Zagadnienia

7.1 Pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse'a- Smale'a
7.2 $\Omega$ -eksplozja
7.3 $\lambda$ lemat
7.4 Podkowa Smale'a

7. Pola Morse'a-Smale'a. Dyfeomorfizmy Morse'a- Smale'a. $\Omega$ -eksplozja i podkowa Smale'a

7.1. Pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse'a- Smale'a

Definicja 7.1

Niech $M$ będzie zwartą rozmaitością wymiaru $n$ , zaś $X$ - polem wektorowym klasy $C^{r}$ na $M$ . Mówimy że $X$ jest polem Morse'a-Smale'a jeśli

1 $X$ ma skończenie wiele elementów krytycznych i wszystkie elementy krytyczne są hiperboliczne.
2 Jeśli $\sigma _{1}$ , $\sigma _{2}$ są elementami krytycznymi, to rozmaitości $W^{u}(\sigma _{1})$ , $W^{s}(\sigma _{2})$ przecinają się transwersalnie.
3 $\Omega(X)$ - zbiór punktów niebłądzących- jest sumą elementów krytycznych.

Dla dyfeomorfizmów mamy odpowiednio definicję:

Definicja 7.2

Dyfeomorfizm $f:M\to M$ jest dyfeomorfizmem Morse'a-Smale'a jeśli:

1 f ma skończenie wiele punktów okresowych i wszystkie są hiperboliczne.
2 Wszystkie przecięcia $W^{s}(p)\cap W^{u}(q)$ są transwersalne
3 $\Omega(f)=Per(f)$

Jak wiemy, jeśli $X$ jest polem wektorowym na zwartej rozmaitości, to $X$ generuje rodzinę dyfeomorfizmów (potok pola) $\varphi^{t}$ . Warto w tym miejscu zastanowić się czy jeśli $X$ jest polem Morse'a Smale'a to dyfeomorfizm $\varphi^{t}$ jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a. Łatwo sprawdzić że mamy

Ćwiczenie 7.1

Niech $X$ będzie polem wektorowym Morse'a -Smale'a na zwartej gładkiej rozmaitości $M$ . Wówczas dyfeomorfizm $\varphi^{t}$ ( $t\neq 0$ ) jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a wtedy i tylko wtedy gdy $X$ nie ma orbit zamkniętych (tzn zbiór elementów krytycznych $X$ składa się tylko z punktów krytycznych).

W rozdziale trzecim uzyskaliśmy pełną charakteryzację $C^{1}$ strukturalnie stabilnych dyfeomorfizmów i pól wektorowych na okręgu (okazało się że są to dokładnie pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse'a - Smale'a). Zatem- naturalne jest pytanie czy te wyniki przenoszą sie na przypadek wyższych wymiarów.

Mamy następujące twierdzenie, wykazane przez J. Palisa (nie będziemy go tu dowodzić):

Twierdzenie 7.1 (O otwartości zbiorów dyfeomorfizmów i pól wektorowych Morse'a-Smale'a)

Niech $M$ będzie gładką zwartą rozmaitościa. Wówczas dla każdego $r\ge 1$ zbiór dyfeomorfizmów Morse'a -Smale'a klasy $C^{r}$ jest niepusty oraz otwarty w przestrzeni $Diff_{r}(M)$ . Podobnie, zbiór pól wektorowych Morse'a -Smale'a klasy $C^{r}$ jest niepusty i otwarty w przestrzeni ${\mathcal{F}}^{r}(M)$ pól wektorowych klasy $C^{r}$ na $M$ .

Twierdzenie 7.2

Jeśli $X$ jest polem Morse'a -Smale'a to $X$ jest ( $C^{1}$ ) strukturalnie stabilne. Podobnie, jeśli $f$ jest dyfeomorfizmem Morse'a -Smale'a to $f$ jest strukturalnie stabilne.

Różnica pomiędzy sytuacją jednowymiarową (okrąg) a ogólną polega jednak na tym, że w ogólnym przypadku dyfeomorfizmy i pola wektorowe Morse'a Smale'a nie stanowią zbioru gęstego i nie wypełniają wszystkich przykładów strukturalnie stabilnych.

7.2. $\Omega$ -eksplozja

Zajmiemy się teraz opisaniem ważnego przykładu (który jednocześnie pokazuje dlaczego w wyższych wymiarach nie można spodziewać się gęstości dyfeomorfizmów Morse'a-Smale'a.

Twierdzenie 7.3 ( $\Omega$ -eksplozja)

Na rozmaitości $M$ wymiaru $d\ge 2$ dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a nie są gęste w przestrzeni dyfeomorfizmów $Dff^{1}(M)$ .

szkic

Rozważamy na sferze $\mathbb{S}^{2}$ pole wektorowe $X$ które ma cztery punkty krytyczne. Punkty $s_{1}$ i $s_{2}$ są ściekami, punkt $s_{3}$ jest siodłem, zaś $s_{4}$ -źródłem. Ponadto istnieje trajektoria dla której zbiorem $\alpha$ i $\omega$ -granicznym jest ten sam punkt $S_{3}$ - bowiem globalne rozmaitości stabilna i niestabilna punktu $s_{3}$ pokrywają się. Niech $\varphi^{t}$ będzie potokiem tego pola; oznaczmy przez $f=\varphi^{1}$ ”dyfeomorfizm po czasie 1”. Na rysunkach 7.1 i 7.2 przedstawiono portret fazowy wyjściowego pola wektorowego (widziany na płaszczyźnie i na sferze).

$Potok pola $\varphi^{t}$ \emph{widziany} na płaszczyźnie$

Rys. 7.1. Potok pola $\varphi^{t}$ .

$Potok pola $\varphi^{t}$ \emph{widziany} na sferze$

Rys. 7.2. Potok pola $\varphi^{t}$ .

Zaburzymy teraz dyfeomorfizm $f$ w ten sposób że punkt $s_{3}$ pozostanie siodłem, ale dla nowego zaburzonego przekształcenia (oznaczanego dalej przez $g$ ) $W^{u}(s_{3})$ będzie przecinać się z $W^{s}(s_{3})$ transwersalnie.

Wybieramy punkt $p\in W^{u}(s_{3})$ i otoczenie punktu $p$ takie że $f^{{-1}}(U)\cap U=\emptyset$ . Uzyjemy ”lokalnej deformacji”- przekształcenia (dyfeomorfizmu) $i$ takiego że $i={\rm id}$ poza $U$ oraz, dodatkowo, $i(p)=p$ , ale $i(W^{u}(s_{3}))\cap U$ przecina teraz tranwersalnie $(W^{u}(s_{3})\cap U$ w punkcie $p$ . (Mowiąc nieformalnie, $i$ ”wykrzywilo” lokalnie rozmaitość $W^{u}(s_{3})$ ). Na rysunkach 7.3 i 7.4 przedstawiono deformację $i$ i efekt jej zastosowania.

Rys. 7.3. Zaburzenie $i$ .

$Przekstałcenie $g$. Rozmaitości stabilna i niestabilna punktu $s_{3}$.$

Rys. 7.4. Przekształcenie $g$ . Teraz rozmaitości stabilna i niestabilna punktu $s_{3}$ przecinają się transwersalnie .

Rozpatrujemy teraz dyfeomorfizm $g=i\circ f$ . Zauważmy że $g$ pokrywa się z $f$ poza zbiorem $f^{{-1}}(U)$ . W wyniku tej deformacji globalna rozmaitość niestabilna (zdefiniowana, przypomnijmy, jako $\bigcup g^{n}(W^{u}_{{loc}})$ zmienia się w otoczeniu punktu $p$ (dokładniej- ten fragment rozmaitości niestabilnej, który jest zawarty w $U$ zostanie zastąpiony przez jego obraz przy przekształceniu $i$ ). Natomiast fragment rozmaitości stabilnej $W^{s}(s_{3})$ zawarty w $U$ pozostanie niezmieniony. Pojawi się zatem w punkcie $p$ transwersalne przecięcie rozmaitości stabilnej i niestabilnej (rysunki 7.3 i 7.4).

Zauważamy teraz

Stwierdzenie 7.1

Punkt $p$ jest niebłądzacy dla zaburzonego przekształcenia $g$ .

Niech $W\subset U$ będzie małym otoczeniem $p$ ; $l$ niech będzie fragmentem rozmaitości niestabilnej $W^{u}(s_{3})$ zawartym w $W$ . Rozpatrujemy kolejne obrazy $l$ przy przekształceniu $g$ (rysunek 7.4). Rysunek pokazuje że obrazy ( a dokladniej: ich fragmenty) zbliżają się do fragmentu rozmaitości niestabilnej zawartego między punktami $s_{3}$ i $p)$ i układają ”równolegle” do niego. Zatem- muszą przeciąć $W$ . Formalny dowód wymaga wykorzystania tzw $\lambda$ -lematu, którego sformułowanie podajemy na końcu tego wykładu.

∎

Możemy teraz wyjaśnić dlaczego opisane tu zjawisko nazywa się $\Omega$ -ekspozją. Zauważmy że wyjsciowe pole wektorowe $X$ miało bardzo prosty zbiór punktów niebłądzących $\Omega(X)=\{ s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\}$ . Również dyfeomorfizm $f$ ma ten sam zbiór punktów niebłądzących. Z konstrukcji wynika że możemy dowolnie mało zaburzyć $f$ (i to zaburzenie możemy uczynić małym w $C^{r}$ topologii) tak aby pojawił się dodatkowy punkt niebłądzący. Naprawde, tych nowych punktów niebłądzących pojawi się więcej- są to przynajmniej wszystkie obrazy i przeciwobrazy $p$ . W następnym rozdziale (7.4) wykażemy że, w istocie zbiór punktów niebłądzących dla $g$ jest nieprzeliczalny.

Oczywiscie $g$ nie jest dyfeomorfizmem Morse'a Smale'a. Aby dokończyć dowód wystarczy wykazać że istnieje otoczenie $g$ w $C^{1}$ topologii złożone z dyfeomorfizmów, które również nie są Morse'a Smale'a. Wystarczy w tym celu wykazać

Stwierdzenie 7.2

Jeśli $\tilde{g}$ jest dyfeomorfizmem odpowiednio bliskim dyfeomorfizmowi $g$ w $C^{1}$ topologii, to $\tilde{g}$ ma punkt stały $\tilde{s}_{3}$ bliski $s_{3}$ , będący też siodłem i rozmaitości niestabilna i stabilna (dla $\tilde{g}$ i siodła $\tilde{s}_{3}$ ) przecinają się traswersalnie.

Istotnie, ze Stwierdzenia 7.2 wynika że żaden dyfeomorfizm $\tilde{g}$ nie jest Morse'a -Smale'a (bo ma punkty niebładzące- punkty przecięcia rozmaitości stabilnej i niestabilnej dla siodła) które nie są okresowe.

∎

7.3. $\lambda$ lemat

Niech $p$ będzie punktem stałym (okresowym) hiperbolicznym dyfeomrofizmu $f$ na rozmaitości $n$ wymiarowej $M$ . Wprowadźmy w otoczeniu $p$ układ współrzędnych taki że $p$ jest w tym układzie obrazem $0\in\mathbb{R}^{n}$ . W tym układzie współrzędnych rozmaitości stabilna i niestabilna punktu $p$ są podrozmaitościami stycznymi w $0$ odpowiednio do $E^{s}$ , $E^{u}\subset\mathbb{R}^{n}$ . $W^{s}_{{loc}}$ jest wykresem funkcji $\varphi _{s}:U_{s}\to E^{u}$ (gdzie $U_{s}$ jest otoczeniem zera w $E^{s}$ ) takiej ze $D\varphi _{s}(0)=0$ , podobnie $W^{u}_{{loc}}$ jest wykresem funkcji $\varphi _{u}:U_{u}\to E^{s}$ (gdzie $U_{u}$ jest otoczeniem zera w $E^{u}$ ), takiej ze $D\varphi _{u}(0)=0$ .

Wówczas przekształcenie

$\varphi(x_{s},x_{u})=(x_{s}-\varphi _{u}(x_{u}),x_{u}-\varphi _{s}(x_{s}))$

jest dyfeomorfizmem przekształcającym $W^{s}_{{loc}}$ na otoczenie zera w $E^{s}$ , zaś $W^{u}_{{loc}}$ na otoczenie zera w $E^{u}$ . W tych współrzędnych najłatwiej jest sformułowac $\lambda$ lemat:

Twierdzenie 7.4 ( $\lambda$ -lemat)

Niech $V=B_{\delta}^{s}\times B_{\delta}^{u}$ (w opisanym układzie współrzędnych; zatem $B_{\delta}^{s}=W^{s}_{{loc}}$ , $B_{\delta}^{s}=W^{s}_{{loc}}$ ). Rozważmy $q\in W^{s}_{{loc}}=B^{s}_{\delta}$ i immersyjnie zanurzony dysk $D^{u}$ o wymiarze $u={\rm dim}E^{u}$ , transwersalny do $W^{s}_{{loc}}$ w punkcie $q$ .

Oznaczmy przez $D^{n}_{u}$ tę spójną składową $f^{n}(D^{u})\cap V$ , do której należy punkt $f^{n}q$ .

Wówczas dla każdego $\varepsilon>0$ istnieje $n_{0}$ takie że jeśli $n>n_{0}$ to $D^{u}_{n}$ jest $\varepsilon$ bliskie $B^{u}_{\delta}$ (to znaczy: jest wykresem funkcji $g:B^{u}_{\delta}\to E^{s}$ o wartościach i pochodnej mniejszych co do normy od $\varepsilon$ )

rysunek

$\lambda$ -lemat mówi więc że każdy dyski $D^{u}$ , po odpowiedniu dalekiej iteracji, ma w obrazie podzbiór otwarty ”prawie równoległy” do $W^{u}_{{loc}}=B^{u}_{\delta}$ .

7.4. Podkowa Smale'a

Najpierw zdefiniujemy pewien układ dynamiczny w przestrzeni symbolicznej.

Definicja 7.3

Niech $n$ będzie liczbą naturalną niech

$\Sigma=\{ 1,\dots n\}^{{\mathbb{Z}}}$

W przestrzeni $\Sigma$ określamy odległość: jeśli $x=(x_{i}),y=(y_{i})\in\Sigma$ to

$d(x,y)=\frac{1}{2^{N}}$

gdzie $N$ jest największą liczbą naturalną taką że $(x_{{-N}},\dots x_{N})=(y_{{-N}},\dots y_{N})$ . Jeśli takie $N$ nie istnieje, to kładziemy $d(x,y)=2$ . W przestrzeni $\Sigma$ mamy naturalne przekształcenie $\sigma$ - przesunięcie w lewo:

$\sigma(x_{i})_{{i=-\infty}}^{{\infty}}=(x_{{i+1}})_{{i=-\infty}}^{{\infty}}$

Opiszemy teraz dyfeomorfizm sfery $\mathbb{S}^{2}$ który ma interesujący podzbiór niezmienniczy.

Zaczynamy od kwadratu $=[0,1]\times[0,1]$ . W tym kwadracie wyróżniamy dwa rozłaczne pozome prostokąty: $H_{1}$ i $H_{2}$ oraz dwa rozłaczne pionowe prostokąty $V_{1}$ i $V_{2}$ , położone jak na rysunku

Chcemy aby dyfeomorfizm $f$ przekształcał $H_{1}$ na $V_{1}$ , $H_{2}$ na $V_{2}$ afinicznie, i aby $D\cap f^{{-1}}(D)=H_{1}\cup H_{2}$ . Nieformalnie mówiąc- rozciągamy wzdłuż kwadrat $D$ , a otrzymany prostokąt zginamy w ”podkowę” (rysunek 7.5).

Rys. 7.5. Podkowa Smale'a.

Aby rozszerzyc takie przekształcenie, doklejamy do kwadratu dwa topologiczne dyski (np półkola) $U$ , i $V$ (otrzymujemy w ten sposób nowy dysk topologiczny $N=D\cup U\cup V$ tak że $f(G_{2})\subset V$ , $f(G_{1})\subset U$ , $f(G_{3})\subset U$ . Teraz trzeba jeszcze zdefiniować $f$ na $U$ i na $V$ . Obrazy tych połkoli są przedstawione na rysunku 7.6.

$Rozszerzenie przekształcenia do sfery $\mathbb{S}^{2}$.$

Rys. 7.6. Rozszerzenie przekształcenia.

$f$ jest zdefiniowane na $U$ w ten sposób że wewnątrz $f(U)$ jest umieszczony punkt stały przyciągający $S$ i $\bigcap f^{n}(U)=\{ s\}$ . Wynika stąd że dla każdego $q\in U$ (a także dla każdego $q\in V$ ) $\omega(q)=\{ p\}$ . Mamy więc zdefiniowany dyfeomorfizm $N\to f(N)$ i ${\rm cl}(f(N))\subset N$ . Tak zdefiniowane przekształcenie możemy przedłużyc też do dyfeomorfizmu całej sfery $\mathbb{S}^{2}$ (N można utożsamić przez dyfeomorfizm z górną półsferą; na dolnej półsferze $S$ definiujemy dyfeomorfizm tak aby $f(S)=\mathbb{S}^{2}\setminus f(N)$ (zatem $f(S)\supset S$ ), umieszczając punkt stały na przykład w biegunie południowym $r$ . Wówczas dla każdego $q\in f(S)=\mathbb{S}^{2}\setminus f(N)$ mamy $\alpha(q)=\{ r\}$ . Z tych obserwacji wynika że zbiór punktów niebłądzących rożnych od $r,s$ $\Omega(f)\setminus\{ r,s\}$ jest zawarty w wyjściowym kwadracie $D$ . Istotnie, jeśli $p\in S$ to ujemna trajektoria punktu $p$ i całego jego otoczenia jest przyciągana do bieguna południowego $r$ , zatem istnieje takie otoczenie $U$ punktu $p$ że $f^{n}(U)\cap U=\emptyset$ dla wszystkich $n$ . Podobnie, jeśli $p\in U$ , to $p$ jest przyciągane przy iteracji w przód do punkty stałego $s$ , i, z tych samych powodów $p$ jest punktem błądzącym. Ponieważ $f(V)\subset U$ i zbiór punktów niebładzących $\Omega$ jest niezmienniczy, więc również zbiór $V$ nie przecina $\Omega(f)$ . Korzystając jeszcze raz z niezmienniczości zbioru $\Omega(f)$ wykazaliśmy zatem

Stwierdzenie 7.3

Zbiór punktów niebłądzących $\Omega(f)$ jest zawarty w zbiorze

$D_{\infty}=\bigcap _{{n=-\infty}}^{{\infty}}f^{{n}}(D)\cup\{ r,s\}$

(zauważmy że zbiór $D_{\infty}$ składa się z punktów których trajektorie przez cały czas pozostają w $D$ )

Wykażemy teraz że cały zbiór $D_{\infty}$ jest zawarty w zbiorze punktów niebłądzących $\Omega(f)$ . W tym celu skonstruujemy sprzężenie topologiczne pomiędzy przekształceniem $f:D_{\infty}\to D_{\infty}$ i przesunięciem w lewo $\sigma$ na przestrzeni symbolicznej.

Rozważmy zbiór

$D_{0}^{n}=\bigcap _{{i=0}}^{n}f^{i}(D)$

Widzimy (tu będzie rysunek że $D_{0}^{n}=\bigcap _{{i=0}}^{n}f^{i}(D)$ jest sumą $2^{n}$ pionowych prostokątów, których szerokości maleją wykłądniczo z $n$ ; w szczególności- $D_{0}^{1}$ jest sumą dwóch pionowych prostokątów $V_{1},V_{2}$ . Ponadto, w każdym prostokącie $P$ pojawiającym się w $D_{0}^{n}$ są zawarte dokładnie dwa prostokąty następnej generacji; przy czym suma szerokości tych prostokątów jest równa szerokości $P$ pomnożonej przez $\alpha$ . Zatem $D_{0}^{\infty}=\bigcap _{{i=0}}^{\infty}f^{i}(D)$ jest produktem zbioru Cantora i odcinka. Zbiór ten składa się dokładnie z punktów które przez całą swoją historię w przeszłości pozostawaly w $D$ .

Podobnie, zbiór

$D_{{-n}}^{0}=\bigcap _{{i=-n}}^{0}f^{i}(D)$

składa się z $2^{n}$ poziomych prostokątów; w szczególności $D_{{-1}}^{0}$ jest to podzbiór $D$ złożony z punktów, które w pierwszej iteracji trafiają do $D$ . Zbiór

$D_{{-\infty}}^{0}=\bigcap _{{i=-n}}^{0}f^{i}(D)$

składa się zatem z punktów które przez cała swoją przyszłość pozostaną w $D$ ; podobnie jak poprzednio- widzimy ze jest to produkt ”pionowego” zbioru Cantora i poziomego odcinka.

Oczywiście $D_{\infty}$ jest przecięciem tych dwóch zbiorów; jest to zatem produkt kartezjański dwóch zbiorów Cantora. W szczególności $D_{\infty}$ jest zwarty.

Każdemu punktowi $x\in D_{\infty}$ możemy przyporządkować jego ”kod”- nieskończony ciąg symboli $(x_{i})=\pi(x)$ w przestrzeni symbolicznej $\Sigma=\{ 1,2\}^{\infty}_{{-\infty}}$ : $x_{i}=1$ jeśli $f^{i}(x)\in H_{1}$ , $x_{i}=2$ jeśli $f^{i}(x)\in H_{2}$ .

Wykażemy

Twierdzenie 7.5

Przekształcenie $f:D_{\infty}\to D_{\infty}$ jest topologicznie sprzężone z przesunięciem $\sigma$ na przestrzeni symbolicznej $\Sigma$ ; sprzężenie jest zadane przez kodowanie $\pi$ :

$\sigma\circ\pi=\pi\circ f$

Formuła $\sigma\circ\pi=\pi\circ f$ wynika wprost z definicji kodowania $\pi$ . Pozostaje więc do sprawdzenia że $\pi$ jest homeomorfizmem. Sprawdzimy najpierw że $\pi$ jest wzajemnie jednoznaczne. Różnowartościowość $\pi$ wynika z obserwacji, że zbiór punktów które mają ten sam kod $x_{{-n}},\dots,x_{0},\dots x_{n}$ jest domkniętym prostokątem $P_{n}$ o rozmiarach malejących wykładniczo z $n$ . Ponadto $P_{{n+1}}\subset P_{n}$ . Zatem przecięcie jest jednopunktowe. Z konstrukcji wynika też że przekształcenie $\pi$ jest ”na”- każdy kod jest realizowany. Wykażemy że $\pi^{{-1}}$ jest ciągłe. Wystarczy w tym celu sprawdzić że jeśli ciąg kodów $(x_{i}^{{(k)}})\to(x_{i}^{{(0)}})$ to ciąg odpowiadających punktów $\pi^{{-1}}(x_{i}^{{(k)}})\to\pi^{{-1}}(x_{i}^{{(0)}})$ . Z definicji metryki w przestrzeni $\Sigma$ wynika że dla każdego $N$ istnieje takie $k_{0}$ że dla każdego $k>k_{0}$ ciągi $(x_{i}^{{(k)}})$ oraz $(x_{i}^{{(0)}})$ mają te same wyrazy dla wszystkich $k$ takich że $|k|<N$ . Stąd zaś wynika że odpowiadające im przy przekształceniu $\pi^{{-1}}$ punkty leżą w tej samej spójnej składowej (prostokącie) zbioru $D_{{-N}}^{0}\cap D_{0}^{{N}}$ . Ponieważ długości boków tego prostokąta maleją wykłądniczo z $N$ , dowodzi to zbieżności $\pi^{{-1}}(x_{i}^{{(k)}})\to\pi^{{-1}}(x_{i}^{{(0)}})$ . Mamy więc ciągła bijekcję pomiędzy dwiema przestrzeniami metrycznymi zwartymi, zatem- homeomorfizm.

∎

Zauważmy że mamy następujące stwierdzenie (pozostawiamy dowód jako ćwiczenie)

Stwierdzenie 7.4

W przestrzeni $\Sigma$ punkty (ciągi) okresowe przy przekształceniu $\sigma$ stanowią gęsty podzbiór.

Stąd zaś wniosek

Wniosek 7.1

W zbiorze $D_{\infty}$ punkty okresowe dla $f$ są gęste.

Ponieważ każdy punkt okresowy jest zawarty w zbiorze punktów niebłądzących $\Omega(f)$ , i zbiór $\Omega(f)$ jest domknięty, porównując ze Stwierdzeniem 7.3, otrzymujemy

Twierdzenie 7.6

Zbiór punktów niebładzących $\Omega(f)$ dla dyfeomorfizmu $f$ jest równy

$D_{\infty}=\bigcap _{{n=-\infty}}^{{\infty}}f^{{n}}(D)\cup\{ r,s\}$

Punkty okresowe stanowią gęsty podzbiór $\Omega(f)$ .

do zadan: rozmaitości stabilne i niestabilne w podkowie, continuum Knastera.

Podkowa Smale'a to pewien abstrakcyjnie zdefiniowany układ dynamiczny. Jego ważność wyjaśnia poniższe twierdzenie

Twierdzenie 7.7 (Punkt homokliniczny produkuje podkowę)

Niech $f$ będzie dyfeomorfizmem rozmaitości $M$ , $p$ - hiperbolicznym punktem stałym. Załóżmy że istnieje punkt homokliniczny $q$ (czyli punkt transwersalnego przecięcia rozmaitości stabilnej $W^{s}(p)$ i niestabilnej $W^{u}(p)$ , różny od $p$ ). Wówczas zbiór punktów niebłądzących $\Omega(f)$ zawiera zwarty niezmienniczy podzbiór $\Lambda$ , homeomorficzny ze zbiorem granicznym podkowy $D_{\infty}$ ; homeomorfizm ten sprzęga działanie $f_{{|\Lambda}}$ z działaniem opisanego przekształcenia na podkowie.

Szkic dowodu

Używamy wprowadzonego powyżej układu współrzędnych. Niech $V=B^{s}_{\delta}\times B^{u}_{\delta}$ . Możemy założyć że $q\in V$ . Istotnie, jeśli $q$ jest punktem homoklinicznym to wszystkie jego obrazy- też. Ponieważ $q\in W^{s}(p)$ więc $f^{n}(q)\to p$ ; zatem któryś obraz $q$ leży w $V$ .

Twierdzimy że dla wszystkich odpowiednio dużych $k$ zbiór $f^{k}(V)\cap V$ ma co najmniej dwie składowe; punkty $q$ i $p$ należą do różnych składowych (rysunek 7.7).

$Składowe $A_{1}$, $A_{2}$ zbioru $f^{k}(V)\cap V$$

Rys. 7.7. Składowe $A_{1}$ , $A_{2}$ .

Na rysunku 7.8 przestawiono przecięcie zbiorów $A_{1}$ i $A_{2}$ z ich kolejnymi obrazami. W odróznieniu modelu liniowego, żadne z używanych tu przekształceń nie jest liniowe. Ponieważ używamy iteracji $(f^{k})^{n}=f^{{nk}}$ , więc obrazy pasków mogłyby bardzo się zdeformować. Trzeba więc sprawdzić że można wybrać $k$ na początku tak duże że wszystkie paski pozostaną ”prawie poziome”. Wybór $k$ można przeprowadzić na przykład tak:

Istnieje $n_{0}$ takie że $f^{{n_{0}}}(B^{u}_{\delta})$ zawiera całą składową zbioru $V\cap W^{u}(p)$ do której należy punkt $x$ (wynika to stąd że w tych lokalnych współrzędnych $B^{u}_{\delta}$ jest lokalną rozmaitością $W^{u}_{{loc}}$ , więc $\bigcup f^{n}(B^{u}_{\delta})=W^{u}(p)$ ).
Ustalamy małe $\varepsilon _{0}>0$ .
Ustalamy $\eta=\eta(n_{0},\varepsilon _{0})$ takie że obraz $f^{{n_{0}}}(\gamma)$ jest $\varepsilon _{0}$ bliski ( $C^{1}$ ) zbiorowi $f^{{n_{0}}}(B^{u}_{\delta})$ o ile $\gamma$ jest $\eta$ - bliskie ( $C^{1}$ ) $B^{u}_{\delta}$ .
Ustalamy $l\in\mathbb{N}$ na tyle duże że każdy immersyjnie zanurzony dysk zawarty w $V$ , i $\varepsilon$ -bliski w $C^{1}$ dyskowi $W^{u}(p)\cap A_{2}$ jest przekształcany przez $f^{l}$ na zbiór (dysk immersyjny) $\gamma$ taki że $\gamma\cap V$ jest $\eta$ -bliskie $B^{u}_{\delta}$ .

Tutaj wykorzystujemy $\lambda$ -lemat.
Ustalamy $k=n_{0}+l$