Zagadnienia

13.1 Geometryczny dowód ergodyczności dla prostego układu hiperbolicznego
13.2 Potok geodezyjny na rozmaitości o stałej ujemnej krzywiźnie- ergodyczność
13.3 Potoki geodezyjne na wybranych powierzchniach; przykłady całkowalnych potoków geodezyjnych

13. Zbiory hiperboliczne i ergodyczność

13.1. Geometryczny dowód ergodyczności dla prostego układu hiperbolicznego

Twierdzenie 13.1

Niech $T$ będzie hiperbolicznym automorfizmem torusa $T^{m}$ . Jak wiemy, $T$ zachowuje miarę Lebesgue'a. Posługując się stukturą hiperboliczną (cały torus jest dla tego układu zbiorem hiperbolicznym) wykażemy że miara Lebesgue'a jest ergodyczna.

Niech $g$ będzie funkcją próbną; na początek zakłądamy że $g$ jest ciągła.

Rozpatrzmy funkcje

$g^{+}(x)=\lim _{{n\to\infty}}\frac{1}{n}\sum _{{i=0}}^{{n-1}}g\circ T^{i}(x)$

oraz

$g^{-}(x)=\lim _{{n\to\infty}}\frac{1}{n}\sum _{{i=0}}^{{n-1}}g\circ T^{{-i}}(x)$

Z twierdzenia Birkhoffa wynika że

$G=\{ x:g^{+}(x),g^{-}(x)~~{\rm istnieją~~i~~są~~równe}~~\}$

ma pełną miarę.

Ponieważ $T$ jest hiperboliczne, mamy niezmiennicze globalne foliacje stabilną i niestabilną. Ustalmy $x_{0}\in\mathbb{T}^{2}$ i kawałek rozmaitości stabilnej $I^{s}=W^{s}_{r}(x_{0})$ , a następnie- zbiór

$R=\bigcup _{{y\in I^{s}}}W^{u}_{r}(y).$

Dla małego $r$ ten zbiór jest równoległościanem.

Punkt początkowy $x_{0}$ musimy wybrać tak, żeby

$G\cap W^{s}_{r}(x_{0})$ było podzbiorem pełnej miary w $W^{s}_{r}(x_{0})$ . Istnienie wielu takich $x_{0}$ wynika z tw Fubiniego.

Wówczas zbiór

$H=\bigcup _{{y\in G\cap I^{s}}}W^{u}_{r}(y)$

jest pełnej miary w $R$ .

Weźmy $z_{1},z_{2}\in H$ . Istnieją więc $y_{1}\in I^{s}\cap W^{u}_{r}(z_{1})$ oraz $y_{2}\in I^{s}\cap W^{u}_{r}(z_{2})$ . Mamy wówczas

$g^{-}(z_{1})=g^{-}(y_{1})$ bo $z_{1},y_{1}$ leżą w tym samym włóknie niestabilnym więc zbliżają się przy działaniu $T^{{-n}}$ .
$g^{-}(y_{1})=g^{+}(y_{1})$
$g^{+}(y_{1})=g^{+}(y_{2})$ bo $y_{1},y_{2}$ leżą w tym samym włóknie stabilnym.
$g^{+}(y_{2})=g^{-}(y_{2})$
$g^{-}(z_{2})=g^{-}(y_{2})$ bo $z_{2},y_{2}$ leżą w tym samym włóknie niestabilnym

Ponieważ całą naszą rozmaitość możemy pokryć przez skończenie wiele takich ”prostokątów” $R$ , otrzymujemy wniosek: $g^{-}$ i $g^{+}$ są stałe prawie wszędzie, i równe $\int gd{\rm leb}$ .

W następnym kroku dowodu pokażemy że to samo jest prawdą jeśli $g$ zastąpimy dowolną funkcją $h\in L^{1}$ . Niech $h\in L^{1}$ . Dla dowolnego $\varepsilon>0$ istnieje funkcja $g$ ciągła taka że $||g-h||_{{L^{1}}}<\varepsilon$ .

Z twierdzenia ergodycznego wynika że prawie wszędzie istnieje, niekoniecznie stała granica

$h_{+}=\lim _{{n\to\infty}}\sum _{{i=0}}^{\infty}h\circ T^{i}=\lim _{{n\to\infty}}\frac{1}{n}\sum(h-g)\circ T^{i}+\frac{1}{n}\sum g\circ T^{i}$

Wiemy już że druga granica jest równa stałej $\int g$ . Orzymujemy stąd wniosek- funkcja graniczna $h_{+}$ nie może różnić się bardzo od stałej. Dokładniej- mamy:

$h_{+}-\int g=\lim _{{n\to\infty}}\frac{1}{n}\sum(h-g)\circ T^{i}$

Oznaczmy funkcję $k_{n}=\frac{1}{n}\sum(h-g)\circ T^{i}$ . Z twierdzenia ergodycznego wynika że $k_{n}\to k=h_{+}-\int g$ prawie wszędzie i w $L^{1}$ . Zatem

$\int\left(|h_{+}-\int g|\right)=\int|\lim k_{n}|=||k||_{{L^{1}}}$

Normę $||k||_{{L^{1}}}$ można zaś oszacować:

$||k_{n}||_{{L^{1}}}=\int\left|\frac{1}{n}\sum(h-g)\circ T^{i}\right|\le\frac{1}{n}\sum\int|(h-g)|\circ T^{i}=\int|h-g|$

Zatem

$||k||_{{L^{1}}}=\lim||k_{n}||_{{L^{1}}}\le||h-g||_{{L^{1}}}.$

Wynika stąd więc że

$||h_{+}-\int g||_{{L^{1}}}\le||h-g||_{{L^{1}}}<\varepsilon.$

Zatem $h_{+}$ różni się od stałej $\int h$ o mniej niż $2\varepsilon$ . Wobec dowolności $\varepsilon$ , dowodzi to że $h_{+}$ jest stałe prawie wszędzie. Dowód ergodyczności przekształcenia $T$ względem niezmienniczej miary Lebesgue'a jest więc zakończony.

∎

Uwaga 13.1

Ergodyczność tego konkretnego przekształcenia można wykazać również inaczej (zadanie). Na tym prostym przykładzie prześledziliśmy jednak dość ogólną metodę dowodzenia ergodyczności.

Uwaga 13.2

Widzimy że dowód nie wykorzystywał szczególnych własności przekształcenia $T$ ; wykorzystywał natomiast- strukturę hiperboliczną, czyli istnienie regularnych foliacji stabilnej i niestabilnej i zbudowanie z nich ”prostokątów”. Ten ogólny schemat dowodzenia ergodyczności przy istniejącej strukturze hiperbolicznej pochodzi od Hopfa. Poniżej sprawdzimy w tej sposób ergodyczność potoku geodezyjnego (oczywiście- nie kazdego!).

13.2. Potok geodezyjny na rozmaitości o stałej ujemnej krzywiźnie- ergodyczność

. W wykładzie 11 wykazaliśmy że potok geodezyjny na wiązce sfer $SM\subset TM$ zachowuje naturalną gładką miarę- miarę Liouville'a. W wykładzie 12 wykazaliśmy że potok geodezyjny na powierzchni o stałej ujemniej krzywiźnie jest potokiem Anosowa. Wykorzystamy teraz te fakty i, stosując argument Hopfa wykażemy ważne

Twierdzenie 13.2

Niech $\Gamma$ będzie dyskretną grupą zachowujacych orientację izometrii $\mathbb{H}^{2}$ , działającą bez punktów stałych. Załóżmy też że rozmaitość $M=\mathbb{H}^{2}\backslash\Gamma$ jest zwarta. Wówczas potok geodezyjny na $M$ jest ergodyczny względem miary Liouville'a (oznaczmy ją $\mu$ ) na $SM$ .

Podobnie jak w przypadku opisanym w poprzednim rozdziale, wystarczy wykazać że jeśli $g$ jest funkcją ciągła w $SM$ to średnia ergodyczna

$\lim _{{T\to\infty}}\frac{1}{T}\int _{{t=0}}^{T}g(\varphi^{t}(x))$

(13.1)

jest stała prawie wszędzie. Ponadto, wystarczy wykazać że dla istnieje pokrycie $SM$ zbiorami otwartymi (tak jak poprzednio- prostokątami), na których ta granica jest stała prawie wszędzie.

Widzimy więc że jest to ten sam dowód co poprzednio; należy tylko wskazać pokrycie $SM$ zbiorami otwartymi (odpowiednikami wcześniejszych ”prostokątów”), dla których będziemy umieli udowodnić że odpowiednia granica jest stała prawie wszędzie. Weźmy więc punkt $x=(p,v)\in S\mathbb{H}^{2}$ . Załóżmy że w punkcie $x$ istnieje granica 13.1 Z poprzedniego wykłądu wiemy jak wygląda rozmaitość stabilna punktu $(p,v)$ ; jest to rzut na $M$ odpowiedniego horocyklu (”wchodzącego”) - razem z jego wektorami normalnymi. Punkt $x=(p,v)$ należy oczywiscie do tego horocyklu (a raczej: jego podniesienia w $SM$ ). Dla wszystkich punktów $y$ z rozmaitości stabilnej $x$ granica 13.1 istnieje i jest równa granicy policzonej w punkcie $x$ . Słaba rozmaitość stabilna to suma wchodzących horocykli, wypuszczonych z wszystkich punktów $(p^{{\prime}},v^{{\prime}})$ leżących na geodezyjnej wyznaczonej przez $x$ .

Zauważmy że granica 13.1 jest $varphi^{t}$ - niezmiennicza, więc istnieje i jest równa granicy policzonej w $x$ , również we wszystkich punktach $y$ należących do słabej rozmaitości stabilnej $x$ .

Podobnie jak poprzednio, wykazujemy że jeśli $z_{1}=(q_{1},w_{1}),z_{2}=(q_{2},w_{2})$ są blisko $x=(p,v)$ to można je połączyć ”łancuszkiem ” rozmaitości stabilnych i niestabilnych i wykazać istnienie i równość granic 13.1 w punktach $z_{1}$ i $z_{2}$ .

rysunek

∎

13.3. Potoki geodezyjne na wybranych powierzchniach; przykłady całkowalnych potoków geodezyjnych

W tym rozdziale opiszemy potoki na kilku naturalnych (dobrze znanych, i zanurzalnych izometrycznie w $\mathbb{R}^{3}$ ) powierzchniach. Ich własności są zupełnie inne niż opisane w poprzednim rozdziale własności potoków na powierzchniach o ujemniej krzywiźnie.

13.3.1. Potok geodezyjny na sferze

Stwierdzenie 13.1

Geodezyjne na sferze $\mathbb{S}^{2}$ są kołami wielkimi. Potok geodezyjny na wiązce sfer stycznych do $\mathbb{S}^{2}$ to ruch ze stała (co do długości wektora) prędkością po kole wielkim. Zatem- każda trajektoria jest okresowa. Potok geodezyjny nie jest więc oczywiście ergodyczny.

Niech $\gamma$ będzie dowolną geodezyjną. Ustalmy punkt $p\in\gamma$ i koło wielkie $c$ , które zawiera punkt $p$ i dla którego jednostkowy wektor styczny w punkcie $p$ pokrywa sie z $\dot{\gamma}(p)$ . Rozważmy symetrię względem płaszczyzny wyznaczonej przez koło wielkie $c$ . Jest to oczywiście, po obcięciu do sfery, izometria w metryce sferycznej. Symetria ta zachowuje koło wielkie $c$ , a geodezyjną $\gamma(t)$ przekształca na geodezyjną, przechodzącą przez ten sam punkt $p$ i styczną w punkcie $p$ do tego samego co $\gamma$ wektora. Stąd wynika ( z jednoznacznego wyznaczenia geodezyjnej przez punkt i wektor styczny) że obrazem $\gamma(t)$ przy symetrii jest $\gamma(t)$ , z zachowaniem parametryzacji, więc krzywa $\gamma(t)$ jest zawarta w zbiorze punktów stałych naszej symetrii. Zatem- jest to koło wielkie, po którym ruch odbywa się ze stała prędkością.

∎

13.3.2. Potok geodezyjny na torusie $\mathbb{T}^{2}$

Torus utożsamiamy z przestrzenią ilorazową:

$\mathbb{T}^{2}=\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}$

$\mathbb{Z}^{2}$ działa na $\mathbb{T}^{2}$ jako grupa izometrii przestrzeni euklidesowej $(x,y)\mapsto(x+n,y+m)$ , gdzie $n,m\in\mathbb{Z}$ . Możemy zatem wprowadzić indukowaną metrykę na torusie; jest to jedyna metryka przy której rzutowanie $\pi:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{T}^{2}$ jest lokalną izometrią.

Ćwiczenie 13.1

Torus jest ”lepiej znany” jako obiekt (powierzchnia opony) zanurzony w $\mathbb{R}^{3}$ . Na takim zanurzonym torusie mamy metrykę Riemannowską dziedziczoną z $\mathbb{R}^{3}$ (długość wektora stycznego to długość zmierzona w $\mathbb{R}^{3}$ , długość drogi na torusie też mierzymy licząc po prostu długość w $\mathbb{R}^{3}$ . Wyjaśnić w jaki sposób torus -przestrzeń ilorazową utożsamiamy z torusem- ”oponą” i jak mają się do siebie te dwie, róznie wprowadzone, metryki.

Stwierdzenie 13.2

Geodezyjne na torusie pokrywają się z rzutami (przy kanonicznym rzutowaniu $\pi:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{T}^{2}$ ) prostych w $\mathbb{R}^{2}$ .

Najpierw sprawdzamy że geodezyjnymi na płaszczyźnie są wszystkie proste. Na przykład- tak samo jak dla geodezyjnych na sferze (należy użyć symetrii osiowej zamiast symetrii względem płaszczyzny). Ponieważ rzutowanie jest lokalną izometrią, obrazami (i przeciwobrazami)geodezyjnych są geodezyjne.

∎

Wniosek 13.1

Potok geodezyjny na wiązce sfer $S\mathbb{T}^{2}$ nie jest ergodyczny. Istotnie, możemy podzielić wiązkę $S\mathbb{T}^{2}$ na dwa niezmiennicze podozbiory dodatniej miary: Rozatrzmy w $S\mathbb{R}^{2}$ zbiór $A=\{(x,v):x\in\mathbb{R}^{2},{\rm re}v\ge 0$ i $A^{{\prime}}=\{(x,v):x\in\mathbb{R}^{2},{\rm re}v<0$ . Zbiory $A$ i $A^{{\prime}}$ są niezmiennicze przy potoku geodezyjnym w $\mathbb{R}^{2}$ , zatem $\pi(A)$ i $\pi(A^{{\prime}})$ są niezmiennicze przy potoku geodezyjnym na $\mathbb{T}^{2}$ .