Zagadnienia

6.1 Hiperboliczne punkty stałe i stacjonarne
6.2 Twierdzenia Grobmana- Hartmana
6.3 Twierdzenie Hadamarda-Perrona
6.4 Globalne rozmaitości stabilne i niestabilne

6. Rozmaitości stabilne i niestabilne. Twierdzenia o ich istnieniu i własnościach

6.1. Hiperboliczne punkty stałe i stacjonarne

Definicja 6.1

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad $\mathbb{R}$ (albo nad $\mathbb{C}$ ), niech $L:V\to V$ będzie odwracalnym przekształceniem liniowym. Mówimy że $L$ jest przekształceniem hiperbolicznym jeśli wszystkie wartości własne $L$ mają moduł różny od $1$ .

Definicja 6.2

Niech $f$ będzie dyfeomorfizmem określonym na otoczeniu $0$ w $\mathbb{R}^{m}$ , takim że $f(p)=0$ i różniczka $Df(p)$ jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas mówimy że $p$ jest hiperbolicznym punktem stałym dla $f$ . Jeśli $p$ jest okresowy dla $f$ , $f^{k}(p)=p$ i różniczka $Df^{k}(p)$ jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym, to mówimy że $p$ jest hiperbolicznym punktem okresowym.

Definicja 6.3

Jeśli $f$ jest dyfeomorfizmem rozmaitości $M$ , $f(p)=p$ to mówimy że $f$ jest punktem stałym hiperbolicznym jeśli dla mapy $\varphi$ , określonej na otoczeniu zera, takiej że $\varphi(0)=p$ , punkt $0$ jest hiperbolicznym punktem stałym przekształcenia $\varphi^{{-1}}\cdot f\cdot\varphi$ (ta definicja nie zależy od wyboru mapy!)

Definicja 6.4

Niech $X$ będzie polem wektorowym klasy $C^{1}$ , określonym w pewnym otoczeniu $p$ w $\mathbb{R}^{m}$ takim że $X(p)=0$ i rózniczka $A$ pola $X$ w punkcie $p$ (rozumianego jako funkcja o wartościach w $\mathbb{R}^{m}$ ) nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej. Taki punkt stacjonarny $p$ nazywamy hiperbolicznym.

Definicja 6.5

Niech $X$ będzie polem wektorowym klasy $C^{1}$ , określonym w pewnym otoczeniu $p\in M$ ( $M$ - gładka rozmaitość). $X(p)=0$ . Mówimy że $p$ jest punktem stacjonarnym hiperbolicznym dla pola $X$ jeśli dla mapy $\varphi$ określonej na otoczeniu zera, takiej że $\varphi(0)=p$ , punkt $0$ jest punktem stacjonarnym hiperbolicznym dla pola $\varphi^{*}(X)$ (ta definicja nie zależy od wyboru mapy).

6.2. Twierdzenia Grobmana- Hartmana

To twierdzenie jest znane z kursu Jakościowej Teorii Równań Różniczkowych; przytaczamy je w wersji potrzebnej do naszych celów i podajemy szkic dowodu.

Twierdzenie 6.1 (Twierdzenie Grobmana-Hartmana o lokalnej stabilności)

Wersja dla dyfeomorfizmów: Niech $f$ będzie dyfeomorfizmem określonym na otoczeniu $0$ w $\mathbb{R}^{m}$ ,takim że $f(0)=0$ i różniczka $Df(0)$ jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas istnieje homeomorfizm $h$ określony w pewnym otoczeniu zera $U$ taki że dla $x\in U$ mamy:

$h\circ f(x)=L\circ h(x)$
Wersja dla potoków: Niech $X$ będzie polem wektorowym klasy $C^{1}$ , określonym w pewnym otoczeniu zera w $\mathbb{R}^{m}$ takim że $X(0)=0$ i rózniczka $A$ pola $X$ w punkcie $0$ (rozumianego jako funkcja o wartościach w $\mathbb{R}^{m}$ ) nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej. Wówczas istnieje homeomorfizm $h$ określony w pewnym otoczeniu zera $U$ taki że dla $x\in U$ potok $varphi^{t}$ pola wektowego $X$ jest sprzężony przez $h$ R z potokiem $\psi^{t}$ pola liniowego z macierzą $A$ (czyli z potokiem $x\mapsto\psi^{t}(x)=\exp(tA)x$ ).

Podamy najpierw szkic dowodu dla dyfeomorfizmów.

Lemat 6.1

Niech $V$ będzie przestrzenią Banacha. Niech $\mathcal{L}$ będzie przekształceniem liniowym ciągłym $\mathcal{L}:V\to V$ , takim że $||\mathcal{L}||<a<1$ , niech $G$ będzie odwracalnym przekształceniem liniowym takim że $||G^{{-1}}||<a<1$ . Wówczas

$I+\mathcal{L}$ jest odwracalne i $||(I+\mathcal{L})^{{-1}}||\le\frac{1}{1-a}$
$I+G$ jest odwracalne i $||(I+G)^{{-1}}||\le\frac{a}{1-a}$

Lemat 6.2

Dla hiperbolicznego przekształcenia liniowego $L:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{m}$ istnieje norma w $\mathbb{R}^{m}$ taka że jeśli $\mathbb{R}^{m}=E^{s}\oplus E^{u}$ jest rozkładem na (niezmiennicze) podprzestrzenie odpowiadające wartosciom własnym mniejszym (większym) co do modułu od $1$ , to $||L||_{{|E^{s}}}<a<1$ , $||L^{{-1}}||_{{|E^{u}}}<a<1$

Następujące Stwierdzenie jest kluczowym krokiem dowodu:

Stwierdzenie 6.1

Niech $L$ będzie hiperbolicznyn przekształceniem liniowym Istnieje $\varepsilon>0$ takie że jeśli $\varphi\in C_{b}(\mathbb{R}^{m})$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą mniejszą niż $\varepsilon$ , to $L$ i $L+\varphi$ są topologicznie sprzężone w $\mathbb{R}^{m}$ czyli istnieje homeomorfizm $h:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{m}$ taki że

$h\circ L=(L+\varphi)\circ h$

Szukamy homeomorfizmu $h$ w postaci $h=I+u$ , gdzie $u\in C_{b}(\mathbb{R}^{m})$ . Żądamy więc aby

$(I+u)\circ L=(L+\varphi)(I+u)$

(6.1)

czyli

$L+u\circ L=L+L\circ u+\varphi(I+u),$

$\varphi(I+u)=u\circ L-L\circ u.$

(6.2)

Sprawdzimy że równanie (6.2) ma dokładnie jedno rozwiązanie w $C_{b}(\mathbb{R}^{m})$ . Rozpatrzmy przekształcenie liniowe $\mathcal{L}:C_{b}(\mathbb{R}^{m})\to C_{b}(\mathbb{R}^{m})$ określone $\mathcal{L}(u)=u\circ L-L\circ u$ .

Lemat 6.3

Przekształcenie $\mathcal{L}$ jest odwracalne. Ponadto

$||\mathcal{L}^{{-1}}||\le\frac{||L^{{-1}}||}{1-a}.$

Możemy zapisać

$\mathcal{L}(u)=L\circ(u-L^{{-1}}\circ u\circ L),$

czyli jako złożenie dwóch operacji: najpierw $u\mapsto u-L^{{-1}}\circ u\circ L$ , potem $v\mapsto L\circ v$ . Wystarczy ozywiście sprawdzić że ta pierwsza operacja jest odwracalna, a w tym celu wystarczy sprawdzić że przekształcenie liniowe $u\mapsto L^{{-1}}\circ u\circ L$ ma normę mniejszą niż $1$ . Możemy zapisać $u=u^{s}+u^{u}$ (korzystając z rozkładu $\mathbb{R}^{m}=E^{s}\oplus E^{u}$ ), i rozłożyć w ten sposób przestrzeń $C_{b}(\mathbb{R}^{m})$ na sumę prostą $F_{1}\oplus F_{2}$ . Nasze przekształcenie zachowuje ten rozkład. Funkcja $u^{s}$ jest przekształcana na $L^{{-1}}u^{s}L$ To ostatnie przekształcenie jest odwracalne (odwrotne to oczywiście $u\mapsto L\circ u\circ L^{{-1}}$ ) i ma normę mniejszą niż $1$ . Z lematu 6.1 wynika że $\mathcal{L}_{{|F_{1}}}$ jest odwracalne. Podobnie sprawdzamy że $\mathcal{L}_{{|F_{2}}}$ jest odwracalne.

∎

Szukane $u$ jest postaci

$u=\mathcal{L}^{{-1}}(\varphi(I+u).$

Zauważmy że, przy małym $\varepsilon$ , przekształcenie $u\mapsto\mathcal{L}^{{-1}}(\varphi(I+u))$ jest kontrakcją. Tak jest bo

$||\mathcal{L}^{{-1}}\varphi(I+u_{1})-\mathcal{L}^{{-1}}\varphi(I+u_{2})||\le||\mathcal{L}^{{-1}}||\varepsilon||u_{1}-u_{2}||$

Stąd wynika że istnieje dokładnie jeden punkt stały tego przekształcenia w $C_{b}(\mathbb{R}^{m})$ . Otrzymujemy zatem $u$ spełniające (6.1). Do końca dowodu potrzeba wykazać że $I+u$ jest homeomorfizmem. Możemy w tym celu skorzystać z jedyności rozwiązania. Zauważamy (należy to sprawdzić) że w ten sam sposób jak powyżej można uzyskać również jedyne rozwiązanie nieco ogólniejszego zagadnienia:

$(L+\varphi _{1})\cdot(I+v)=(I+v)\cdot(L+\varphi _{2})$

(o ile $\varphi _{1}$ , $\varphi _{1}$ spełniają warunek Lipschitza z odpowiednio małą stałą). Zatem, jeśli $v$ spełnia

$(L)\cdot(I+v)=(I+v)\cdot(L+\varphi)$

$(I+u)(I+v)(L+\varphi)=(I+u)L(I+v)=(L+\varphi)(I+u)(I+v)$

To złożenie $(I+u)(I+v)$ jest oczywiście postaci $I$ plus jakaś funkcja z $C_{b}(\mathbb{R}^{m})$ , i - sprzęga $L+\varphi$ z samym sobą. Z jedyności rozwiązania wynika że

$(I+u)(I+v)=I$

Tak samo sprawdzamy że $(I+v)(I+u)=I$ . W takim razie $I+u$ jest homeomorfizmem.

∎

Dla zakończenia dowodu twierdzenia należy jeszcze wykazać

Lemat 6.4

Jeśli $f$ spełnia założenia twierdzenia to dla dowolnego $\varepsilon>0$ istnieje przedłużenie $f$ z pewnego otoczenia zera $U$ na całe $\mathbb{R}^{m}$ , postaci $L+\varphi$ , gdzie $\varphi\in C_{b}(\mathbb{R}^{m})$ i stała Lipschitza $\varphi$ nie przekracza $\varepsilon$ .

Dowód polega na zastosowaniu standardowej procedury: Weźmy funkcję $S$ klasy $C^{\infty}$ określoną w $(0,\infty)$ taką że $S(x)=1$ dla $x\in(0,\frac{1}{2}]$ , $S(x)=0$ dla $x\ge 1$ . Oczywiście $S$ spełna warunek Lipschitza z pewną stała $C$ . Ponieważ $Df(0)=L$ to funkcja $\psi=f-L$ spełnia $\psi(0)=0$ , $D\psi(0)=0$ ; $||D\psi(x)||<\frac{\varepsilon}{2C}$ jeśli $||x||<\delta$ i $\delta$ jest odpowiednio bliskie zera.

Wówczas funkcja

$\varphi(x)=S(\frac{||x||}{\delta})\cdot\psi(x)$

jest szukanym rozszerzeniem.

∎

Pozostaje udowodnić twierdzenie dla potoku pola wektorowego.

Wystarczy udowodnić twierdzenie dla pola wektorowego określonego w otoczeniu zera w $\mathbb{R}^{m}$ . Rozważmy więc równanie różniczkowe zadane przez

$\dot{x}=g(x)$

gdzie $g(0)=0$ i macierz $A=Dg(0)$ nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej.

Podobnie jak poprzednio, modyfikujemy funkcje $g$ do $\tilde{g}$ . Funkcja $\tilde{g}$ jest równa $g$ na pewnym otoczeniu zera i równa $A$ poza pewnym (większym) otoczeniem zera.

Niech $\varphi^{t}$ będzie potokiem pola wektorowego wyznaczonego przez funkcje $\tilde{g}$ . Nierówność Gronwalla gwarantuje że rozwiązania równania przedłużają się do nieskończoności (dlaczego?), zatem potok jest dobrze określony dla wszystkich $t$ .

Sprawdzimy (poniżej) że dyfeomorfizm $\varphi^{1}$ spełnia założenia Stwierdzenia 6.1. Istnieje więc homeomorfizm $h$ sprzęgający $\varphi^{1}$ z jego częscią liniową $L=\exp A$ ; $\varphi^{1}\circ h=h\circ\varphi^{1}$ Ten homeomorfizm sprzęga również całe potoki, tzn. $\varphi^{t}\circ h=h\circ\varphi^{t}$ . Aby to sprawdzić, zauważmy że jeśli zdefiniować $\tilde{h}=\varphi^{t}\circ h\circ e^{{-At}}$ to $\tilde{h}$ jest również sprzężeniem między $\varphi^{1}$ z jego częscią liniową $L=\exp A$ .

Istotnie:

$\varphi^{1}\circ\tilde{h}=\varphi^{1}\circ\varphi^{t}\circ h\circ e^{{-At}}=\varphi^{t}\circ\varphi^{1}\circ h\circ e^{{-At}}=\varphi^{t}\circ h\circ e^{{-At}}\circ e^{A}=\tilde{h}\circ e^{A}$

Ale $\tilde{h}$ jest, podobnie jak $h$ małym (tzn. ograniczonym) zaburzeniem identyczności (pamiętamy że teraz $t$ jest ustalone):

$\tilde{h}-I=\varphi^{t}(I+u)\circ e^{{-At}}-I=(\varphi^{t}-e^{{At}})\circ h\circ e^{{-At}}+e^{{At}}(h-I)\circ e^{{-At}}$

Pierwszy składnik jest ograniczony bo różnica w nawiasie jest równa zero dla argumentów o dużym module. Drugi składnik jest ograniczony bo $(h-I)$ jest ograniczone. Z jedyności sprzężenia w pierwszej, juz udowodnionej części twierdzenia, wynika że $\tilde{h}=h$ .

Pozostaje więc do sprawdzenia że dyfeomorfizm $\varphi^{1}$ spełnia założenia Stwierdzenia 6.1. Zapisując $\tilde{g}=A+r$ , mamy

$\frac{d}{dt}\left(e^{{-At}}\varphi^{t}(x)\right)=-Ae^{{-At}}\varphi^{t}(x)+e^{{-At}}(A+r)\varphi^{t}(x)=a^{{-At}}r\varphi^{t}(x)$

Wiec:

$e^{{-At}}\varphi^{t}(x)=\int _{{s=0}}^{t}e^{{-As}}r(\varphi^{s}(x))ds+e^{{-A\cdot 0}}\varphi^{0}(x)$

czyli

$\varphi^{t}(x)=e^{{At}}x+\int _{{s=0}}^{t}e^{{A(t-s)}}r(\varphi^{s}(x))ds$

$\varphi^{t}(x)=Lx+\tilde{r}$

gdzie $\tilde{r}=\int _{{s=0}}^{1}e^{{A(1-s)}}r(\varphi^{s}(x))ds$ . Jeśli $r$ jest lipschitzowskie z mała stała, to $\tilde{r}$ - też.

6.3. Twierdzenie Hadamarda-Perrona

Twierdzenie Grobmana -Hartmana gwarantuje istnienie lokalnych zbiorów stabilnych i niestabilnych- są to obrazy przy homeomorfizmie $h$ podprzestrzeni liniowych $E^{s}$ i $E^{u}$ . Możemy więc wywnioskować że są to topologiczne podrozmaitości. W istocie- są to podrozmaitości różniczkowalne, tej samej klasy co wyjściowe przekształcenie.

Definicja 6.6

$W^{s}_{\beta}(p)=\{ x\in B_{\beta}(p):f^{n}(x)\in B_{\beta}(p)\forall n\ge 0$

$W^{u}_{\beta}(p)=\{ x\in B_{\beta}(p):f^{n}(x)\in B_{\beta}(p)\forall n\le 0$

Zbiory te nazywamy- odpowiednio- stabilną i niestabilną lokalną rozmaitością punktu $p$ ,

Twierdzenie ponizej uzasadnia nazwę

Twierdzenie 6.2 (Twierdzenie Hadamarda-Perrona)

Niech $f$ będzie dyfeomorfizmem klasy $C^{r}$ , określonym na otoczeniu punktu $p\in\mathbb{R}^{m}$ . Zakładamy że $f(p)=p$ i że różniczka $Df(p)$ jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas, dla małego $\beta$ , zbiory $W^{s}_{\beta}(p)$ i $W^{u}_{\beta}(p)$ są różniczkowalnymi podrozmaitościami klasy $C^{r}$ . Przestrzenią styczną do $W^{s}_{\beta}(p)$ w punkcie $p$ jest $E^{s}$ , przestrzenią styczną do $W^{u}_{\beta}(p)$ w punkcie $p$ jest $E^{u}$ .

Ponadto, dla $x\in W^{s}_{\beta}(p)$ mamy $f^{n}(x)\to p$ gdy $n\to+\infty$ ; dla $x\in W^{u}_{\beta}(p)$ mamy $f^{n}(x)\to p$ gdy $n\to-\infty$

6.4. Globalne rozmaitości stabilne i niestabilne

Niech teraz $f$ będzie dyfeomorfizmem gładkiej $m$ - wymiarowej rozmaitości $M$ i niech $p$ będzie punktem stałym hiperbolicznym. Wówczas istnieją lokalne rozmaitości- stabilna i niestabilna- punktu $p$ . Są to obrazy przy parametryzacji odpowiednich rozmaitości skonstruowanych dla przedstawienia $f$ w mapie: $\tilde{f}=\circ f\circ\varphi^{{-1}}$ . Są to więc $C^{r}$ - podrozmaitości $M$ .

Definicja 6.7

Globalną rozmaitością stabilną punktu stałego hiperbolicznego nazywamy zbiór

$W^{s}(0)=\{ x\in M:f^{n}(x)\to p~~{\rm gdy}~~n\to+\infty\}$

Zatem:

$W^{s}(p)=\bigcup _{{k=0}}^{\infty}f^{{-k}}(W^{s}_{\beta}(p))$

Wykażemy

Twierdzenie 6.3

Jeśli $p$ jest hiperbolicznym punktem stałym dla dyfeomorfizmu $f$ klasy $C^{r}$ na rozmaitości $M$ , to $W^{s}(p)$ jest immersyjną podrozmaitością $M$ , klasy $C^{r}$ .

Niech $\psi$ bedzie parametryzacją otoczenia $p$ w $W^{s}_{\beta}(p)$ (już wiemy że $W^{s}_{\beta}(p)$ jest podrozmaitością). $\psi$ jest zatem określone na otwartym podzbiorze $W\subset\mathbb{R}^{s}$ ; można założyć że $\psi(0)=p$ . Różniczka $D\psi$ ma rząd $s$ . Rozpatrzmy

$g=\psi^{{-1}}\circ f\circ\psi$

(6.3)

Różniczka $Dg$ ma wszystkie wartości własne mniejsze co do modułu od $1$ (dlaczego?). Wówczas niekoniecznie norma różniczki $Dg(0)$ jest mniejsza niż $1$ (klatki Jordana!) ale można zmienić normę w $R^{s}$ , aby to uzyskać (taka zmiana normy była juz w dowodzie twierdzenia Grobmana-Hartmana). Wówczas istnieje otoczenie zera $U$ takie że dla każdego $x\in U$ $||Dg(x)||<1$ .

Ćwiczenie 6.1

Istnieje rozszerzenie przekształcenia $g$ do $\hat{g}$ określonego na całym $\mathbb{R}^{s}$ takie że $\hat{g}$ jest dyfeomorfizmem $R^{s}$ i $||D\hat{g}||<\alpha<1$ .

Używając $\hat{g}$ budujemy immersję $\psi:\mathbb{R}^{s}\to W^{s}(p)$ , to znaczy różniczkowalne przekształcenie róznowartościowe i takie że w każdym punkcie różniczka ma maksymalny, równy $s$ rząd:

$\psi(x)=f^{{-m}}\circ\psi\circ\hat{g}^{m}(x)$

Ponieważ dla każdego $x$ istnieje $m$ takie że $\hat{g}^{m}(x)\in W$ , rozszerzenie $\psi$ jest określone dla wszystkich $x$ . Poprawność definicji wynika z określenia $g$ (6.3).

∎

Zdefiniujemy teraz rozmaitości stabilne i niestabilne dla elementów krytycznych (tzn. punktów stacjonarnych i orbit zamkniętych) pól wektorowych.

Niech $X$ będzie polem klasy $C^{r}$ na gładkiej zwartej rozmaitości $M$ , niech $\varphi^{t}$ bedzie potokiem tego pola. Niech $p$ będzie hiperbolicznym punktem stacjonarnym $X$ .

Definicja 6.8

Globalną rozmaitością stabilną (niestabilną) dla $p$ nazywamy zbiór

$W_{X}^{s}(p)=\{ x:\varphi^{t}(x)\to p~~{\rm gdy}~~t\to+\infty\}$

(odpowiednio dla $W^{u}_{X}(p)$ $t\to-\infty$ ).

Twierdzenie 6.4

Przy powyższych założeniach, $W^{s}(p)$ , $W^{u}(p)$ są immersyjnymi podorozaitościami $M$ , tej samej klasy co pole wektorowe $X$ .

Dowód wynika z wykazanego już faktu dla dyfeomorfizmów i z następującego faktu (pozostawiamy udowodnienie jako zadanie)

Ćwiczenie 6.2

Przy założeniach jak powyżej- niech $f=\varphi^{1}$ będzie ”dyfeomorfizmem po czasie $1$ dla pola $X$ . (Wówczas oczywiście $f(p)=p$ i $p$ jest punktem stałym hiperbolicznym dla $f$ ). Wtedy

$W^{s}_{X}(p)=W^{s}_{f}(p)$

(i tak samo dla $W^{u})$ ); przez $W^{s}_{f}(p)$ oznaczyliśmy globalną rozmaitość stabilną punktu $p$ dla $f$ .

∎

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do teorii Układów Dynamicznych