Ograniczymy się do zdefiniowania entropii topologicznej dla ciągłego przekształcenia zwartej przestrzeni metrycznej.
Zatem- jest przestrzenią zwartą metryczną z metryką
,
- ciągłym przekształceniem.
Odległość między punktami
to
![]() |
Mówimy że punkty są
- rozdzielone, jeśli
. Zbiór punktów
- rozdzielonych to zbiór w którym każde dwa różne elementy są
- rozdzielone.
Mówimy że punkty stanowią
-sieć jeśli dla każdego
istnieje
takie że
.
Oznaczmy przez maksymalną liczebność zbioru
- rozdzielonego, a przez
- minimalną liczebność
-sieci.
Entropia topologiczna jest to
![]() |
Ta definicja wymaga uzasadnienia: po pierwsze- w każdej z tych dwóch formuł trzeba sprawdzić czy istnieje granica , po drugie- że obie formuły prowadzą do tego samego wyniku.
Sprawdzenie jest zawarte w Stwierdzeniu - poniżej. Dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.
Mamy:
![]() |
![]() |
Ponadto, dla mamy
,
Niech będzie izometrią, na przykład- obrotem na okręgu. Wówczas
. Istotnie, ustalmy
i jakąś
sieć (w naszej notacji jest to
- sieć
o liczebości
. Ponieważ
jest izometrią, ten sam zbiór
jest też
- siecią. Zatem liczebność minimalnej
sieci nie rośnie z
. Stąd
.
Sprawdzić że entropia tego przekształcenie jest równa . Wskazówka: dla ustalonego
możemy podzielić okrąg na
łuków, z których każdy jest przekształcany (rozciągany) przez
na cały okrąg. W każdym takim łuku wybieramy
równo odległych punktów. Te wszystkie punkty (jest ich razem
) stanowią zbiór
-rozdzielony.
Niech będzie Riemannowską zwartą rozmaitościa, a
- rozszerzającym przekształceniem, tzn istnieje
takie że
. Uzasadnić że wówczas
jest nakryciem; niech
będzie stopniem tego nakrycia. Wykazać że
.
Niech będzie hiperbolicznym automorfizmem torusa
. Wówczas macierz
reprezentująca
ma dwie rzeczywiste wartości własne
. Wykazać że
.
Jeśli są przestrzeniami metrycznymi zwartymi,
,
są sprzężone topologicznie, to
.
Ustalmy . Istnieje
takie że
.
Wynika stąd że jeśli
jest zbiorem
rozdzielonym dla
, to
jest zbiorem
- rozdzielonym dla
. Zatem
![]() |
Stąd już łatwo wynika że .
Następujące dwa twierdzenia podajemy bez dowodu:
Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną,
- ciągłym przekształceniem,
- miarą borelowską probabilistyczną na
, niezmienniczą dla
. Wówczas:
![]() |
Wzmocnieniem jest silniejsze twierdzenie
Przy poprzednich założeniach, mamy
![]() |
gdzie supremum jest wzięte po wszystkich niezmienniczych borelowskich miarach probabilistycznych.
Niech będzie zwartą, zorientowaną rozmaitością gładką,
- gładkim przekształceniem.
Na
mamy więc naturalną miarę Lebesge'a.
Niech
będzie wartością regularną (tw Sarda gwarantuje że jest to zbiór pełnej miary).
Stopniem przekształcenia
w
nazywamy
![]() |
gdzie jest równe
lub
w zależności od tego czy
zmienia czy zachowuje orientację.
Można sprawdzić że w istocie, stopień nie zależy od wyboru punktu
- wartości regularnej.
Zatem- możemy zdefiniowac
- jako wspólną wartość
dla wszystkich wartości regularnych
.
Jeśli jest gładką orientowalną rozmaitością, a
- przekzstałceniem klasy
to
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.