1}}}]$ , t.ż. $u_{{j_{k}}}\rightharpoonup^{{\ast}}u$ dla $k\to\infty$

Musimy pokazać, że $u\in{\Delta _{{t_{1}}}}$ . Z $u_{{j_{k}}}\in{\Delta _{{t_{1}}}}$ wynika, że

$x_{0}=-\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}e^{{-As}}Bu_{{j_{k}}}(s)\,{\rm d}s\quad\to\quad-\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}e^{{-As}}Bu(s)\,{\rm d}s$

z definicji słabej ${}^{{\ast}}$ zbieżności. Zatem $\; u\in{\Delta _{{t_{1}}}}$ .
∎

Z twierdzenia Kreina–Milmana istnieje punkt ekstremalny $u_{{\ast}}$ w ${\Delta _{{t_{1}}}}$ .
Pokażemy, że dla prawie każdego $t\in\,[0,{{t_{1}}}]\,$ i każdego $j=1,\ldots,m$ :

$|u_{{\ast}}^{j}(t)|=1$

Załóżmy, że nie! Istnieje więc indeks $i$ oraz podzbiór ${\mathbb{G}}\subset\,[0,{{t_{1}}}]\,$ o dodatniej mierze, t.ż. $|u_{{\ast}}^{i}(t)|<1\,$ dla $t\in{\mathbb{G}}\,$ . Istnieje $\varepsilon>0$ oraz $G\subset{\mathbb{G}}$ , t.ż.

$|G|>0\,,\qquad|u_{{\ast}}^{i}(t)|\leq 1-\varepsilon\,,\qquad t\in G\,.$

Niech $v=v(t)\in{\mathbb{R}}^{m}$ będzie t.ż. $v=(0,\ldots,0,\underbrace{\mathstrut{v^{i}}}_{{i}},0,\ldots,0)^{T}\,$ , gdzie
- $v^{i}\not=0$ na $G$ ,
- $|v^{i}|\leq 1$ ,
- $v\Big|_{{[0,{{t_{1}}}]\setminus G}}=0$
  
  oraz
- $\int\limits _{{G}}e^{{-As}}Bv(s)\,{\rm d}s=0\,.$
Niech

$u_{1}=u_{{\ast}}+\varepsilon v\,,\qquad u_{2}=u_{{\ast}}-\varepsilon v\,,$

Mamy $u_{1},u_{2}\in{\Delta _{{t_{1}}}}$ . Rzeczywiście

$\begin{array}[]{ll}-&\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}e^{{-As}}Bu_{1}(s){\rm d}s=\\ =-&\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}e^{{-As}}Bu_{{\ast}}(s)\,{\mathrm{d}}s-\varepsilon\underbrace{\mathstrut{\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}e^{{-As}}Bv(s){\rm d}s}}_{{=0}}\,=\, x_{0}\end{array}$

Mamy $|u_{1}^{i}|\leq 1$ :

$u_{1}^{i}(t)=u_{{\ast}}^{i}(t)\quad{\rm dla}\; t\not\in G\,,\qquad u_{1}^{i}(t)=u_{{\ast}}(t)+\varepsilon v^{i}(t)\quad{\rm dla}\; t\in G\,,$

Na $G$ mamy $|u_{{\ast}}^{i}|\leq 1-\varepsilon$ , a zatem

$|u_{1}^{i}(t)|\leq|u_{{\ast}}^{i}(t)|+\varepsilon|v^{i}(t)|\leq 1-\varepsilon+\varepsilon=1$

Podobnie $u_{2}$ , zatem $u_{1},u_{2}\in{\Delta _{{t_{1}}}}$ .

$u_{1}=u_{{\ast}}+\varepsilon v\,,\quad u_{1}\not=u_{{\ast}}\,,\qquad u_{2}=u_{{\ast}}-\varepsilon v\,,\quad u_{2}\not=u_{{\ast}}\,,$

$\frac{1}{2}u_{1}+\frac{1}{2}u_{2}=u_{{\ast}}$

Sprzeczność: bo $u_{{\ast}}$ jest punktem ekstremalnym ${\Delta _{{t_{1}}}}$ .

∎

Uwaga 5.1

Zasada bang–bang pozostaje bez zmiany w przypadku, gdy celem jest $y\not=0$ , $y\in{\mathbb{R}}^{n}$ . Rzeczywiście:

		$\displaystyle y$	$\displaystyle\,=\, e^{{A{{t_{1}}}}}\Big(x_{0}+\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}e^{{-As}}Bu(s){\rm d}s\Big)\qquad\Longleftrightarrow$
		$\displaystyle 0$	$\displaystyle\,=\, e^{{A{{t_{1}}}}}\Big(y_{0}+\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}e^{{-As}}Bu(s){\rm d}s\Big)\;,\qquad y_{0}=x_{0}-e^{{-A{{t_{1}}}}}y$

Z zasady bang–bang istnieje $v\in{{\mathbb{U}}}_{{BB}}[0,{{t_{1}}}]$ , t.ż.

		$\displaystyle 0$	$\displaystyle\,=\, e^{{A{{t_{1}}}}}\Big(y_{0}+\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}e^{{-As}}Bv(s){\rm d}s\Big)\qquad\Longleftrightarrow$
		$\displaystyle y$	$\displaystyle\,=\, e^{{A{{t_{1}}}}}\Big(x_{0}+\int\limits _{0}^{{{{t_{1}}}}}e^{{-As}}Bv(s){\rm d}s\Big)$

Uwaga 5.2

Analogicznie dla

${\dot{x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)+c(t)\,.$

Uwaga 5.3

Przykład 4.1 pokazuje, że zasada bang–bang nie zachodzi dla układów nieliniowych. Przykład 2.3 i twierdzenie 2.6 pokazują, że zasada bang–bang nie zachodzi dla sterowań nieograniczonych.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Teoria sterowania

5. Zasada bang–bang

Twierdzenie 5.1 (Zasada bang–bang (bang–bang principle))

Dowód: [19], str. 27–30, [27], str. 171.

Definicja 5.1

Ćwiczenie 5.1

Twierdzenie 5.2 (Alaoglu)

Definicja 5.2

Twierdzenie 5.3 (Kreina–Milmana)

Lemat 5.1

Dowód: [19], str. 27–30, [27], str. 171.

Uwaga 5.1

Uwaga 5.2

Uwaga 5.3