W tym rozdziale zajmiemy się warunkiem wystarczającym istnienia sterowania optymalnego.
W całym rozdziale zakładamy, że .
Rozważamy najpierw zagadnienie Mayera (M):
![]() |
(8.1) |
z funkcjonałem kosztu
![]() |
(8.2) |
gdzie oraz
i
są zadanymi funkcjami o wartościach w
i
, odpowiednio.
Sformułujemy twierdzenia mówiące o istnieniu sterowania optymalnego, tzn. takiego ,
że warunek (6.2) jest spełniony.
Analogia: Zagadnienie minimum rzeczywistej funkcji w obszarze
. Warunkiem wystarczającym (the sufficient condition)
istnienia minimum jest:
jest zbiorem zwartym (compact) i
jest
funkcją ciągłą.
Wprowadzamy następujące oznaczenie
Dla zbiór
jest zbiorem sterowań, które prowadzą
do
w czasie
, gdzie
.
Podstawowymi założeniami są
Funkcja
![]() |
jest ciągła względem wszystkich zmiennych, różniczkowalna w sposób ciągły
względem oraz spełnia
![]() |
(8.3) |
Założenie (8.3) może byc zastąpione innym, gwarantującym jednostajne oszacowanie odpowiedzi.
Zbiór
![]() |
(8.4) |
jest zbiorem wypukłym (convex) dla wszystkich ,
.
Przy powyższych założeniach można sformułować twierdzenie o istnieniu sterowania optymalnego dla zagadnienia Mayera:
Niech będą spełnione następujące warunki dla :
funkcja jest ciągła;
zbiór jest domknięty dla każdego
Wówczas istnieje optymalne sterowanie.
[14], str. 89.
Ogólna idea dowodu istnienia sterowania optymalnego jest następująca: bada się (skomplikowane, nieliniowe) przekształcenie
![]() |
i pokazuje następujące fakty
istnieje ciąg ,,minimalizujący” z odpowiedziami
,
pewien podciąg ciągu
zbiega do pewnej granicy
,
istnieje , dla którego
jest odpowiedzią,
odpowiedź spełnia wszystkie określone warunki.
W ogólnym przypadku nie wiemy czy zbiega do
.
Dla zagadnień z liniową zależnością od sterowania można pokazać zbieżność
do
.
Zagadnienie optymalnego sterowania dla
![]() |
z
![]() |
Cel nie jest ustalony, (zagadnienie swobodnego punktu końcowego), czas dotarcia jest ustalony.
Dla każdego określamy sterowanie
![]() |
Wówczas odpowiedź
![]() |
Jeżeli , to
. Zatem
![]() |
Nie ma więc sterowania optymalnego ( może być dowolnie małe). To pokazuje, że oszacowanie
(8.3) w założeniu 8.1, lub inne gwarantujące jednostajne oszacowanie, jest potrzebne.
Zagadnienie optymalnego sterowania dla
![]() |
z
![]() |
Infimium to
, ale nie jest nigdy osiągane. Funkcja
nie jest ciągła!
Założenie o wypukłości 8.2 można odrzucić dla układu liniowego względem stanu
![]() |
Niech będą spełnione następujące warunki dla :
i
są macierzami
i
, odpowiednio,
dla
,
oraz
,
są ciągłe;
funkcja jest ciągła;
zbiór jest domknięty dla każdego
Wówczas istnieje optymalne sterowanie.
Dowód: [14], str. 92.
Dla zagadnienia Bolzy (B) (lub zagadnienia Lagrange'a (L)) określamy
![]() |
wprowadzamy –wymiarowy wektor
![]() |
oraz
![]() |
W ten sposób sprowadzamy zagadnienie Bolzy (B) do zagadnienia Mayera (M) dla
![]() |
(8.5) |
z .
Twierdzenie o istnieniu sterowania optymalnego dla zagadnienia Bolzy wynika z twierdzenia 8.1. Założenie 8.2 jest zastąpione następującym:
Zbiór
![]() |
(8.6) |
jest zbiorem wypukłym w dla wszystkich
,
.
Można sformułować twierdzenie o istnieniu sterowania optymalnego dla zagadnienia Bolzy:
Niech będą spełnione następujące warunki dla :
funkcja spełnia założenie 8.1;
funkcje oraz
są ciągłe;
jest spełniony założenie wypukłości 8.3;
zbiór jest domknięty dla każdego
Wówczas istnieje optymalne sterowanie.
Założenie 8.3 o wypukłości dotyczy geometrii związku pomiędzy
i
, a nie odnosi się do wypukłości
i
.
Założenie 8.1 jest istotne. W poniższym przykładzie nieliniowość względem zmiennej
powoduje nieistnienie optymalnego sterowania.
Niech ,
,
![]() |
![]() |
![]() |
Cel jest ustalony .
Mamy , zatem musi być
.
Dla
mamy
,
,
, więc
nie jest to odpowiedź pomyślna.
Dla
określmy
![]() |
Odpowiedzią (pomyślną) jest
![]() |
Rzeczywiście: na :
![]() |
![]() |
Na : warunek początkowy dla
ma postać
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Gdy funkcja
zbiega do pewnej funkcji osobliwej
w
.
Ponadto gdy
. Zatem
optymalne sterowanie
powinno spełniać warunek
![]() |
Pokażemy, że każde pomyślne sterowanie daje koszt .
Dla pomyślnego sterowania mamy oraz bezpośrednio z równania,
dla
otrzymujemy
![]() |
Stąd, z nierówności po prawej stronie (całkując od do
),
![]() |
dla .
Z nierówności po lewej stronie (całkując od do
),
![]() |
dla .
Ale pomyślna odpowiedź musi być ograniczona (jako funkcja ciągła na zbiorze zwartym), więc pierwsza nierówność jest ostra. Zatem
![]() |
Wniosek: nie istnieje optymalne sterowanie!
Następujący przykład pokazuje, ze nawet dla ograniczonych
odpowiedzi, zależność od sterowania może powodować nieistnienie
optymalnego sterowania. Potrzebne jest więc dodatkowe założenie, n.p. o wypukłości
8.3.
Niech ,
,
![]() |
![]() |
Cel jest ustalony .
Mamy , zatem musi być
Każda odpowiedź spełnia , a zatem
dla
.
Skonstruujemy ciąg sterowań ,
t.ż.
dla
.
Ponieważ zawsze , każde sterowanie optymalne
musiałoby
spełniać
To prowadzi do sprzeczności, gdyż wtedy
![]() |
a zatem
,
co jest niemożliwe, gdyż
![]() |
W.w. ciąg sterowań ma postać ,
.
Wówczas
![]() |
Odpowiedź ma postać
![]() |
Mamy więc
![]() |
czyli rzeczywiście dla
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.