Zagadnienia

1.1 Co to jest układ dynamiczny
1.2 Najprostsze przykłady
1.3 Topologiczna tranzytywność: przykład- przesunięcie na torusie

1. Układy dynamiczne- definicje i przykłady

1.1. Co to jest układ dynamiczny

Układ dynamiczny (topologiczny)

$X$ -przestrzeń topologiczna (najczęściej- metryczna), $\phi:X\to X$ - przekształcenie ciągłe.
Układ dynamiczny (metryczny)

$(X,\mathcal{M},\mu)$ - przestrzeń z miarą probabilistyczną.

$\phi:X\to X$ przekształcenie mierzalne zachowujące miarę $\mu$ .

Tu definicja:

Definicja 1.1

$(X,\mathcal{M},\mu)$ przestrzeń z miarą. Mówimy że przekształcenie $\phi:X\to X$ jest mierzalne jeśli dla każdego $A\in\mathcal{M}$ przeciwobraz $\phi^{{-1}}(A)$ również należy do $\sigma$ - ciała $\mathcal{M}$ .

Definicja 1.2

Przekształcenie mierzalne $\phi:X\to X$ zachowuje miarę $\mu$ jeśli dla każdego $A\in\mathcal{M}$ $\mu(\phi^{{-1}}(A))=\mu(A)$ .
Układ dynamiczny (gładki), z czasem dyskretnym

$M$ - gładka rozmaitość, $f:M\to M$ dyfeomorfizm (lub endomorfizm) klasy $C^{1}$
Układ dynamiczny (gładki) z czasem ciąglym

$M$ - gładka rozmaitość (na ogół zakłada się też zwartość), $X$ - pole wektorowe na $M$ , klasy $C^{1}$ , $\phi _{t}$ - potok pola wektorowego $X$ . Jest to rodzina dyfeomorfizmów, tzn $\varphi^{{t+s}}=\varphi^{t}\circ\varphi^{s}$

$\frac{d}{dt}\phi^{t}(x)_{{|t=t_{0}}}=X(\phi^{{t_{0}}}(x))$

Jeśli rozmaitość jest zwarta to z twierdzenia o przedłużaniu trajektorii wynika że potok pola wektorowego $X$ jest określony dla wszystkich $t\in\mathbb{R}$ . Rodzina przekształceń $\phi^{t}$ jest więc jednoparametrową grupą dyfeomorfizmów $M$ .

Definicja 1.3

Niech $T$ będzie układem dynamicznym z czasem dyskretnym. Trajektorią punktu $x$ nazywamy ciąg nieskończony $x,Tx,\dots T^{n}x,\dots$ .

1.2. Najprostsze przykłady

Przykład 1.1 (Obrót na okręgu)

Niech $\mathbb{S}^{1}=\{ z:|z|=1\}$ ; określamy przekształacenie

$T\alpha(z)=e^{{2\pi i\alpha}}z$

To przekształcenie zachowuje oczywiście miarę Lebesgue'a na okręgu. Zauważmy że jeśli $\alpha$ jest wymierne- każda trajektoria jest okresowa, a gdy $\alpha$ jest niewymierne- każda trajektoria jest gęsta (dlaczego?).

Przykład 1.2 (Przesunięcie na torusie)

Torus możemy utożsamiać z przestrzenią ilorazową $\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}$ ; gdzie relacja utożsamienia jest następująca:

$(x_{1},y_{1})\approx(x_{2},y_{2})\iff(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})\in\mathbb{Z}^{2}$

Zatem - torus można też utożsamiać z produktem dwóch okręgów $\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{S}^{1}$ . Na płaszczyźnie rozważamy przekształcenie $(x,y)\mapsto(x+a,y+b)$ . Wyznacza ono przekształcenie torusa

$\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{S}^{1}\ni(z_{1},z_{2})\mapsto w_{1}z_{1},w_{2}z_{2}$

gdzie $w_{1}=e^{{2\pi ia}},w_{2}=e^{{2\pi ib}}$ .

Zauważmy że jeśli $w_{1},w_{2}$ są pierwiastkami z jedynki (rówmoważnie- jeśli $a,b$ są wymierne) to każda trajektoria jest okresowa.

Załóżmy że $a,b$ są niezależne nad pierścieniem $\mathbb{Z}$ , to znaczy $na+mb\in\mathbb{Z}$ ma tylko jedno rozwiązanie w liczbach całkowitych: $n=m=0$ . Poniżej sprawdzimy że wtedy każda trajektoria jest gęsta w $\mathbb{T}^{2}$ .

Natomiast jeśli $a,b$ są zależne nad $\mathbb{Z}$ , ale przynajmniej jedna z tych liczb jest niewymierna, to mamy jeszcze inna sytuację (niewidoczną w przypadku jednowymiarowym): niech, np $a\notin Q,b=0$ . Wówczas torus jest sumą niezmienniczych okręgów; każda trajektoria jest gęsta na ”swoim” okręgu, ale żadna trajektoria nie jest gęsta na torusie.

W następnym rozdziale zbadamy ogólną sytuację przesunięcia na $n$ -wymiarowym torusie. Wprowadzimy tez ważne w Układach Dynamicznych pojęcie topologicznej tranzytywności.

Przykład 1.3 (Układ z ciągłym czasem na torusie)

Określamy jednoparametrową grupę przekształceń torusa:

$\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{S}^{1}\ni(z_{1},z_{2})\mapsto(e^{{2\pi i\alpha t}}z_{1},e^{{2\pi i\beta t}}z_{2})$

Te przekształcenia w $\mathbb{R}^{2}$ przed utożsamieniem, mają postać

$(x,y)\mapsto x+\alpha t,y+\beta t.$

Jest to więc potok pola wektorowego (równania różniczkowego) na płaszczyźnie:

$\dot{x}=a,\dot{y}=b$

Przykład 1.4 (Układ z ciągłym czasem na płaszczyźnie)

$\dot{x}=-y+\mu x(1-x^{2}-y^{2})$

$\dot{y}=x+\mu y(1-x^{2}-y^{2})$

Ten układ we współrzędnych biegunowych ma postać

$\dot{\theta}=1$

$\dot{2}=\mu r(1-r^{2})$

Zatem - dla każdego punktu $(x,y)$ , poza stacjonarnym punktem $(0,0)$ , zbiór punktów granicznych trajektorii jest okręgiem $|z|=1$ , ten okrąg jest trajektorią zamkniętą.

Przykład 1.5 (Układ z ciągłym czasem na płaszczyźnie)

$\dot{x}=y$

$\dot{y}=x-x^{3}-\mu y(2y^{2}-2x^{2}+x^{4})$

Jest to zaburzenie układu

$\dot{x}=y$

$\dot{y}=x-x^{3}$

Łatwo sprawdzić że dla tego drugiego układu funkcja $H(x,y)=2y^{2}-2x^{2}+x^{4}$ jest całką pierwszą. Zatem - trajektorie są zawarte w poziomicach funkcji $H$ .

Ćwiczenie 1.1

Naszkicować poziomice $H$ . Następnie, badając znak pochodnej $\frac{d}{dt}H(x(t),y(t))$ dla wyjściowego układu, naszkicować jego trajektorie. Zbadać punkty skupienia trajektorii.

1.3. Topologiczna tranzytywność: przykład- przesunięcie na torusie

Definicja 1.4

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną zwartą, $T:X\to X$ - przekształceniem ciągłym. Mówimy że $T$ jest topologicznie tranzytywne jeśli dla dowolnych otwartych podzbiorów $U,V\in X$ istnieje $n\in\mathbb{N}$ takie że

$T^{n}(U)\cap V\neq\emptyset$

(1.1)

Wykażemy

Stwierdzenie 1.1

Niech $X$ będzie metryczną przestrzenią zwartą i ośrodkową. Niech $T:X\to X$ będzie przekształceniem ciągłym. Wówczas $T$ jest topologicznie tranzytywne wtedy i tylko wtedy gdy istnieje $x\in X$ takie że trajektoria $x$ jest gęsta w $X$ .

Jeśli istnieje gęsta trajektoria to istnieją $k,l>k$ takie że $T^{k}(x)\in U$ , $T^{l}(x)\in V$ . Zatem $T^{{(l-k)}}(U)\cap V\neq\emptyset$ . Aby dowieść drugą implikację, ustalmy przeliczalną bazę topologii $U_{n}$ . Ustalamy jeden zbiór z tej rodziny $U_{{n_{0}}}$ . Rozpatrzmy teraz zbiór $D_{{n_{0}}}$ złożony z punktów, których trajektorie omijają $U_{{n_{0}}}$ :

$D_{{n_{0}}}=\{ x\in X:\forall n\ge 0~~~T^{n}x\notin U_{{n_{0}}}\}.$

Ten zbiór jest domknięty i brzegowy (ta druga własność wynika stąd że założyliśmy (1.1)). Z Twierdzenia Baire'a (zauważmy że przestrzeń $X$ jest zupełna) wynika że zbiór

$D=\bigcup _{n}D_{n}$

jest brzegowy, i -w szczególności- niepusty. Każdy punkt $x\in X\setminus D$ ma gęstą trajektorię.

∎

Zbadamy teraz topologiczną tranzytywność przesunięć na $n$ -wymiarowych torusach. Oczywiście, przesunięcie na $\mathbb{T}^{n}=\mathbb{S}^{1}\times\dots\times\mathbb{S}^{1}$ jest dane wzorem

$T(z_{1},z_{2}\dots z_{n})=(\exp(2\pi ia_{1})z_{1},\exp(2\pi ia_{2})z_{2}\dots\exp(2\pi ia_{n})z_{n}).$

(1.2)

Mamy

Stwierdzenie 1.2

Niech $T$ będzie przesunięciem na torusie $T^{n}$ . Wówczas $T$ jest topologicznie tranzytywne wtedy i tylko wtedy gdy $a_{1},a_{2},\dots a_{n}$ są niezależne nad $\mathbb{Z}$ , tj. jeśli dla pewnych $k_{1},k_{2}\dots k_{n}\in\mathbb{Z}$

$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\dots k_{n}a_{n}\in\mathbb{Z}$

to $k_{1}=k_{2}=\dots=0$ .

Załóżmy że współrzedne przesunięcia $(a_{1},\dots a_{n}$ są zależne; $k_{1}a_{1}+\dots+k_{n}a_{n}\in\mathbb{Z}$ . Rozważmy funkcję

$\phi(z_{1},\dots z_{n})=z_{1}^{{k_{1}}}\dots z_{n}^{{k_{n}}}.$

Wówczas $\phi\circ T=\phi$ (mówimy że funkcja $\phi$ jest $T$ - niezmiennicza). Rozważmy $\psi={\rm re}\phi$ ; ta funkcja też jest $t$ - niezmiennicza. Widzimy że dla pewnego $t\in\mathbb{R}$ zbiory $U_{t}=\{ x:\psi(x)<t\}$ i $V_{t}=\{ x:\psi(x)>t\}$ są niepuste. Ponadto, są one otwarte i $T$ -niezmiennicze: $T(U_{t})=U_{t}$ , $T(V_{t})=V_{t}$ . Przeczy to tranzytywności.

Załóżmy teraz że $T$ nie jest tranzytywne, czyli dla pewnych otwartych $U,V$ i dla wszystkich naturalnych $n$ $T^{n}(U)\cap V=\emptyset$ . Biorąc $\tilde{U}=\bigcup _{{n=-\infty}}^{\infty}T^{n}(U)$ i $\tilde{V}=\bigcup _{{n=-\infty}}^{\infty}T^{n}(V)$ widzimy że są to dwa otwarte, rozłączne, $T$ - niezmiennicze podzbiory.

Rozważmy funkcję $g=1_{{\tilde{U}}}$ - czyli funkcję charakterystyczną $\tilde{U}$

Chcemy użyć rozwinięcia Fouriera tej funkcji, dokładniej- mamy

Stwierdzenie 1.3

W przestrzeni $L^{2}(T^{n})$ mamy ortonormalną bazę daną przez funkcje postaci

$z_{1}^{{k_{1}}}z_{2}^{{k_{2}}}\dots z_{n}^{{k_{n}}},$

$(k_{1},k_{2}\dots k_{n})\in\mathbb{Z}^{n}$ .

Korzystając z tego stwierdzenia, możemy napisać

$g=\sum _{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}b_{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}z_{1}^{{k_{1}}}z_{2}^{{k_{2}}}\dots z_{n}^{{k_{n}}}$

i rozkład ten jest jednoznaczny.

Wówczas

$g\circ T=\sum _{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}b_{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}z_{1}^{{k_{1}}}z_{2}^{{k_{2}}}\dots z_{n}^{{k_{n}}}\exp(2\pi ik_{1}a_{1})\exp(2\pi ik_{2}a_{2})\dots\exp(2\pi ik_{n}a_{n})$

Z jednoznaczności rozwinięcia Fouriera wynika więc że

$b_{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}=b_{{(k_{1},k_{2}\dots k_{n})}}\cdot\exp(2\pi ia_{1})\exp(2\pi ia_{2})\dots\exp(2\pi ia_{n})$

Ponieważ funkcja $g$ nie jest stała, jej rozwinięcie ma więcej niż jeden składnik. Wynika stąd że dla pewnych $k_{1},\dots k_{n}$ (nie wszystkich równych zero) mamy

$k_{1}a_{1}+\dots k_{n}a_{n}\in\mathbb{Z}.$

∎

Zauważmy jeszcze

Uwaga 1.1

Dla przesunęcia na torusie mamy równowżność: pewna trajektoria jest gęsta jest równoważne temu że każda trajektoria jest gęsta. Wynika to stąd że trajektorie dwóch różnych punktów różnią sie o przesunięcie (mnożenie przez element grupy $\mathbb{T}^{n}$ )

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do teorii Układów Dynamicznych