Niech będzie zwartą rozmaitością wymiaru
, zaś
- polem wektorowym klasy
na
. Mówimy że
jest polem Morse'a-Smale'a jeśli
1 ma skończenie wiele elementów krytycznych i wszystkie elementy krytyczne są hiperboliczne.
2 Jeśli ,
są elementami krytycznymi, to rozmaitości
,
przecinają się transwersalnie.
3 - zbiór punktów niebłądzących- jest sumą elementów krytycznych.
Dla dyfeomorfizmów mamy odpowiednio definicję:
Dyfeomorfizm jest dyfeomorfizmem Morse'a-Smale'a jeśli:
1 f ma skończenie wiele punktów okresowych i wszystkie są hiperboliczne.
2 Wszystkie przecięcia są transwersalne
3
Jak wiemy, jeśli jest polem wektorowym na zwartej rozmaitości, to
generuje rodzinę dyfeomorfizmów (potok pola)
.
Warto w tym miejscu zastanowić się czy jeśli
jest polem Morse'a Smale'a to dyfeomorfizm
jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a.
Łatwo sprawdzić że mamy
Niech będzie polem wektorowym Morse'a -Smale'a na zwartej gładkiej rozmaitości
. Wówczas dyfeomorfizm
(
) jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a wtedy i tylko wtedy gdy
nie ma orbit zamkniętych (tzn zbiór elementów krytycznych
składa się tylko z punktów krytycznych).
W rozdziale trzecim uzyskaliśmy pełną charakteryzację strukturalnie stabilnych dyfeomorfizmów i pól wektorowych na okręgu (okazało się że są to dokładnie pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse'a - Smale'a). Zatem- naturalne jest pytanie czy te wyniki przenoszą sie na przypadek wyższych wymiarów.
Mamy następujące twierdzenie, wykazane przez J. Palisa (nie będziemy go tu dowodzić):
Niech będzie gładką zwartą rozmaitościa. Wówczas dla każdego
zbiór dyfeomorfizmów Morse'a -Smale'a klasy
jest niepusty oraz otwarty w przestrzeni
. Podobnie, zbiór pól wektorowych Morse'a -Smale'a klasy
jest niepusty i otwarty w przestrzeni
pól wektorowych klasy
na
.
Jeśli jest polem Morse'a -Smale'a to
jest (
) strukturalnie stabilne. Podobnie, jeśli
jest dyfeomorfizmem Morse'a -Smale'a to
jest strukturalnie stabilne.
Różnica pomiędzy sytuacją jednowymiarową (okrąg) a ogólną polega jednak na tym, że w ogólnym przypadku dyfeomorfizmy i pola wektorowe Morse'a Smale'a nie stanowią zbioru gęstego i nie wypełniają wszystkich przykładów strukturalnie stabilnych.
Zajmiemy się teraz opisaniem ważnego przykładu (który jednocześnie pokazuje dlaczego w wyższych wymiarach nie można spodziewać się gęstości dyfeomorfizmów Morse'a-Smale'a.
Na rozmaitości wymiaru
dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a nie są gęste w przestrzeni dyfeomorfizmów
.
Rozważamy na sferze pole wektorowe
które ma cztery punkty krytyczne. Punkty
i
są ściekami, punkt
jest siodłem, zaś
-źródłem. Ponadto istnieje trajektoria dla której zbiorem
i
-granicznym jest ten sam punkt
- bowiem globalne rozmaitości stabilna i niestabilna punktu
pokrywają się. Niech
będzie potokiem tego pola; oznaczmy przez
”dyfeomorfizm po czasie 1”.
Na rysunkach 7.1 i 7.2 przedstawiono portret fazowy wyjściowego pola wektorowego (widziany na płaszczyźnie i na sferze).
Zaburzymy teraz dyfeomorfizm w ten sposób że punkt
pozostanie siodłem, ale dla nowego zaburzonego przekształcenia (oznaczanego dalej przez
)
będzie przecinać się z
transwersalnie.
Wybieramy punkt i otoczenie punktu
takie że
.
Uzyjemy ”lokalnej deformacji”- przekształcenia (dyfeomorfizmu)
takiego że
poza
oraz, dodatkowo,
, ale
przecina teraz tranwersalnie
w punkcie
. (Mowiąc nieformalnie,
”wykrzywilo” lokalnie rozmaitość
). Na rysunkach 7.3 i 7.4 przedstawiono deformację
i
efekt jej zastosowania.
Rozpatrujemy teraz dyfeomorfizm . Zauważmy że
pokrywa się z
poza zbiorem
. W wyniku tej deformacji globalna rozmaitość niestabilna (zdefiniowana, przypomnijmy, jako
zmienia się w otoczeniu punktu
(dokładniej- ten fragment rozmaitości niestabilnej, który jest zawarty w
zostanie zastąpiony przez jego obraz przy przekształceniu
). Natomiast fragment rozmaitości stabilnej
zawarty w
pozostanie niezmieniony. Pojawi się zatem w punkcie
transwersalne przecięcie rozmaitości stabilnej i niestabilnej (rysunki 7.3 i 7.4).
Zauważamy teraz
Punkt jest niebłądzacy dla zaburzonego przekształcenia
.
Niech będzie małym otoczeniem
;
niech będzie fragmentem rozmaitości niestabilnej
zawartym w
. Rozpatrujemy kolejne obrazy
przy przekształceniu
(rysunek 7.4).
Rysunek pokazuje że obrazy ( a dokladniej: ich fragmenty) zbliżają się do fragmentu rozmaitości niestabilnej zawartego między punktami
i
i układają ”równolegle” do niego. Zatem- muszą przeciąć
. Formalny dowód wymaga wykorzystania tzw
-lematu, którego sformułowanie podajemy na końcu tego wykładu.
Możemy teraz wyjaśnić dlaczego opisane tu zjawisko nazywa się -ekspozją. Zauważmy że wyjsciowe pole wektorowe
miało bardzo prosty zbiór punktów niebłądzących
. Również dyfeomorfizm
ma ten sam zbiór punktów niebłądzących. Z konstrukcji wynika że możemy dowolnie mało zaburzyć
(i to zaburzenie możemy uczynić małym w
topologii) tak aby pojawił się dodatkowy punkt niebłądzący. Naprawde, tych nowych punktów niebłądzących pojawi się więcej- są to przynajmniej wszystkie obrazy i przeciwobrazy
. W następnym rozdziale (7.4) wykażemy że, w istocie zbiór punktów niebłądzących dla
jest nieprzeliczalny.
Oczywiscie nie jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a. Aby dokończyć dowód wystarczy wykazać że istnieje otoczenie
w
topologii złożone z dyfeomorfizmów, które również nie są Morse'a Smale'a. Wystarczy w tym celu wykazać
Jeśli jest dyfeomorfizmem odpowiednio bliskim dyfeomorfizmowi
w
topologii, to
ma punkt stały
bliski
, będący też siodłem i rozmaitości niestabilna i stabilna (dla
i siodła
) przecinają się traswersalnie.
Istotnie, ze Stwierdzenia 7.2 wynika że żaden dyfeomorfizm nie jest Morse'a -Smale'a (bo ma punkty niebładzące- punkty przecięcia rozmaitości stabilnej i niestabilnej dla siodła) które nie są okresowe.
Niech będzie punktem stałym (okresowym) hiperbolicznym dyfeomrofizmu
na rozmaitości
wymiarowej
.
Wprowadźmy w otoczeniu
układ współrzędnych taki że
jest w tym układzie obrazem
.
W tym układzie współrzędnych rozmaitości stabilna i niestabilna punktu
są podrozmaitościami stycznymi w
odpowiednio do
,
.
jest wykresem funkcji
(gdzie
jest otoczeniem zera w
) takiej ze
, podobnie
jest wykresem funkcji
(gdzie
jest otoczeniem zera w
), takiej ze
.
Wówczas przekształcenie
![]() |
jest dyfeomorfizmem przekształcającym na otoczenie zera w
, zaś
na otoczenie zera w
.
W tych współrzędnych najłatwiej jest sformułowac
lemat:
Niech (w opisanym układzie współrzędnych; zatem
,
). Rozważmy
i immersyjnie zanurzony dysk
o wymiarze
, transwersalny do
w punkcie
.
Oznaczmy przez tę spójną składową
, do której należy punkt
.
Wówczas dla każdego istnieje
takie że jeśli
to
jest
bliskie
(to znaczy: jest wykresem funkcji
o wartościach i pochodnej mniejszych co do normy od
)
rysunek
-lemat mówi więc że każdy dyski
, po odpowiedniu dalekiej iteracji, ma w obrazie podzbiór otwarty ”prawie równoległy” do
.
Najpierw zdefiniujemy pewien układ dynamiczny w przestrzeni symbolicznej.
Niech będzie liczbą naturalną niech
![]() |
W przestrzeni określamy odległość: jeśli
to
![]() |
gdzie jest największą liczbą naturalną taką że
.
Jeśli takie
nie istnieje, to kładziemy
.
W przestrzeni
mamy naturalne przekształcenie
- przesunięcie w lewo:
![]() |
Opiszemy teraz dyfeomorfizm sfery który ma interesujący podzbiór niezmienniczy.
Zaczynamy od kwadratu . W tym kwadracie wyróżniamy dwa rozłaczne pozome prostokąty:
i
oraz dwa rozłaczne pionowe prostokąty
i
, położone jak na rysunku
Chcemy aby dyfeomorfizm przekształcał
na
,
na
afinicznie, i aby
.
Nieformalnie mówiąc- rozciągamy wzdłuż kwadrat
, a otrzymany prostokąt zginamy w ”podkowę” (rysunek 7.5).
Aby rozszerzyc takie przekształcenie, doklejamy do kwadratu dwa topologiczne dyski (np półkola) , i
(otrzymujemy w ten sposób nowy dysk topologiczny
tak że
,
,
. Teraz trzeba jeszcze zdefiniować
na
i na
. Obrazy tych połkoli są przedstawione na rysunku 7.6.
jest zdefiniowane na
w ten sposób że wewnątrz
jest umieszczony punkt stały przyciągający
i
.
Wynika stąd że dla każdego
(a także dla każdego
)
.
Mamy więc zdefiniowany dyfeomorfizm
i
. Tak zdefiniowane przekształcenie możemy przedłużyc też do dyfeomorfizmu całej sfery
(N można utożsamić przez dyfeomorfizm z górną półsferą; na dolnej półsferze
definiujemy dyfeomorfizm tak aby
(zatem
), umieszczając punkt stały na przykład w biegunie południowym
. Wówczas dla każdego
mamy
.
Z tych obserwacji wynika że zbiór punktów niebłądzących rożnych od
jest zawarty w wyjściowym kwadracie
. Istotnie, jeśli
to ujemna trajektoria punktu
i całego jego otoczenia jest przyciągana do bieguna południowego
, zatem istnieje takie otoczenie
punktu
że
dla wszystkich
. Podobnie, jeśli
, to
jest przyciągane przy iteracji w przód do punkty stałego
, i, z tych samych powodów
jest punktem błądzącym. Ponieważ
i zbiór punktów niebładzących
jest niezmienniczy, więc również zbiór
nie przecina
.
Korzystając jeszcze raz z niezmienniczości zbioru
wykazaliśmy zatem
Zbiór punktów niebłądzących jest zawarty w zbiorze
![]() |
(zauważmy że zbiór składa się z punktów których trajektorie przez cały czas pozostają w
)
Wykażemy teraz że cały zbiór jest zawarty w zbiorze punktów niebłądzących
.
W tym celu skonstruujemy sprzężenie topologiczne pomiędzy przekształceniem
i przesunięciem w lewo
na przestrzeni symbolicznej.
Rozważmy zbiór
![]() |
Widzimy (tu będzie rysunek
że jest sumą
pionowych prostokątów, których szerokości maleją wykłądniczo z
; w szczególności-
jest sumą dwóch pionowych prostokątów
. Ponadto, w każdym prostokącie
pojawiającym się w
są zawarte dokładnie dwa prostokąty następnej generacji; przy czym suma szerokości tych prostokątów jest równa szerokości
pomnożonej przez
.
Zatem
jest produktem zbioru Cantora i odcinka. Zbiór ten składa się dokładnie z punktów które przez całą swoją historię w przeszłości pozostawaly w
.
Podobnie, zbiór
![]() |
składa się z poziomych prostokątów; w szczególności
jest to podzbiór
złożony z punktów, które w pierwszej iteracji trafiają do
.
Zbiór
![]() |
składa się zatem z punktów które przez cała swoją przyszłość pozostaną w ; podobnie jak poprzednio- widzimy ze jest to produkt ”pionowego” zbioru Cantora i poziomego odcinka.
Oczywiście jest przecięciem tych dwóch zbiorów; jest to zatem produkt kartezjański dwóch zbiorów Cantora. W szczególności
jest zwarty.
Każdemu punktowi możemy przyporządkować jego ”kod”- nieskończony ciąg symboli
w przestrzeni symbolicznej
:
jeśli
,
jeśli
.
Wykażemy
Przekształcenie jest topologicznie sprzężone z przesunięciem
na przestrzeni symbolicznej
;
sprzężenie jest zadane przez kodowanie
:
![]() |
Formuła wynika wprost z definicji kodowania
. Pozostaje więc do sprawdzenia że
jest homeomorfizmem.
Sprawdzimy najpierw że
jest wzajemnie jednoznaczne. Różnowartościowość
wynika z obserwacji, że zbiór punktów które mają ten sam kod
jest domkniętym prostokątem
o rozmiarach malejących wykładniczo z
. Ponadto
. Zatem przecięcie jest jednopunktowe. Z konstrukcji wynika też że przekształcenie
jest ”na”- każdy kod jest realizowany.
Wykażemy że
jest ciągłe. Wystarczy w tym celu sprawdzić że jeśli ciąg kodów
to ciąg odpowiadających punktów
. Z definicji metryki w przestrzeni
wynika że dla każdego
istnieje takie
że dla każdego
ciągi
oraz
mają te same wyrazy dla wszystkich
takich że
. Stąd zaś wynika że odpowiadające im przy przekształceniu
punkty leżą w tej samej spójnej składowej (prostokącie) zbioru
.
Ponieważ długości boków tego prostokąta maleją wykłądniczo z
, dowodzi to zbieżności
.
Mamy więc ciągła bijekcję pomiędzy dwiema przestrzeniami metrycznymi zwartymi, zatem- homeomorfizm.
Zauważmy że mamy następujące stwierdzenie (pozostawiamy dowód jako ćwiczenie)
W przestrzeni punkty (ciągi) okresowe przy przekształceniu
stanowią gęsty podzbiór.
Stąd zaś wniosek
W zbiorze punkty okresowe dla
są gęste.
Ponieważ każdy punkt okresowy jest zawarty w zbiorze punktów niebłądzących , i zbiór
jest domknięty, porównując ze Stwierdzeniem 7.3, otrzymujemy
Zbiór punktów niebładzących dla dyfeomorfizmu
jest równy
![]() |
Punkty okresowe stanowią gęsty podzbiór .
do zadan: rozmaitości stabilne i niestabilne w podkowie, continuum Knastera.
Podkowa Smale'a to pewien abstrakcyjnie zdefiniowany układ dynamiczny. Jego ważność wyjaśnia poniższe twierdzenie
Niech będzie dyfeomorfizmem rozmaitości
,
- hiperbolicznym punktem stałym. Załóżmy że istnieje punkt homokliniczny
(czyli punkt transwersalnego przecięcia rozmaitości stabilnej
i niestabilnej
, różny od
). Wówczas zbiór punktów niebłądzących
zawiera zwarty niezmienniczy podzbiór
, homeomorficzny ze zbiorem granicznym podkowy
; homeomorfizm ten sprzęga działanie
z działaniem opisanego przekształcenia na podkowie.
Używamy wprowadzonego powyżej układu współrzędnych. Niech .
Możemy założyć że
. Istotnie, jeśli
jest punktem homoklinicznym to wszystkie jego obrazy- też.
Ponieważ
więc
; zatem któryś obraz
leży w
.
Twierdzimy że dla wszystkich odpowiednio dużych zbiór
ma co najmniej dwie składowe; punkty
i
należą do różnych składowych (rysunek 7.7).
Na rysunku 7.8 przestawiono przecięcie zbiorów i
z ich kolejnymi obrazami.
W odróznieniu modelu liniowego, żadne z używanych tu przekształceń nie jest liniowe. Ponieważ używamy iteracji
, więc obrazy pasków mogłyby bardzo się zdeformować. Trzeba więc sprawdzić że można wybrać
na początku tak duże że wszystkie paski pozostaną ”prawie poziome”. Wybór
można przeprowadzić na przykład tak:
Istnieje takie że
zawiera całą składową zbioru
do której należy punkt
(wynika to stąd że w tych lokalnych współrzędnych
jest lokalną rozmaitością
, więc
).
Ustalamy małe .
Ustalamy takie że obraz
jest
bliski (
) zbiorowi
o ile
jest
- bliskie (
)
.
Ustalamy na tyle duże że każdy immersyjnie zanurzony dysk zawarty w
, i
-bliski w
dyskowi
jest przekształcany przez
na zbiór (dysk immersyjny)
taki że
jest
-bliskie
.
Tutaj wykorzystujemy -lemat.
Ustalamy
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.