Niech będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad
(albo nad
), niech
będzie odwracalnym przekształceniem liniowym. Mówimy że
jest przekształceniem hiperbolicznym jeśli wszystkie wartości własne
mają moduł różny od
.
Niech będzie dyfeomorfizmem określonym na otoczeniu
w
, takim że
i różniczka
jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas mówimy że
jest hiperbolicznym punktem stałym dla
.
Jeśli
jest okresowy dla
,
i różniczka
jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym, to mówimy że
jest hiperbolicznym punktem okresowym.
Jeśli jest dyfeomorfizmem rozmaitości
,
to mówimy że
jest punktem stałym hiperbolicznym jeśli dla mapy
, określonej na otoczeniu zera, takiej że
, punkt
jest hiperbolicznym punktem stałym przekształcenia
(ta definicja nie zależy od wyboru mapy!)
Niech będzie polem wektorowym klasy
, określonym w pewnym otoczeniu
w
takim że
i rózniczka
pola
w punkcie
(rozumianego jako funkcja o wartościach w
) nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej.
Taki punkt stacjonarny
nazywamy hiperbolicznym.
Niech będzie polem wektorowym klasy
, określonym w pewnym otoczeniu
(
- gładka rozmaitość).
. Mówimy że
jest punktem stacjonarnym hiperbolicznym dla pola
jeśli dla mapy
określonej na otoczeniu zera, takiej że
, punkt
jest punktem stacjonarnym hiperbolicznym dla pola
(ta definicja nie zależy od wyboru mapy).
To twierdzenie jest znane z kursu Jakościowej Teorii Równań Różniczkowych; przytaczamy je w wersji potrzebnej do naszych celów i podajemy szkic dowodu.
Wersja dla dyfeomorfizmów:
Niech będzie dyfeomorfizmem określonym na otoczeniu
w
,takim że
i różniczka
jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym. Wówczas istnieje homeomorfizm
określony w pewnym otoczeniu zera
taki że dla
mamy:
![]() |
Wersja dla potoków: Niech będzie polem wektorowym klasy
, określonym w pewnym otoczeniu zera w
takim że
i rózniczka
pola
w punkcie
(rozumianego jako funkcja o wartościach w
) nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej. Wówczas istnieje homeomorfizm
określony w pewnym otoczeniu zera
taki że dla
potok
pola wektowego
jest
sprzężony przez
R z potokiem
pola liniowego z macierzą
(czyli z potokiem
).
Podamy najpierw szkic dowodu dla dyfeomorfizmów.
Niech będzie przestrzenią Banacha.
Niech
będzie przekształceniem liniowym ciągłym
, takim że
, niech
będzie odwracalnym przekształceniem liniowym takim że
. Wówczas
jest odwracalne i
jest odwracalne i
Dla hiperbolicznego przekształcenia liniowego istnieje norma w
taka że jeśli
jest rozkładem na (niezmiennicze) podprzestrzenie odpowiadające wartosciom własnym mniejszym (większym) co do modułu od
, to
,
Następujące Stwierdzenie jest kluczowym krokiem dowodu:
Niech będzie hiperbolicznyn przekształceniem liniowym
Istnieje
takie że jeśli
spełnia warunek Lipschitza ze stałą mniejszą niż
, to
i
są topologicznie sprzężone w
czyli istnieje homeomorfizm
taki że
![]() |
Szukamy homeomorfizmu w postaci
, gdzie
.
Żądamy więc aby
![]() |
(6.1) |
czyli
![]() |
![]() |
(6.2) |
Sprawdzimy że równanie (6.2) ma dokładnie jedno rozwiązanie w .
Rozpatrzmy przekształcenie liniowe
określone
.
Przekształcenie jest odwracalne. Ponadto
![]() |
Możemy zapisać
![]() |
czyli jako złożenie dwóch operacji: najpierw , potem
.
Wystarczy ozywiście sprawdzić że ta pierwsza operacja jest odwracalna, a w tym celu wystarczy sprawdzić że przekształcenie liniowe
ma normę mniejszą niż
. Możemy zapisać
(korzystając z rozkładu
), i rozłożyć w ten sposób przestrzeń
na sumę prostą
. Nasze przekształcenie zachowuje ten rozkład. Funkcja
jest przekształcana na
To ostatnie przekształcenie jest odwracalne (odwrotne to oczywiście
) i ma normę mniejszą niż
. Z lematu 6.1 wynika że
jest odwracalne. Podobnie sprawdzamy że
jest odwracalne.
Szukane jest postaci
![]() |
Zauważmy że, przy małym , przekształcenie
jest kontrakcją.
Tak jest bo
![]() |
Stąd wynika że istnieje dokładnie jeden punkt stały tego przekształcenia w .
Otrzymujemy zatem
spełniające (6.1). Do końca dowodu potrzeba wykazać że
jest homeomorfizmem.
Możemy w tym celu skorzystać z jedyności rozwiązania.
Zauważamy (należy to sprawdzić) że w ten sam sposób jak powyżej można uzyskać również jedyne rozwiązanie nieco ogólniejszego zagadnienia:
![]() |
(o ile ,
spełniają warunek Lipschitza z odpowiednio małą stałą).
Zatem, jeśli
spełnia
![]() |
to
![]() |
To złożenie jest oczywiście postaci
plus jakaś funkcja z
, i - sprzęga
z samym sobą. Z jedyności rozwiązania wynika że
![]() |
Tak samo sprawdzamy że . W takim razie
jest homeomorfizmem.
Dla zakończenia dowodu twierdzenia należy jeszcze wykazać
Jeśli spełnia założenia twierdzenia to dla dowolnego
istnieje przedłużenie
z pewnego otoczenia zera
na całe
, postaci
, gdzie
i stała Lipschitza
nie przekracza
.
Dowód polega na zastosowaniu standardowej procedury: Weźmy funkcję klasy
określoną w
taką że
dla
,
dla
. Oczywiście
spełna warunek Lipschitza z pewną stała
. Ponieważ
to funkcja
spełnia
,
;
jeśli
i
jest odpowiednio bliskie zera.
Wówczas funkcja
![]() |
jest szukanym rozszerzeniem.
∎Pozostaje udowodnić twierdzenie dla potoku pola wektorowego.
Wystarczy udowodnić twierdzenie dla pola wektorowego określonego w otoczeniu zera w .
Rozważmy więc równanie różniczkowe zadane przez
![]() |
gdzie i macierz
nie ma wartości własnych o zerowej części rzeczywistej.
Podobnie jak poprzednio, modyfikujemy funkcje do
. Funkcja
jest równa
na pewnym otoczeniu zera i równa
poza pewnym (większym) otoczeniem zera.
Niech będzie potokiem pola wektorowego wyznaczonego przez funkcje
. Nierówność Gronwalla gwarantuje że rozwiązania równania przedłużają się do nieskończoności (dlaczego?), zatem potok jest dobrze określony dla wszystkich
.
Sprawdzimy (poniżej) że dyfeomorfizm spełnia założenia Stwierdzenia 6.1. Istnieje więc homeomorfizm
sprzęgający
z jego częscią liniową
;
Ten homeomorfizm sprzęga również całe potoki, tzn.
. Aby to sprawdzić, zauważmy że jeśli zdefiniować
to
jest również sprzężeniem między
z jego częscią liniową
.
Istotnie:
![]() |
Ale jest, podobnie jak
małym (tzn. ograniczonym) zaburzeniem identyczności (pamiętamy że teraz
jest ustalone):
![]() |
Pierwszy składnik jest ograniczony bo różnica w nawiasie jest równa zero dla argumentów o dużym module. Drugi składnik jest ograniczony bo jest ograniczone.
Z jedyności sprzężenia w pierwszej, juz udowodnionej części twierdzenia, wynika że
.
Pozostaje więc do sprawdzenia że dyfeomorfizm spełnia założenia Stwierdzenia 6.1.
Zapisując
, mamy
![]() |
Wiec:
![]() |
czyli
![]() |
![]() |
gdzie .
Jeśli
jest lipschitzowskie z mała stała, to
- też.
Twierdzenie Grobmana -Hartmana gwarantuje istnienie lokalnych zbiorów stabilnych i niestabilnych- są to obrazy przy homeomorfizmie podprzestrzeni liniowych
i
. Możemy więc wywnioskować że są to topologiczne podrozmaitości.
W istocie- są to podrozmaitości różniczkowalne, tej samej klasy co wyjściowe przekształcenie.
Niech będzie dyfeomorfizmem klasy
, określonym na otoczeniu punktu
. Zakładamy że
i że różniczka
jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym.
Dla
określamy
![]() |
![]() |
Zbiory te nazywamy- odpowiednio- stabilną i niestabilną lokalną rozmaitością punktu ,
Twierdzenie ponizej uzasadnia nazwę
Niech będzie dyfeomorfizmem klasy
, określonym na otoczeniu punktu
. Zakładamy że
i że różniczka
jest hiperbolicznym przekształceniem liniowym.
Wówczas, dla małego
, zbiory
i
są różniczkowalnymi podrozmaitościami klasy
.
Przestrzenią styczną do
w punkcie
jest
, przestrzenią styczną do
w punkcie
jest
.
Ponadto, dla mamy
gdy
; dla
mamy
gdy
Niech teraz będzie dyfeomorfizmem gładkiej
- wymiarowej rozmaitości
i niech
będzie punktem stałym hiperbolicznym.
Wówczas istnieją lokalne rozmaitości- stabilna i niestabilna- punktu
. Są to obrazy przy parametryzacji odpowiednich
rozmaitości skonstruowanych dla przedstawienia
w mapie:
.
Są to więc
- podrozmaitości
.
Globalną rozmaitością stabilną punktu stałego hiperbolicznego nazywamy zbiór
![]() |
Zatem:
![]() |
Wykażemy
Jeśli jest hiperbolicznym punktem stałym dla dyfeomorfizmu
klasy
na rozmaitości
, to
jest immersyjną podrozmaitością
, klasy
.
Niech bedzie parametryzacją otoczenia
w
(już wiemy że
jest podrozmaitością).
jest zatem określone na otwartym podzbiorze
; można założyć że
.
Różniczka
ma rząd
.
Rozpatrzmy
![]() |
(6.3) |
Różniczka ma wszystkie wartości własne mniejsze co do modułu od
(dlaczego?).
Wówczas niekoniecznie norma różniczki
jest mniejsza niż
(klatki Jordana!) ale można zmienić normę
w
, aby to uzyskać (taka zmiana normy była juz w dowodzie twierdzenia Grobmana-Hartmana).
Wówczas istnieje otoczenie zera
takie że dla każdego
.
Istnieje rozszerzenie przekształcenia do
określonego na całym
takie że
jest dyfeomorfizmem
i
.
Używając budujemy immersję
, to znaczy różniczkowalne przekształcenie róznowartościowe i takie że w każdym punkcie różniczka ma maksymalny, równy
rząd:
![]() |
Ponieważ dla każdego istnieje
takie że
, rozszerzenie
jest określone dla wszystkich
. Poprawność definicji wynika z określenia
(6.3).
Zdefiniujemy teraz rozmaitości stabilne i niestabilne dla elementów krytycznych (tzn. punktów stacjonarnych i orbit zamkniętych) pól wektorowych.
Niech będzie polem klasy
na gładkiej zwartej rozmaitości
, niech
bedzie potokiem tego pola.
Niech
będzie hiperbolicznym punktem stacjonarnym
.
Globalną rozmaitością stabilną (niestabilną) dla nazywamy zbiór
![]() |
(odpowiednio dla
).
Przy powyższych założeniach, ,
są immersyjnymi podorozaitościami
, tej samej klasy co pole wektorowe
.
Dowód wynika z wykazanego już faktu dla dyfeomorfizmów i z następującego faktu (pozostawiamy udowodnienie jako zadanie)
Przy założeniach jak powyżej- niech będzie ”dyfeomorfizmem po czasie
dla pola
. (Wówczas oczywiście
i
jest punktem stałym hiperbolicznym dla
).
Wtedy
![]() |
(i tak samo dla );
przez
oznaczyliśmy globalną rozmaitość stabilną punktu
dla
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.