Mówiąc nieformalnie, przekształcenie (lub pole wektorowe) chcemy nazwać strukturalnie stabilnym- w jakiejś klasie, jeśli po małym zaburzeniu - w obrębie tej klasy- przekształcenie (pole wektorowe) zachowa swoje własności, czyli dynamika nie zmieni się.
Poniżej formalizujemy tę definicję. Najpierw musimy wprowadzić jakieś formalne pojęcie odległości w przestrzeni przekształceń, dyfeomorfizmów i pól wektorowych.
O wszystkich rozmaitościach które tu rozpatrujemy, będziemy zakładali że są klasy i że są zanurzone w
(dla pewnego
).
Niech
będzie taką rozmaitościa,
, załóżmy dodatkowo że
jest zwarta.
Istnieje skończony atlas- rodzina map
(można oczywiście założyć że
jest wspólną dziedziną dla wszystkich map z atlasu. Wówczas, dla pewnego
obrazy mniejszej kuli
przy
też pokrywają
.
Jesli
to możemy określić odległość
i
:
![]() |
Sprawdzenie następującego faktu pozostawiamy jako zadanie:
Tak zdefiniowana metryka zależy oczywiście od wyboru atlasu, ale topologia wyznaczona przez te metrykę nie zależy od atlasu, ani od wyboru .
Ponieważ każde pole wektorowe na rozmaitości zanurzonej w
można traktować jak funkcję określoną na rozmaitości, o wartościach w
, w ten sposób mamy zdefiniowaną topologię
w przestrzeni pól wektorowych klasy
na
.
Podobnie, jeśli jest rozmaitością gładką zanurzoną w
, to mamy w ten sposób określoną topologię
w przestrzeni przekształceń
.
Będziemy dalej rozpatrywali dyfeomorfizmy klasy ,
.
W przestrzeni wszystkich przekształceń klasy
dyfeomorfizmy stanowią otwarty podzbiór.
Niech będzie gładką zwartą rozmaitością.
Mówimy że dwa pola wektorowe
,
na rozmaitości
są topologicznie równoważne jeśli istnieje homeomorfizm
przekształcający trajektorie (krzywe całkowe) pola
na trajektorie pola
, z zachowaniem orientacji (ale niekoniecznie czasu!)
Pola ,
na
są topologicznie sprzężone jeśli istnieje homeomorfizm
sprzęgający potoki tych pól. Dokładniej- niech
będzie potokiem pola
,
-potokiem pola
. Sprzężenie oznacza że
![]() |
Jeśli jest topologiczną równoważnością między polami
i
to
jest punktem stacjonarnym pola
jest punktem stacjonarnym pola
.
trajektoria pola przechodząca przez punkt
jest zamknięta wtedy i tylko wtedy gdy trajektoria pola
przechodząca przez punkt
jest zamknięta.
Zbudować sprzężenie topologiczne między polami na płaszczyźnie:
![]() |
![]() |
Pole wektorowe na płaszczyźnie
![]() |
nie jest sprzężone i nie jest równowazne żadnemu z pól .
Niech będzie gładką rozmaitością,
- dyfeomorfizmy. Mówimy że
i
są topologicznie sprzężone jeśli istnieje homeomorfizm
taki że
.
Niech będzie zwartą rozmaitością;
- polem wektorowym klasy
na
. Mówimy że
jest
- strukturalnie stabilne jeśli istnienie otoczenie
pola
w
topologii w przestrzeni pól wektorowych na
takie że każde pole wektorowe
jest topologicznie równoważne polu
.
Niech będzie zwartą rozmaitością,
dyfeomorfizmem klasy
. Mówimy że
jest strukturalnie stabilne jeśli istnieje otoczenie
w
takie że każdy dyfeomorfizm
jest topologicznie sprzężony z
.
W tym rozdziale podamy pełną charakteryzację - strukturalnie stabilnych dyfeomorfizmów okręgu.
Dyfeomorfizm klasy
zachowujacy orientację
nazywamy dyfeomorfizmem Morse'a- Smale'a jeśli
oraz dla każdego
punktu okresowego
mamy
(gdzie
jest okresem, wspólnym dla wszystkich punktów okresowych).
(Punkt okresowy o tej własności nazywamy niezdegenerowanym.)
Dyfeomorfizm jest strukturalnie stabilny wtedy i tylko wtedy gdy jest dyfeomorfizmem Morse'a-Smale'a.
Dyfeomorfizmy Morse'a Smale'a stanowią gęsty podzbiór przestrzeni dyfeomorfizmów
w
metryce.
Najpierw wykażemy że dyfeomorfizm Morse'a-Smale'a jest strukturalnie stabilny. Niech .
Przechodząc do iteracji
mamy
. Ponieważ wszystkie punkty stałę dla
są niezdegenerowane, jest ich skonczenie wiele. Oznaczmy je
. Oczywiście istnieje otoczenie punktów
,
takie ze dla
, zas dla
. Stąd widac że jeśli zaburzyć
do
na tyle mało w
że
- odpowiednie podniesienie
jest
blisko
,to
ma tyle samo punktów stałych co
i są one tego samego typu (zródła lub ścieki).
Okrąg jest więc podzielony przez punkty okresowe
na łuki miedzy odpowiadajacymi sobie wzajemnie punktami okresowymi (dla
i tak samo dla
).
Wybierzmy jeden z tych łuków
i odpowiadający mu łuk
Pokażemy jak zbudowac homeomorfizm sprzęgający
i
na odcinkach
i
.
(tu rysunek)
Wybieramy dowolny punkt i dowolny punkt
.
Przekształcamy odcinek
na
jakimkolwiek homeomorfizmem
.
Ponieważ
, można przedłużyc
na cały odcinek
kładąc
. Mamy więc na odcinku
![]() |
(3.1) |
Przedłużamy teraz sprzężenie na całą orbitę odcinka
tak aby otrzymać sprzężenie pomiędzy
i
. Jest tylko jeden sposób na przedłużenie
: trzeba położyć
![]() |
Sprawdzić, używając równości (3.1) że tak zdefiniowane rozszerzenie rzeczywiscie jest sprzężeniem pomiędzy
i
.
Zatem wykazaliśmy strukturalną stabilność dyfeomorfizmów Morse'a-Smale'a.
Pokażemy teraz że jesli jest dyfeomorfizmem klasy
i
to można
zaburzyć dowolnie mało w metryce
tak że zmieni się liczba obrotu.
Uzyjemy sprzegającego z obrotem o kąt homeomorfizmu, danego przez twierdzenie Denjoy.
. Rozpatrujemy teraz rodzinę dyfeomorfizmów
![]() |
(w poniesieniu odpowiada to wzięciu funkcji ).
Zauważmy że
jest przekształceniem okręgu o dodatniej liczbie obrotu ( w podniesieniu mamy
![]() |
).
Zatem ma większa liczbę obrotu niż
. Stad i samo
ma większą niż
liczbę obrotu.
Skorzystamy z następującego faktu:
Każdy dyfeomorfizm okręgu klasy można przybliżyć w metryce
dyfeomorfizmami klasy
(a nawet
).
Z poprzedniego stwierdzenia wynika od razu ze każdy dyfeomorfizm klasy ktory jest
strukturalnie stabilny musi mieć wymierną liczbę obrotu.
Wykażemy teraz że dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a klasy stanowią gęsty podzbiór w metryce
w przestrzeni
dyfeomorfizmów okręgu.
Weźmy dowolny dyfeomorfizm klasy
. W jego dowolnie małym otoczeniu możemy znaleźć dyfeomorfizm
klasy
. Jeśli ten dyfeomorfizm ma wymierną liczbe obrotu, ustalamy go. Jeśli nie- to zaburzamy
w taki sam sposób jak powyżej, tworząc rodzinę
. Ponieważ, jak widzieliśmy, w ten sposób można zwiększyć liczbę obrotu i ponieważ liczba obrotu dla
jest ciąglą funkcją
, istnieje dowolnie małe
takie że
ma wymierną liczbę obrotu. Zatem- w dowolnie małym
otoczeniu funkcji
możemy wskazać dyfeomorfizm
klasy
z wymierną liczbą obrotu. Ustalmy ten dyfeomorfizm, nazwijmy go
.
Pokażemy że można zaburzyć dowolnie mało w metryce
(więc tym bardziej-w
) tak żeby wszystkie punkty okresowe stały się niezdegenerowane.
Najpierw załóżmy że istnieje przynajmniej jeden punkt okresowy niezdegenerowany dla . Ten punkt dzieli
okrąg na
łuków; w podniesieniu mamy odcinek długości
podzielony na
odcinków. Ustalamy jeden z tych odcinków, nazwijmy go
. Weźmy teraz nieco mniejszy odcinek
taki że w
nie ma żadnych punktów okresowych dla
(a dokładniej: podniesień punktów okresowych).
Taki odcinek można wybrać bo trajektoria okresowa do której należa punkty
jest niezdegenerowana.
Zmniejszając odcinek
możemy też założyć że istnieje
takie że jeśli
jest dyfeomorfizmem
okręgu
- bliskim
w metryce
i
,
to w odcinku
nie ma innych punktów stałych dla
.
Niech
będzie gładką funkcją określoną w
taką że
na odcinku
,
w otoczeniu punktów
. Przedłużamy funkcję
do równej zero poza
.
(rysunek
Określamy nową rodzinę funkcji (w podniesieniu )
.
Dla małych
funkcja
(odpowiednio
) jest
- bliska
(odpowiednio-
). Zatem jeśli
jest punktem stałym dla
to albo
, albo
, albo
.
Zauważamy teraz że
jest punktem okresowym zdegenerowanym dla
wtedy i tylko wtedy gdy
jest punktem krytycznym i miejscem zerowym dla funkcji
.
Ponieważ każda trajektoria długości
zawarta w
(a wlaściwie: jej podniesienie)
przecina dokładnie raz odcinek
, a funkcja
pozostaje
niezmieniona poza tym odcinkiem, widzimy że na odcinku
mamy
. Zatem jeśli istnieją punkty okresowe
zdegenerowane dla
, to
jest wartością krytyczną
dla funkcji
. Aby pokazać że dla wielu
to jest
niemożliwe, skorzystamy z prostej wersji twierdzenia Sarda:
Niech będzie funkcją klasy
. Wówczas zbiór wartości krytycznych dla
ma miarę Lebesgue'a równą zero.
Korzystając z tego lematu , możemy więc wybrać dowolnie małe , dla którego
nie jest wartością krytyczną dla
. Zatem nasze
nie ma nezdegenerowanych punktów okresowych.
Dla zakończenia dowodu pozostaje upewnić się że zawsze można mało zaburzyć aby otrzymać przynajmniej jeden punkt okresowy niezdegenerowany.
Rozważmy przekształcenie dane wzorem
.
Jesli
to
jest ściśle rosnąca i
. Zatem
wyznacza dyfeomorfizm okręgu.
ma
punktów stałych; są to punkty odpowiadające wartościom na prostej
.
Dla
nieparzystych mamy ścieki, dla
parzystych-źródła.
Teraz niech .
Tym razem mamy dwie orbity okresowe o okresie
; punkty
stanowią orbitę odpychającą, zaś punkty
- orbitę przyciągającą.
.
Poniżej- ważna definicja strukturalniej stabilności
Mówimy że pole wektorowe na zwartej gładkiej rozmaitości jest strukturalnie stabilne jeśli istnieje otoczenie
pola
w metryce
, takie że dla każdego
istnieje homeomorfizm
przekształcający trajektorie pola
na trajektorie pola
.
Tu pojawia się konieczność precyzyjnego określenia topologii w przestrzeni pól wektorowych na zwartej głądkiej rozmaitości.
W tym rozdziale ograniczamy się jednak do pól wektorowych na okręgu . Ustalmy orientację na
; w każdym punkcie
mamy więc wyznaczony jednostkowy wektor styczny, dodatnio zorientowany
. Pole wektorowe jest więc wyznaczone przez funkcję
(
), lub- równoważnie - przez okresową funkcję
.
Zauważmy że jeśli
jest potokiem pola wektorowego na prostej
, to
(gdzie
jest rzutowaniem z prostej na okrąg) jest potokiem pola wektorowego na okręgu
.
Następującą charakteryzację
strukturalnie stabilnych pól wektorowych na
można udowodnić modyfikując (a właściwie- upraszczając) odpowiedni dowód dla dyfeomorfizmów.
Pole wektorowe klasy
jest
-strukturalnie stabilne wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie stacjonarne punkty pola
są niezdegenerowane (tzn. jeśli
, to
. Zbiór takich pól wektorowcyh na
jest otwarty i gęsty w
topologii.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.