Zagadnienia

3.1 Pojęcie strukturalnej stabilności dla przekształceń i dla pól wektorowych
3.2 Strukturalnie stabilne dyfeomorfizmy okręgu
3.3 Strukturalnie stabilne pola wektorowe na okręgu

3. Strukturalna stabilność. Układy Morse'a-Smale'a na okręgu

3.1. Pojęcie strukturalnej stabilności dla przekształceń i dla pól wektorowych

Mówiąc nieformalnie, przekształcenie (lub pole wektorowe) chcemy nazwać strukturalnie stabilnym- w jakiejś klasie, jeśli po małym zaburzeniu - w obrębie tej klasy- przekształcenie (pole wektorowe) zachowa swoje własności, czyli dynamika nie zmieni się.

Poniżej formalizujemy tę definicję. Najpierw musimy wprowadzić jakieś formalne pojęcie odległości w przestrzeni przekształceń, dyfeomorfizmów i pól wektorowych.

3.1.1. Metryki i topologie w przestrzeniach przekształceń i w przestrzeniach pól wektorowych

O wszystkich rozmaitościach które tu rozpatrujemy, będziemy zakładali że są klasy $C^{\infty}$ i że są zanurzone w $\mathbb{R}^{s}$ (dla pewnego $s$ ). Niech $M$ będzie taką rozmaitościa, $m={\rm dim}M$ , załóżmy dodatkowo że $M$ jest zwarta. Istnieje skończony atlas- rodzina map $\varphi _{i}:B(0,1)\to M$ (można oczywiście założyć że $B(0,1)$ jest wspólną dziedziną dla wszystkich map z atlasu. Wówczas, dla pewnego $\rho<1$ obrazy mniejszej kuli $B(0,r)$ przy $\varphi _{i}$ też pokrywają $M$ . Jesli $f,g:M\to\mathbb{R}^{k}$ to możemy określić odległość $f$ i $g$ :

$d_{{C^{r}}}(f,g)={\rm max}_{i}{||f\circ\varphi _{i}-g\circ\varphi _{i}||_{{C^{r}}}}_{{|B(0,\rho)}}$

Sprawdzenie następującego faktu pozostawiamy jako zadanie:

Stwierdzenie 3.1

Tak zdefiniowana metryka zależy oczywiście od wyboru atlasu, ale topologia wyznaczona przez te metrykę nie zależy od atlasu, ani od wyboru $r$ .

Ponieważ każde pole wektorowe na rozmaitości $M$ zanurzonej w $\mathbb{R}^{s}$ można traktować jak funkcję określoną na rozmaitości, o wartościach w $\mathbb{R}^{s}$ , w ten sposób mamy zdefiniowaną topologię $C^{r}$ w przestrzeni pól wektorowych klasy $C^{r}$ na $M$ .

Podobnie, jeśli $N$ jest rozmaitością gładką zanurzoną w $\mathbb{R}^{k}$ , to mamy w ten sposób określoną topologię $C^{k}$ w przestrzeni przekształceń $f:M\to N$ .

Będziemy dalej rozpatrywali dyfeomorfizmy klasy $C^{r}$ , $f:M\to M$ .

Stwierdzenie 3.2

W przestrzeni wszystkich przekształceń $f:M\to M$ klasy $C^{r}$ dyfeomorfizmy stanowią otwarty podzbiór.

3.1.2. Równoważność i sprzężenie między polami wektorowymi i dyfeomorfizmami

Definicja 3.1

Niech $M$ będzie gładką zwartą rozmaitością. Mówimy że dwa pola wektorowe $X$ , $y$ na rozmaitości $M$ są topologicznie równoważne jeśli istnieje homeomorfizm $h:M\to M$ przekształcający trajektorie (krzywe całkowe) pola $X$ na trajektorie pola $Y$ , z zachowaniem orientacji (ale niekoniecznie czasu!)

Definicja 3.2

Pola $X$ , $Y$ na $M$ są topologicznie sprzężone jeśli istnieje homeomorfizm $h:M\to M$ sprzęgający potoki tych pól. Dokładniej- niech $\varphi^{t}$ będzie potokiem pola $X$ , $\psi^{t}$ -potokiem pola $Y$ . Sprzężenie oznacza że

$h\circ\varphi^{t}=\psi^{t}\circ h$

Stwierdzenie 3.3

Jeśli $h$ jest topologiczną równoważnością między polami $X$ i $Y$ to

$p\in M$ jest punktem stacjonarnym pola $X\iff h(p)$ jest punktem stacjonarnym pola $Y$ .
trajektoria pola $X$ przechodząca przez punkt $p\in M$ jest zamknięta wtedy i tylko wtedy gdy trajektoria pola $Y$ przechodząca przez punkt $h(p)\in M$ jest zamknięta.
$h(\omega(p))=\omega(h(p))$

Ćwiczenie 3.1

Zbudować sprzężenie topologiczne między polami na płaszczyźnie:

$X(x,y)=(x,y)$

$Y(x,y)=(x+y,-x+y)$

Ćwiczenie 3.2

Pole wektorowe na płaszczyźnie

$Z(x,y)=(y,-x)$

nie jest sprzężone i nie jest równowazne żadnemu z pól $X,Y$ .

Definicja 3.3

Niech $M$ będzie gładką rozmaitością, $f,g:M\to M$ - dyfeomorfizmy. Mówimy że $f$ i $g$ są topologicznie sprzężone jeśli istnieje homeomorfizm $h:M\to M$ taki że $h\circ f=g\circ h$ .

3.1.3. Strukturalna stabilność

Definicja 3.4

Niech $M$ będzie zwartą rozmaitością; $X$ - polem wektorowym klasy $C^{r}$ na $M$ . Mówimy że $X$ jest $C^{r}$ - strukturalnie stabilne jeśli istnienie otoczenie $U$ pola $X$ w $C^{r}$ topologii w przestrzeni pól wektorowych na $M$ takie że każde pole wektorowe $Y\in U$ jest topologicznie równoważne polu $X$ .

Definicja 3.5

Niech $M$ będzie zwartą rozmaitością, $f:M\to M$ dyfeomorfizmem klasy $C^{r}$ . Mówimy że $f$ jest strukturalnie stabilne jeśli istnieje otoczenie $W\ni f$ w $C^{r}(M,M)$ takie że każdy dyfeomorfizm $g\in W$ jest topologicznie sprzężony z $f$ .

3.2. Strukturalnie stabilne dyfeomorfizmy okręgu

W tym rozdziale podamy pełną charakteryzację $C^{1}$ - strukturalnie stabilnych dyfeomorfizmów okręgu.

Definicja 3.6

Dyfeomorfizm $f:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1}$ klasy $C^{1}$ zachowujacy orientację nazywamy dyfeomorfizmem Morse'a- Smale'a jeśli $\rho(f)\in\mathbb{Q}$ oraz dla każdego punktu okresowego $x$ mamy $|(f^{q})^{{\prime}}(x)|\neq 1$ (gdzie $q$ jest okresem, wspólnym dla wszystkich punktów okresowych). (Punkt okresowy o tej własności nazywamy niezdegenerowanym.)

Twierdzenie 3.1 (O strukturalnie stabilnych dyfeomorfizmach okręgu)

Dyfeomorfizm $f:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1}$ jest strukturalnie stabilny wtedy i tylko wtedy gdy jest dyfeomorfizmem Morse'a-Smale'a.
Dyfeomorfizmy Morse'a Smale'a stanowią gęsty podzbiór przestrzeni dyfeomorfizmów $\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1}$ w $C^{1}$ metryce.

Najpierw wykażemy że dyfeomorfizm Morse'a-Smale'a jest strukturalnie stabilny. Niech $\rho(f)=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}$ . Przechodząc do iteracji $g=f^{q}$ mamy $\rho(g)=0$ . Ponieważ wszystkie punkty stałę dla $g$ są niezdegenerowane, jest ich skonczenie wiele. Oznaczmy je $p_{1},\dots,p_{m}$ . Oczywiście istnieje otoczenie punktów $p_{i}$ , $U=\bigcup U_{i}$ takie ze dla $X\notin U$ $|G(X)-X|>\varepsilon$ , zas dla $X\in U$ $G^{{\prime}}(X)>1+\varepsilon$ . Stąd widac że jeśli zaburzyć $f$ do $\tilde{f}$ na tyle mało w $C^{1}$ że $\tilde{G}$ - odpowiednie podniesienie $\tilde{g}=\tilde{f}^{q}$ jest $\frac{\varepsilon}{2}$ blisko $G$ ,to $\tilde{G}$ ma tyle samo punktów stałych co $G$ i są one tego samego typu (zródła lub ścieki). Okrąg jest więc podzielony przez punkty okresowe $f$ na łuki miedzy odpowiadajacymi sobie wzajemnie punktami okresowymi (dla $f$ i tak samo dla $\tilde{f}$ ). Wybierzmy jeden z tych łuków $[r,s]$ i odpowiadający mu łuk $[\tilde{r},\tilde{s}]$ Pokażemy jak zbudowac homeomorfizm sprzęgający $g$ i $\tilde{g}$ na odcinkach $[r,s]$ i $[\tilde{r},\tilde{s}]$ .

Rys. 3.1. Budowa sprzężenia $h$ .

(tu rysunek)

Wybieramy dowolny punkt $x\in[r,s]$ i dowolny punkt $\tilde{x}\in[\tilde{r},\tilde{s}]$ . Przekształcamy odcinek $J=[x,g(x)]$ na $\tilde{J}=[\tilde{x},\tilde{g}(\tilde{x})]$ jakimkolwiek homeomorfizmem $h$ . Ponieważ $[r,s]=\bigcup _{{i\in\mathbb{Z}}}g^{i}(J)$ , można przedłużyc $h$ na cały odcinek $[r,s]$ kładąc $h(g^{i}(y))=\tilde{g}^{i}(h(y))$ . Mamy więc na odcinku $[r,s]$

$h(f^{q}(x))=\tilde{f}^{q}(h(x))$

(3.1)

Przedłużamy teraz sprzężenie $h$ na całą orbitę odcinka $[r,s]$ $\bigcup _{{i\leq}}f^{i}([r,s])$ tak aby otrzymać sprzężenie pomiędzy $f$ i $\tilde{f}$ . Jest tylko jeden sposób na przedłużenie $h$ : trzeba położyć

$h(f^{i}(x))=\tilde{f}^{i}(h(x)).$

Ćwiczenie 3.3

Sprawdzić, używając równości (3.1) że tak zdefiniowane rozszerzenie $h:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1}$ rzeczywiscie jest sprzężeniem pomiędzy $f$ i $\tilde{f}$ .

Zatem wykazaliśmy strukturalną stabilność dyfeomorfizmów Morse'a-Smale'a.

Pokażemy teraz że jesli $f$ jest dyfeomorfizmem klasy $C^{2}$ i $\rho(f)\notin\mathbb{Q}$ to można $f$ zaburzyć dowolnie mało w metryce $C^{2}$ tak że zmieni się liczba obrotu.

Uzyjemy sprzegającego z obrotem o kąt $\alpha=\rho(f)$ homeomorfizmu, danego przez twierdzenie Denjoy. $T_{\alpha}\circ h=h\circ f$ . Rozpatrujemy teraz rodzinę dyfeomorfizmów

$f_{\varepsilon}=T_{\varepsilon}\circ f,\varepsilon>0$

(w poniesieniu odpowiada to wzięciu funkcji $F_{\varepsilon}(X)=\varepsilon+F(X)$ ). Zauważmy że $h(T_{\varepsilon}(x)=\phi(x)$ jest przekształceniem okręgu o dodatniej liczbie obrotu ( w podniesieniu mamy

$H(X+\varepsilon)=X+\Phi(X),$

$\Phi(X)>0$ ).

Zatem $h\circ f_{\varepsilon}\circ h^{{-1}}$ ma większa liczbę obrotu niż $f$ . Stad i samo $f_{\varepsilon}$ ma większą niż $f$ liczbę obrotu.

Skorzystamy z następującego faktu:

Stwierdzenie 3.4

Każdy dyfeomorfizm okręgu klasy $C^{1}$ można przybliżyć w metryce $C^{1}$ dyfeomorfizmami klasy $C^{2}$ (a nawet $C^{\infty}$ ).

Z poprzedniego stwierdzenia wynika od razu ze każdy dyfeomorfizm klasy $C^{1}$ ktory jest $C^{1}$ strukturalnie stabilny musi mieć wymierną liczbę obrotu.

Wykażemy teraz że dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a klasy $C^{1}$ stanowią gęsty podzbiór w metryce $C^{1}$ w przestrzeni $C^{1}$ dyfeomorfizmów okręgu.

Weźmy dowolny dyfeomorfizm $g$ klasy $C^{1}$ . W jego dowolnie małym otoczeniu możemy znaleźć dyfeomorfizm $f$ klasy $C^{2}$ . Jeśli ten dyfeomorfizm ma wymierną liczbe obrotu, ustalamy go. Jeśli nie- to zaburzamy $f$ w taki sam sposób jak powyżej, tworząc rodzinę $f_{\varepsilon}$ . Ponieważ, jak widzieliśmy, w ten sposób można zwiększyć liczbę obrotu i ponieważ liczba obrotu dla $f_{\varepsilon}$ jest ciąglą funkcją $\varepsilon$ , istnieje dowolnie małe $\varepsilon$ takie że $f_{\varepsilon}$ ma wymierną liczbę obrotu. Zatem- w dowolnie małym $C^{1}$ otoczeniu funkcji $g$ możemy wskazać dyfeomorfizm $f$ klasy $C^{2}$ z wymierną liczbą obrotu. Ustalmy ten dyfeomorfizm, nazwijmy go $f$ .

Pokażemy że $f$ można zaburzyć dowolnie mało w metryce $C^{2}$ (więc tym bardziej-w $C^{1}$ ) tak żeby wszystkie punkty okresowe stały się niezdegenerowane.

Najpierw załóżmy że istnieje przynajmniej jeden punkt okresowy niezdegenerowany dla $f$ . Ten punkt dzieli okrąg na $q$ łuków; w podniesieniu mamy odcinek długości $1$ podzielony na $q$ odcinków. Ustalamy jeden z tych odcinków, nazwijmy go $[r,s]$ . Weźmy teraz nieco mniejszy odcinek $[r^{{\prime}},s^{{\prime}}]\subset(r,s)$ taki że w $(r,s)\setminus[r^{{\prime}},s^{{\prime}}]$ nie ma żadnych punktów okresowych dla $f$ (a dokładniej: podniesień punktów okresowych). Taki odcinek można wybrać bo trajektoria okresowa do której należa punkty $r,s$ jest niezdegenerowana. Zmniejszając odcinek $[r,s]$ możemy też założyć że istnieje $\delta>0$ takie że jeśli $\tilde{f}$ jest dyfeomorfizmem okręgu $\delta$ - bliskim $f$ w metryce $C^{1}$ i $\tilde{f}^{q}(r)=r$ , $\tilde{f}^{q}(s)=s$ to w odcinku $(r,s)\setminus[r^{{\prime}},s^{{\prime}}]$ nie ma innych punktów stałych dla $\tilde{f}$ . Niech $\phi=\phi _{\varepsilon}$ będzie gładką funkcją określoną w $[r,s]$ taką że $\phi=\varepsilon$ na odcinku $[r^{{\prime}},s^{{\prime}}]$ , $\phi=0$ w otoczeniu punktów $r,s$ . Przedłużamy funkcję $\phi$ do równej zero poza $[r,s]$ . (rysunek Określamy nową rodzinę funkcji (w podniesieniu ) $F_{\varepsilon}=\phi _{\varepsilon}\circ F$ . Dla małych $\varepsilon$ funkcja $F_{\varepsilon}$ (odpowiednio $f_{\varepsilon}$ ) jest $\delta$ - bliska $F$ (odpowiednio- $f$ ). Zatem jeśli $x\in[r,s]$ jest punktem stałym dla $f_{\varepsilon}^{q}$ to albo $x=r$ , albo $x=s$ , albo $x\in[r^{{\prime}},s^{{\prime}}]$ . Zauważamy teraz że $x$ jest punktem okresowym zdegenerowanym dla $f_{\varepsilon}$ wtedy i tylko wtedy gdy $X$ jest punktem krytycznym i miejscem zerowym dla funkcji $F_{\varepsilon}^{q}(X)-(X+p)$ . Ponieważ każda trajektoria długości $q$ zawarta w $[r^{{\prime}},s^{{\prime}}]$ (a wlaściwie: jej podniesienie) przecina dokładnie raz odcinek $F([R^{{\prime}},S^{{\prime}}])$ , a funkcja $F$ pozostaje niezmieniona poza tym odcinkiem, widzimy że na odcinku $F^{{-(q-1)}}([R^{{\prime}},S^{{\prime}}])$ mamy $F_{\varepsilon}^{q}=F^{q}+\varepsilon$ . Zatem jeśli istnieją punkty okresowe zdegenerowane dla $f_{\varepsilon}$ , to $p+\varepsilon$ jest wartością krytyczną dla funkcji $X\mapsto F^{q}(X)-X$ . Aby pokazać że dla wielu $\varepsilon$ to jest niemożliwe, skorzystamy z prostej wersji twierdzenia Sarda:

Lemat 3.1 (Twierdzenie Sarda na prostej)

Niech $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ będzie funkcją klasy $C^{2}$ . Wówczas zbiór wartości krytycznych dla $h$ ma miarę Lebesgue'a równą zero.

Korzystając z tego lematu , możemy więc wybrać dowolnie małe $\varepsilon$ , dla którego $\varepsilon+p$ nie jest wartością krytyczną dla $F^{q}(X)-X$ . Zatem nasze $F_{\varepsilon}$ nie ma nezdegenerowanych punktów okresowych.

Dla zakończenia dowodu pozostaje upewnić się że zawsze można mało zaburzyć $f$ aby otrzymać przynajmniej jeden punkt okresowy niezdegenerowany.

∎

Przykład 3.1

Rozważmy przekształcenie $F$ dane wzorem $F(X)=X+\varepsilon\sin(2\pi kX)$ . Jesli $0<2k\pi\varepsilon$ to $F$ jest ściśle rosnąca i $F(X+1)=F(X)1$ . Zatem $F$ wyznacza dyfeomorfizm okręgu. $f$ ma $2k$ punktów stałych; są to punkty odpowiadające wartościom na prostej $X=(\frac{j}{2k})_{{j=0,\dots,2k-1}}$ . Dla $j$ nieparzystych mamy ścieki, dla $j$ parzystych-źródła.

Przykład 3.2

Teraz niech $F(X)=X+\frac{1}{k}+\varepsilon\sin(2k\pi X)$ . Tym razem mamy dwie orbity okresowe o okresie $k$ ; punkty $\frac{2j}{2k}$ stanowią orbitę odpychającą, zaś punkty $\frac{2j+1}{2k}$ - orbitę przyciągającą. $\rho(f)=\frac{1}{k}$ .

3.3. Strukturalnie stabilne pola wektorowe na okręgu

Poniżej- ważna definicja strukturalniej stabilności

Definicja 3.7

Mówimy że pole wektorowe $v$ na zwartej gładkiej rozmaitości jest strukturalnie stabilne jeśli istnieje otoczenie $U$ pola $v$ w metryce $C^{1}$ , takie że dla każdego $w\in U$ istnieje homeomorfizm $h:M\to M$ przekształcający trajektorie pola $v$ na trajektorie pola $w$ .

Uwaga 3.1

Tu pojawia się konieczność precyzyjnego określenia $C^{1}$ topologii w przestrzeni pól wektorowych na zwartej głądkiej rozmaitości.

W tym rozdziale ograniczamy się jednak do pól wektorowych na okręgu $S^{1}$ . Ustalmy orientację na $S^{1}$ ; w każdym punkcie $x\in\mathbb{S}^{1}$ mamy więc wyznaczony jednostkowy wektor styczny, dodatnio zorientowany $1_{x}$ . Pole wektorowe jest więc wyznaczone przez funkcję $v(x):\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{R}$ ( $v(x)=v(x)\cdot 1_{x}$ ), lub- równoważnie - przez okresową funkcję $V:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Zauważmy że jeśli $\phi^{t}$ jest potokiem pola wektorowego na prostej $\dot{x}=V(x)$ , to $\pi\circ\phi^{t}$ (gdzie $\pi$ jest rzutowaniem z prostej na okrąg) jest potokiem pola wektorowego na okręgu $\dot{x}=v(x)$ . Następującą charakteryzację $C^{1}$ strukturalnie stabilnych pól wektorowych na $\mathbb{S}^{1}$ można udowodnić modyfikując (a właściwie- upraszczając) odpowiedni dowód dla dyfeomorfizmów.

Stwierdzenie 3.5

Pole wektorowe $v$ klasy $C^{1}$ jest $C^{1}$ -strukturalnie stabilne wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie stacjonarne punkty pola $v$ są niezdegenerowane (tzn. jeśli $V(X)=0$ , to $V^{{\prime}}(X)\neq 0$ . Zbiór takich pól wektorowcyh na $S^{1}$ jest otwarty i gęsty w $C^{1}$ topologii.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do teorii Układów Dynamicznych