Zagadnienia

10.1 Twierdzenie Kryłowa- Bogoliubowa
10.2 O sposobach szukania miar niezmienniczych w klasie miary Lebesgue'a. Operator Perrona-Frobeniusa

10. Jak szukać miar niezmienniczych

10.1. Twierdzenie Kryłowa- Bogoliubowa

Rozważmy przekształcenie mierzalne względem $\sigma$ - ciała $\mathcal{F}$ , $T:X\to X$ . Czy $X$ ma jakąś miarę niezmienniczą określoną na $\mathcal{F}$ ? Otóż- nie musi tak być. Rozważmy

Przykład 10.1

Rozważmy przekształcenie $T:[0,1]\to[0,1]$ określone wzorem $T(x)={1\over 2}x$ dla $x\neq 0$ , $T(0)=1$ . Wówczas $T$ jest oczywiście mierzalne względem $\sigma$ -ciała zbiorów borelowskich na $[0,1]$ , ale nie istnieje borelowska miara niezmiennicza dla $T$ . Istotnie, ponieważ $(0,1]=T^{{-1}}(0,{1\over 2}]=T^{{-2}}(0,{1\over 4}]=\dots T^{{-n}}(0,{1\over{2^{n}}}]$ , mamy $\mu((0,1])=\mu((0,{1\over 2}]$ , czyli $\mu(({1\over 2},1]=0$ i, podobnie, sprawdzamy że $\mu({1\over 2^{{k}}},{1\over 2^{{k-1}}}]=0$ . Zatem jedyna miara niezmiennicza musiałaby być skupiona w punkcie $0$ , ale, ponieważ $T(0)\neq 0$ , ta miara też nie jest niezmiennicza

Widzimy, że powyższy przykład jest nieco sztuczny; ciągłe przekształcenie zostało zmodyfikowane w punkcie stałym i w ten sposób wyrugowaliśmy jedyną miarę niezmienniczą dla wyjściowego, ciągłego przekształcenia domkniętego odcinka $[0,1]$ .

Istotnie mamy następujące

Twierdzenie 10.1 (Twierdzenie Kryłowa- Bogoliubowa)

Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną zwartą, $T:X\to X$ przekształceniem ciągłym, to istnieje przynajmniej jedna borelowska miara niezmiennicza dla $T$ .

Uwaga 10.1

Zauważmy że to twierdzenie jest nietrywialne, o ile $T$ nie ma żadnej orbity okresowej. Jeśli bowiem $x,Tx,...T^{n}x=x$ jest orbitą okresową, to miara

$\mu _{x}={1\over n}\left(\delta _{x}+\delta _{{Tx}}+\dots+\delta _{{T^{{n-1}}(x)}}\right)$

jest niezmienniczą miarą borelowską.

Zanim przystąpimy do dowodu Twierdzenia, zapiszemy warunek na niezmienniczość miary w innej, równoważnej formie: Przypomnijmy, że niezmienniczość miary oznacza że $\mu(T^{{-1}}(A)=\mu(A)$ dla każdego mierzalnego zbioru $A$ . Z przekształceniem ciągłym $T:X\to X$ możemy związać ciągłe przekształcenie $T_{*}:C(X)\to C(X)$ dane wzprem

$T_{*}(\phi)(f)=\phi(f\circ T)$

Stwierdzenie 10.1

Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną zwartą, $T:X\to X$ przekształceniem ciągłym to borelowska miara regularna jest niezmiennicza dla $T$ wtedy i tylko wtedy gdy $T_{*}\mu=\mu$ .

Założmy że $T_{*}\mu=\mu$ . Mamy pokazać że dla każdego borelowskiego zbioru $A$ mamy $\mu(T^{{-1}}(A)=\mu(A)$ . Z regularności miary wynika że dla każdego dodatniego $\varepsilon$ istnieją zbiory $E\supset A\supset F$ ( $E$ - otwarty, $F$ - domknięty) takie że $\mu(E)<\mu(A)-\varepsilon<\mu(A)+\varepsilon<\mu(F)$ oraz $\mu(T^{{-1}}E)<\mu(T^{{-1}}A)-\varepsilon<\mu(T^{{-1}}A)+\varepsilon<\mu(T^{{-1}}F)$ Istnieje funkcja ciągła $f:X\to\mathbb{R}$ taka że $f_{{|F}}=1$ , $f_{{|X\setminus E}}=0$ , $0\le f\le 1$ . Mamy zatem

$|\mu(f)-\mu(A)|<2\varepsilon$

$|\mu(f\circ T)-\mu(T^{{-1}}A)|<2\varepsilon$

Stąd (skoro $\mu(f\circ T)=\mu(f)$ )

$|\mu(T^{{-1}}(A)-\mu(A)|<4\varepsilon$

Wobec dowolności $\varepsilon$ , $\mu(T^{{-1}}(A)=\mu(A)$ . Odwrotnie, jeśli dla każdego $A$ borelowskiego $\mu(T^{{-1}}(A)=\mu(A)$ , to możemy napisać dla funkcji ciągłej $f\ge 0$ , (ale także dla dowolnej borelowskiej, $f\ge 0$

$\int fd\mu=\int _{{[0,\infty)}}\mu(\{ x\in X:f(x)>t\})d{\rm leb}$

Z tego zapisu widać od razu że $\int f\circ T=\int f$ . Ponieważ dowolną funkcję ciągłą $f$ możemy teraz zapisać jako różnicę dwóch funkcji ciągłych nieujemnych $f=f_{+}-f_{-}$ , dowód jest zakończony.

∎

Dowód Twierdzenia Kryłowa- Bogoliubowa

Przypomnijmy że każda borelowska regularna miara na $X$ jest ciągłym funkcjonałem liniowym działającym na przestrzeni funkcji ciągłych $C(X)$ i, odwrotnie, każdy nieujemny (tj przyjmujący nieujemne wartości na funkcjach nieujemnych) funkcjonał ciągły na $C(X)$ jest dany przez pewną miarę borelowską regularną. (Ta odpowiedniość jest dana przez formułę: uscislic

$\mu(f)=\int _{X}fd\mu$

W przestrzeni miar probabilistycznych rozpatrujemy słabą ${}^{*}$ topologię (to znaczy topologię pochodzącą z utożsamienia miar z funkcjonałami liniowymi na $C(X)$ , czyli elementami $\left(C(X)\right)^{*}$ . Zastosujemy znane twierdzenie Banacha- Alaoglu, mówiące że kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni Banacha jest zwarta w słabej $-^{*}$ topologii.

Uwaga 10.2

Słaba ${}^{*}$ topologia w przestrzeni miar unormowanych jest metryzowalna uzupelnic

Wyberzmy dowolny punkt $x\in X$ i rozpatrzmy ciąg miar

$\mu _{n}={1\over n}\left(\delta _{x}+\delta _{{Tx}}+\dots\delta{T^{{n-1}}(x)}\right)$

wybierzmy podciąg słabo zbieżny:

$\mu _{{n_{k}}}={1\over{n_{k}}}\left(\delta _{x}+\delta _{{Tx}}+\dots\delta{T^{{n_{k}-1}}}(x)\right)\to\mu _{0}$

(10.1)

Miara $\mu _{0}$ jest wówczas szukaną miarą niezmienniczą.

Istotnie, sprawdzimy że $T_{*}\mu=\mu$ . Mamy

$T_{*}\mu _{{n_{k}}}={1\over{n_{k}}}\left(\delta _{{Tx}}+\delta _{{T^{2}x}}+\dots\delta{T^{{n_{k}}}}(x)\right)=\mu _{{n_{k}}}+{1\over{n_{k}}}\left(\delta{T^{{n_{k}}}}(x)-\delta _{x}\right)$

(10.2)

Pozostaje jeszcze zauważyć że $T_{*}\mu _{{n_{k}}}\to t_{*}\mu _{0}$ ,zaś ${1\over{n_{k}}}\left(\delta{T^{{n_{k}}}}(x)-\delta _{x}\right)\to 0$ .

∎

Przykład 10.2

Obrót o kąt niewymierny (dokładniej: niewspółmierny z $\pi$ ) na okręgu ma tylko jedną miarę niezmienniczą (jest nią oczywiście miara Lebesgue'a) - por. Stwierdzenie 2.1. Przekształcenia które mają tylko jedną miarę niezmienniczą nazywa się ścisle ergodycznymi.

Ćwiczenie 10.1

uogólnienie na przesunięcia na torusach

Ćwiczenie 10.2 (Inna konstrukcja półsprzężenia homeomorfizmu okręgu z obrotem)

Niech $f$ będzie zachowującym orientację homeomorfizmem okręgu, o niewymiernej liczbie obrotu. Niech $\mu$ będzie borelowską miarą niezmienniczą. Wykazać że miara $\mu$ jest bezatomowa. Ustalmy $x_{0}\in\mathbb{S}^{1}$ i oznaczmy przez $[x_{0},x]$ dodatnio zorientowany łuk między punktami $x_{0},x\in\mathbb{S}^{1}$ . Określamy przekształcenie $h:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1}$ wzorem

$h(x)=\exp(2\pi i\mu([x_{0},x])).$

Niech $\beta=\mu([x_{0},f(x_{0})])$ . Wykazać że wówczas $h$ jest ”pólsprzężeniem $f$ z obrotem $T_{\beta}$ o kąt $2\pi\beta$ , tj.

$h\circ f=T_{\beta}\circ h.$

Jaki jest związek $\beta$ z liczbą obrotu dla $f$ ?

10.2. O sposobach szukania miar niezmienniczych w klasie miary Lebesgue'a. Operator Perrona-Frobeniusa

Jeśli rozważane przez nas przekszgtałcenie jest określone na podzbiorze $\mathbb{R}^{n}$ o dodatniej mierze Lebesgue'a, lub na rozmaitości gładkiej, to naturalne jest pytanie o zachowanie trajektorii punktów typowych w sensie miary Lebesgue'a. Twierdzenie ergodyczne daje taką odpowiedź, pod warunkiem że istnieje miara niezmiennicza (najlepiej: ergodyczna) bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a.

Przykład 10.3

Rozważmy kawałkami afiniczne przekształcenie odcinka $T:[0,1]\to[0,1]$ . Mamy: $0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\dots<a_{n}=1$ . Każdy z odcinkow $[a_{i},a_{{i+1}}0$ jest przekształcany afinicznie na cały odcinek $[0,1)$ .

Dla tego przekształcenia miara Lebesgue'a jest niezmiennicza (dlaczego?)

Jeśli teraz rozważymy podobne przekształcenie - ale dopuścimy żeby T przekształcalo ścisle monotonicznie i gładko każdy z odcinków naszego podziału na cały odcinek $[0,1)$ ale niekoniecznie afinicznie - to miara Lebesgue'a (na ogól) nie jest już niezmiennicza. NA tym prostym przykładzie omówimy technikę, która pozwala (również w znacznie ogólniejszych sytuacjach) rozstrzygać o istnieniu miary niezmienniczej w klasie miary Lebesgue'a i o jej własnościach. Wykres przekształcenia $T$ jest przedstawiony na rysunku 10.1.

Rys. 10.1. Wykres przekształcenia $T$ .

Twierdzenie 10.2

Niech $a_{0}=0<a_{1}<a_{2}<\dots<a_{k}=1$ . Oznaczmy $I_{=}[a_{{i-1}},a_{i})$ (zatem $[0,1)=\bigcup _{{i=1}}^{{k}}I_{i}$ ).

Rozpatrujemy przekształcenie $T:[0,1)\to[0,1)$ o następujących własnościach:

(1) $T$ jesli klasy $C_{2}$ na każdym odcinku $I_{i}$ i przekształca ścisle monotonicznie odcinek $I_{i}$ na $[0,1)$ .
(2) $|T^{{\prime}}|_{{|I_{i}}}>\alpha>1$
(3) $T$ rozszerza się do przekształcenia klasy $C^{2}$ na trochę większy odcinek (zatem druga pochodna $|T^{{\prime\prime}}|$ jest ograniczona na $I_{i}$ )

Wówczas istnieje miara niezmiennicza bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a. Ponadto, gęstość $g$ tej miary względem miary Lebesgue'a jest ograniczona z gory i z dołu: istnieją stałe $c,C$ takie że

$0<c<g(x)<C$

Będziemy postępować według dowodu twierdzenia Kryłowa- Bogoliobowa, biorąc za punkt startowy- miarę Lebesgue'a na odcinku $[0,1)$ . Oznaczmy ją przez $\nu$ . Rozpatrujemy ciąg miar $\nu _{n}=T^{n}_{*}\nu$ . Następnie rozpatrzymy (tak jak w dowodzie tw Kryłowa- Bogoliubowa) średnie miar $\nu _{n}$

$\mu _{n}=\frac{1}{n}\left(\nu _{0}+\nu _{1}+\dots+\nu _{n}\right)$

Nie jest trudno zauważyć że każda z tych miar jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a. Ale oczywiście nie wynika stąd że słaba granica podciągu jest też absolutnie ciągła. Dlatego udowodnimy trzy pomocnicze stwierdzenia. Najpierw wprowadzimy oznaczenie

${\rm int}I^{n}_{{i_{1},\dots i_{n}}}=I_{{i_{1}}}\cap T^{{-1}}(I_{{i_{2}}})\cap\dots\cap T^{{-n}}(I_{{i_{n}}})$

Zauważmy że odcinek $[0,1)$ jest podzielony na rozłaczne ${\rm int}I^{n}_{{i_{1},\dots i_{n}}}$ i że każdy odcinek ${\rm int}I^{n}_{{i_{1},\dots i_{n}}}$ jest przekształcany przez iterację $T^{n}$ ściśle monotonicznie na $[0,1)$ .

Stwierdzenie 10.2

Miara $\nu _{n}$ jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a z gęstością

$g_{n}(x)=\sum _{{y\in T^{{-1}}(x)}}\frac{1}{|(T^{n})^{{\prime}}|(y)|}$

(10.3)

Funkcja $g_{n}$ jest klasy $C^{1}$

Wzór na gęstość obrazu miary Lebesgue'a przy przekstałceniu $T$ wynika bezpośrednio z wzoru na całkowanie przez podstawienie. Zostawiamy jako ćwiczenie.

∎

Stwierdzenie 10.3

Ciąg funkcji $g_{n}(x)$ jest wspólnie ograniczony z góry i z dołu: istnieją stałe $c,C$ takie że

$0<c<g_{n}(x)<C$

Weźmy dwa punkty $x,z\in[0,1]$ . Wówczas każdy z tych punktów na $k^{n}$ przeciwobrazów przy $T^{n}$ ; każdy w innym odcinku ${\rm int}I^{n}_{{i_{1},\dots i_{n}}}$ . Możemy je więc w naturalny sposób polączyc w pary. Zatem dwa przeciwobrazy $y\in t^{{-n}}(x),w\in T^{{-n}}(z)$ są w parze jeśli dla każdego $0\le j<n$ punkty $T^{j}(x)$ i $T^{j}(w)$ należą do tego samego przedziału monotoniczności $T$ . POnieważ na każdym takim przedziale $T""$ jest ograniczona, $T^{{\prime}}>1$ , więc funkcjia $\log|T^{{\prime}}|$ spełnia warunek Lipschitza. Oznaczmy przez $L$ wspólną stałą Lipschitza (dla wszystkich przedziałów). Możemy teraz porównać $|(T^{n})^{{\prime}}(y)|$ i $(T^{n})^{{\prime}}(w)|$ : Mamy

$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\left|\log\left|\frac{(T^{n})^{{\prime}}(y)}{(T^{n})^{{\prime}}(w)}\right|\right|=\left|\log|(T^{n})^{{\prime}}(y)|-\log|(T^{n})^{{\prime}}(w)|\right|\\ \displaystyle&\displaystyle=|\sum _{{i=0}}^{{n-1}}\log|T^{{\prime}}(T^{i}(y))|-\sum _{{i=0}}^{{n-1}}\log|T^{{\prime}}(T^{i}(w))||\\ \displaystyle&\displaystyle\le\sum _{{i=0}}^{{n-1}}|\log|T^{{\prime}}(T^{i}(y)|-\log|T^{{\prime}}(T^{i}(w)||\\ \displaystyle&\displaystyle\le L\sum _{{i=0}}^{{n-1}}|T^{i}(y)-T^{i}(w)|\end{aligned}$

(10.4)

Ponieważ przekształcenie $T$ jest kawałkami rozszerzające ( $|T^{{\prime}}|>\alpha>1$ ) , więc $|T^{i}(x)-T^{i}(w)|<\alpha^{{n-i}}$ . Ostatnie wyrażenie można więc oszacować z góry przez uniwersalną stałą, niezależną od $n$ (sumę odpowiedniego szeregu geometrycznego). Stąd wynika że

$C^{{-1}}<\left|\frac{(T^{n})^{{\prime}}(y)}{(T^{n})^{{\prime}}(z)}\right|<C$

dla pewniej stałej $C$ . Z wzoru (10.3) natychmiast wynika teraz że

$\frac{g_{n}(x)}{g_{n}(z)}<C$

Ponieważ $g_{n}$ jest gęstością miary $T^{n}_{*}({\rm Leb})$ , więc $\int g_{n}=1$ . Istnieje zatem punkt $y$ taki że $g_{n}(z)\le 1$ . Stąd zaś wynika że dla każdego $x$ mamy $g_{n}(x)<C$ . Z tego samego powodu: $g_{n}(x)>\frac{1}{C}$ dla każdego $x$ .

∎

Ostatnie stwierdzenie jest ogólne; nie dotyczy tylko tej konkretnej sytuacji:

Stwierdzenie 10.4

Jeśli ciąg miar probabilistycznych $\mu _{n}$ na prostej jest słabo- ${}^{*}$ zbieżny do miary $\mu$ i gęstości miar $\mu _{n}$ są wspólnie ograniczone z gory i z dołu przez stałe dodatnie $c,C$ , to miara graniczna $\mu$ też jest bezwzględnie ciągła i gęstość jest ograniczona przez te same stałe (prawie wszędzie).

Skorzystamy z równoważnej charakteryzacji słabej zbieżności miar (rozkładów) na prostej: ciąg miar jest słabo zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy ciąg dystrybuant jest zbieżny punktowo, w każdym punkcie ciągłości dystrybuanty miary granicznej. Zatem- jesli $\mu _{n}\to\mu$ i rozpatrzymy odcinek $J=[a,b])$ taki że $\mu(\partial J)=0$ (czyli $\mu$ nie ma atomów w końcach przedziału) to

$\mu(J)=\lim\mu _{n}(J)=\lim\int _{J}g_{n}\le C|J|$

Zatem- dla każdego odcinka $J$ którego końce nie są atomami miary $\mu$

$\mu(J)\le C|J|.$

(10.5)

Atomów jest tylko przeliczalnie wiele, więc każdy odcinek $J$ można przybliżyć z góry odcinkami o końcach nie będących atomami. Łatwo stąd widać że nierówność (10.5) zachodzi dla wszystkich przedziałów $J\subset[0,1]$ . Ponieważ dla każdego zbioru borelowskiego w $[0,1]$ można znaleźć zawierający go zbiór otwarty (czyli sumę przeliczanej liczby otwartych odcinków) o mierze Lebesgue'a dowolnie blisko przybliżającej miarę naszego zbioru, łatwo stąd otrzymujemy nierówność (10.5) dla dowolnego zbioru borelowskiego. Wynika stąd że miara $\mu$ jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a i że gęstość jest ograniczona z góry przez $C$ . Podobnie otrzymujemy teraz ograniczenie z dołu gęstości przez $c$ . Szczegóły pomijamy.

∎

Z tych trzech stwierdzeń teza naszego Twierdzenia wynika natychmiast; wystarczy zauważyć że ograniczenia na gęstość miar $\nu _{n}$ z góry i z dołu przenoszą się od razu na takie same ograniczenia dla gęstości miar $\mu _{n}$ . Szukana miara niezmiennicza jest słabą granicą pewnego podciągu ciągu miar $\mu _{n}$ .

∎

Wykażemy jeszcze

Twierdzenie 10.3

Miara $\mu$ jest ergodyczna.

Szkic dowodu

Do dowodu ergodyczności posłużymy się twierdzeniem Lebesgue'a o punktoach gęstości. Założmy zatem że miara $\mu$ nie jest ergodyczna; istnieje wówczas w pełni niezmienniczy podzbiór $E$ miary niezerowej i niepełnej Wówczas również ${\rm Leb}(E)>0$ i ${\rm Leb}(E^{c})>\beta>0$ . Z twierdzenia Lebesgue'a wynika że prawie każdy punkt $x_{0}\in E$ jest punktem gęstości tego zbioru.

Niech $I_{{i_{1},\dots i_{n}}}^{n}$ będzie odcinkiem $n$ - tego podziału do którego należy $x_{0}$ . Z szacowania (10.4) zastosowanego do dowlonych punktów $z,w\in I_{{i_{1},\dots i_{n}}}^{n}$ wynika że wahanie pochodnej $(T^{n})^{{\prime}}|$ na odcinkach $n$ -tego podziału jest ograniczone przez stałą $C$ . Stąd i z niezmienniczości zbioru $E$ wnioskujemy że