Zagadnienia

8.1 Solenoid
8.2 Dyfeomorfizmy Anosowa
8.3 Stabilność zbiorów hiperbolicznych
8.4 DA atraktor

8. Zbiory hiperboliczne. Dyfeomorfizmy i potoki Anosowa. Stabilność zbiorów hiperbolicznych.

W poprzednim wykładzie opisaliśmy skomplikowany zbiór niezmienniczy dla dyfeomorfizmu- Podkowe Smale'a. Teraz opiszemy kilka innych przykładów zbiorów hiperbolicznych.

Definicja 8.1

Niech $f$ będzie dyfeomorfizmem gładkiej zwartej rozmaitości $M$ . Zakładamy, jak zawsze w tym wykładzie, że $M$ jest zanurzona w przestrzeni euklidesowej $R^{N}$ , i ma, w takim razie, odziedziczoną z $R^{N}$ strukturę Riemannowska ( w szczególności, długości wektorów w przestrzeni stycznej mierzymy używając długości zmierzonej w $\mathbb{R}^{N}$ .

Niech $\Lambda$ będzie zwartym niezmienniczym podzbiorem $M$ . Mówimy że $\Lambda$ ma strukturę hiperboliczną jeśli w każdym punkcie $p$ zbioru $\Lambda$ istnieje rozkład przestrzeni stycznej $T_{p}M$ na sumę prostą dwóch podprzestrzeni: $T_{p}M=E^{s}_{p}\oplus E^{u}_{p}$ . Rozkład ten ma być niezmienniczy ze względu na $f$ :

$D_{p}f(E^{u}_{p})=E^{u}(f(p))$

$D_{p}f(E^{s}_{p})=E^{s}(f(p))$

Ponadto, żądamy aby istniały stałe $C>0,\lambda>1$ takie że

$||D_{p}f^{n}(v)||\le C\lambda^{{-n}}||v||$

dla $v\in E^{s}_{p}$ oraz

$||D_{p}f^{{-n}}(v)||\le C\lambda^{{-n}}||v||$

dla $v\in E^{u}_{p}$ .

Uwaga 8.1

Warto zauważyć że jeśli wektor $v\in T_{p}M$ ma (w rozkładzie na sumę prosta $T_{p}M=E^{s}_{p}\oplus E^{u}_{p}$ niezerową drugą składową, to długości obrazów wektora $Df^{n}(v)$ ( $n>0$ ) rosną z $n$ wykładniczo szybko.

Mamy następujące ważne Twierdzenie

Twierdzenie 8.1 (Twierdzenie o rozmaitości stabilnej dla zbiorów hiperbolicznych)

Niech $f:M\to M$ będzie dyfeomorfizmem klasy $C^{k}$ . Niech $\Lambda$ będzie niezmienniczym zbiorem hiperbolicznym dla $f$ . Wówczas istnieje $\varepsilon>0$ i $\tilde{\lambda}<\lambda$ , $\tilde{C}>0$ takie że dla każdego $p\in\Lambda$ zbiory

$W^{s}_{\varepsilon}(p,f)=\{ q\in M:\forall n\ge 0 f^{n}(q)\in B(f^{n}p,\varepsilon)\}=\{ q\in M:\forall n\ge 0 d(f^{n}(q),f^{n}(p))<\tilde{C}\tilde{\lambda}^{{-n}}\}$

oraz

$W^{u}_{\varepsilon}(p,f)=\{ q\in M:\forall n\ge 0 f^{{-n}}(q)\in B(f^{{-n}}p,\varepsilon)\}=\{ q\in M:\forall n\ge 0 d(f^{{-n}}(q),f^{{-n}}(p))<\tilde{C}\tilde{\lambda}^{{-n}}\}$

są gładkimi podrozmaitościami klasy $C^{k}$ w $M$ . Ponadto $T_{p}W^{s}_{\varepsilon}(p,f)=E_{p}^{s}$ oraz $T_{p}W^{u}_{\varepsilon}(p,f)=E_{p}^{u}$

Uwaga 8.2

Zauważmy że równość definiująca $W^{s}_{\varepsilon}(p,f)$ (i podobnie $W^{u}_{\varepsilon}(p,f)$ ) na dwa różne sposoby też wymaga dowodu!

do napisania

∎

Definicja 8.2

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną. Mówimy że odwracalne przekształcenie $T:X\to X$ jest ekspansywne jeśli istnieje $\varepsilon>0$ takie że dla dowolnych $x,y\in X$ istnieje $n\in\mathbb{Z}$ takie że $T^{n}(x),T^{n}(y)>\varepsilon$ .

Wniosek 8.1

Obcięcie dyfeomorfizmu do zbioru hiperbolicznego jest przekształceniem ekspansywnym.

Zauważmy że w definicji zbioru hiperbolicznego nie żądamy żeby przestrzenie $E^{u}_{p},E^{s}_{p}$ zależały w sposób ciągły od punktu. Wynika to jednak z innych włąsności:

Stwierdzenie 8.1

Przestrzenie $E^{s}_{p}$ , $E^{u}_{p}$ zależą w ciągły sposób od $p$ .

Weźmy ciąg punktów $\Lambda\ni p_{n}\to p\in\Lambda$ . W każdej przestrzeni $E^{s}_{{p_{m}}}$ wybieramy bazę ortonormalną

$(v^{1}_{m},\dots,v^{s}_{m}$

. Przechodząc do podciągu, można założyć że

$v^{i}_{m}\to v^{i}\in T_{p}M.$

Skoro

$||Df^{n}_{{p_{m}}}v^{i}_{m}||\le C\lambda^{{-n}}||v^{i}_{m}||$

to (z ciągłości) mamy także

$||Df^{n}_{{p_{m}}}v^{i}||\le C\lambda^{{-n}}||v^{i}||$

Zatem, $v^{i}\in E^{s}_{p}$ .

Pokazaliśmy więc że

$\lim E^{s}_{{p_{m}}}\subset E^{s}_{p}.$

W ten sam sposób sprawdzamy że

$\lim E^{u}_{{p_{m}}}\subset E^{u}_{p}.$

Skoro $E^{s}_{p}\oplus E^{u}_{p}=T_{p}M$ to musi być

$\lim E^{s}_{{p_{m}}}=E^{s}_{p},$

$\lim E^{u}_{{p_{m}}}=E^{u}_{p}$

∎

Wniosek 8.2

Podprzestrzenie $E^{s}_{p}$ i $E^{u}_{p}$ są ”jednostajnie transwersalne”, tzn istnieje $\alpha _{0}$ takie że dla lażdego $p\in\Lambda$ i dla dowolnych $v\in E^{s}_{p}$ , $w\in E^{u}_{p}$ kąt między wektorami $v,w$ jest większy niż $\alpha _{0}$ .

Niech $\alpha(p)$ będzie minimalnym kątem między $v\in E^{s}_{p}$ , $w\in E^{u}_{p}$ . z poprzedniego stwierdzenia wynika że $\alpha(p)$ jest ciągłą funkcją $p$ . Ze zwartości $\Lambda$ wynika że $\alpha(p)\ge\alpha _{0}>0$ .

∎

Definicja 8.3

Globalna rozmaitośc stabilna (niestabilna)

Przy założeniach takich jak w poprzednim twierdzeniu definiujemy zbiory

$W^{s}(p,f)=\{ q\in M:d(f^{n}(q),f^{n}(p)\to 0~~{\rm gdy}~~n\to\infty=\bigcup _{{j=0}}^{\infty}f^{{-j}}(W^{s}_{\varepsilon}(p,f)$

oraz

$W^{u}(p,f)=\{ q\in M:d(f^{{-n}}(q),f^{{-n}}(p)\to 0~~{\rm gdy}~~n\to\infty=\bigcup _{{j=0}}^{\infty}f^{{j}}(W^{u}_{\varepsilon}(p,f)$

Zbiory te nazywamy odpowiednio globalną rozmaitością stabilną i niestabilną. Ta definicja wymaga uzasadnienia:

Ćwiczenie 8.1

Przy założeniach jak w poprzednim Twierdzeniu, wykazać że zbiory $W^{s}(p,f)$ i $W^{u}(p,f)$ są immersyjnymi podrozmaitościami klasy $C^{k}$ w $M$

Ćwiczenie 8.2

Sprawdzić że podkowa Smale'a, zdefiniowana w poprzednim wykładzie, jest zbiorem hiperbolicznym.

Stwierdzenie 8.2 (Zbió hiperboliczny dla bliskiego przekształcenia)

Niech $\Lambda$ będzie zbiorem hiperbolicznym dyfeomorfizmu $f$ . Wówczas istnieje otoczenie $V$ zbioru $\Lambda$ takie że jeśli $g$ jest dyfeomorfizmem, dostatecznie bliskim (w $C^{1}$ metryce) $f$ na $V$ , to zbiór

$\Lambda _{V}^{g}=\bigcap _{{n\in\mathbb{Z}}}g^{n}(\overline{V})$

jest hiperboliczny.

Uwaga 8.3

Nie wiemy jeszcze jak zbiór $\Lambda _{V}^{g}$ jest związany z $\Lambda$ , a nawet- czy jest niepusty.

Na zbiorze $\Lambda$ mamy rozkład przestrzeni stycznej $T_{p}M=E^{s}_{p}\oplus E^{u}_{p}$ , zależny wsposób ciągły od $p$ . Możemy ten rozkłąd rozszerzyć do ciągłego (niekoniecznie niezmienniczego!) na pewne otoczenie $\Lambda\subset\tilde{V}$ .

Rozpatrujemy teraz rodzinę stożków poziomych i pionowych. Stożki poziome to

$H^{\gamma}_{x}=\{ v+w:v\in E^{u}_{x},w\in E^{s}_{x},~~~||w||\le\gamma||v||\}$

∎

8.1. Solenoid

W tym rozdziale skonstruujemy pewien hiperboliczny atraktor (czyli zbiór który przyciąga całe swoje otoczenie). Do tej pory mielismy do czynienia z przekształceniami (lub potokami) Morse'a Smale'a, w których jedynymi atrakotrami były punkty stałe (stacjonarne) lub orbity okresowe. Ten atraktor jest zupełnie innego rodzaju.

Rozpatrzmy pełny torus $M=\mathbb{S}^{1}\cap\mathbb{D}^{2}$ . Okrąg parametryzujemy argumentem $t$ ( $t\mapsto e^{{2\pi it}}$ ), zaś na dysku jednostkowym $D$ używamy zespolonej zmiennej $z$ . NA okręgu rozpatrujemy przekształcenie $z^{2}$ czyli $t\mapsto 2t_{{mod1}}$ Rozpatrujemy przekształcenie $f:M\to M$ dane wzorem

$f(t,z)=\left(g(t),\frac{1}{4}z+\frac{1}{2}e^{{2\pi it}}\right)$

$f$ przekształca zatem każdy dysk $D_{t}$ odpowiadający $t={\rm const}$ na mniejszy dysk, o promieniu czterokrotnie zmniejszonym, zawarty w dysku o dwukrotnie powiększonym argumencie. Łatwo można zobaczyć jak wygląda dysk $t=t_{0}$ przecięty z obrazem $f(M)$ : jest to suma dwóch rozłacznych dysków, każdy o promieniu $\frac{1}{4}$ . (Powstały jako obrazy odpowiednich dysków dla argumentów $\frac{t_{0}}{2}$ i $\frac{t_{0}}{2}+\pi$ ).

rysunek

Niech $M_{k}=\bigcap{j=0}^{k}f^{j}(M)=f^{j}(M)$ . Następujące stwierdzenie wynika łatwo z konstrukcji

Stwierdzenie 8.3

Dla każdego $t$ zbiór $M_{k}\cap D_{t}$ jest sumą $2^{k}$ rozłacznych domkniętych dysków o promieniu $\frac{1}{4^{k}}$ każdy. Dla każdego odcinka $[t_{1},t_{2}]$ zbiór $M_{k}\cap\bigcup _{{t\in[t_{1},t_{2}]}}D_{t}$ jest sumą $2^{k}$ rozłącznych pełnych walców (oczywiście mówimy o zbiorach dyfeomorficznych z walcami, nie o walcach geometrycznych).

dwa rysunki Niech wreszcie $\Lambda=\bigcap f^{j}(M)$ . Jest to nasz atraktor; z definicji wynika że jeśli $x\i M$ to $d(f^{n}(x),\Lambda)\to 0$ gdy $n\to\infty$ . Nietrudno sprawdzić że przecięcie $D_{t}\cap\Lambda$ jest homeomorficzne ze zbiorem Cantora.

Wykażemy

Twierdzenie 8.2 (Własności topologiczne Solenoidu)

Zbiór $\Lambda$ ma następujące własności:

$\Lambda$ jest spójny.
$\Lambda$ nie jest lokalnie spójny.
$\Lambda$ nie jest łukowo spójny.
Punkty okresowe dla $f$ stanowią gęsty podzbiór $\Lambda$ .
$f_{{|\Lambda}}$ jest topologicznie tranzytywne: dla dowolnych otwartych podzbiorów $U,V$ przecinających $\Lambda$ istnieje $n\in\mathbb{N}$ takie że $f^{n}(U)\cap V\cap\Lambda\neq\emptyset$ .

Szkic dowodu

Spójność $\Lambda$ wynika stąd że $\Lambda=\bigcap M_{k}$ ; jest to zstępujący ciąg zbiorów zwartych i spójnych.

Przypomnijmy że lokalna spójność oznacza że dla każdego $x\in\Lambda$ mamy:

$\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall y\in B(x,\delta)\exists G\subset\Lambda~~{\rm spójny~taki~że}~~x,y\in G$

. Tymczasem (rysunek) zbiór $M_{k}$ przecięty z $\bigcup _{{t\in[t_{1},t_{2}]}}D_{t}$ jest sumą $2^{k}$ skręconych walców; jeśli punkty $x,y$ należą do róznych walców to nie da się ich połączyć spójnym podzbiorem $\Lambda$ o małej średnicy (jedyne ”połączenie” między tymi walcami prowadzi dookoła torusa).

Wykażemy teraz że zbiór $\Lambda$ nie jest łukowo spójnym tzn że nie każde dwa punkty $\Lambda$ dadzą się połaczyc krzywą zawartą w $\Lambda$ . Rozważmy w tym celu dysk $D_{0}$ ; oczywiście $f(D_{0})\subset D_{0}$ . Wybierzmy punkt $p\in D_{0}\cap\Lambda$ .

Zbiór $M_{k}\cap D_{0}$ jest sumą rodziny $D_{{k,0}}$ złożonej z $2^{k}$ dysków, które można łączyc drogami wzdłuż rozciągniętego torusa $f^{k}(M)$ . Po wykonaniu jednego obrotu, trafiamy do kolejnego dysku w zbiorze $M_{k}\cap D_{0}$ ; po wykonaniu $2^{k}$ obrotów- trafiamy do wyjściowego dysku. Zatem możemy wybrać punkt $q_{1}$ w tym dysku, ktory jest otrzymany z dysku zawierającego punkt $p$ przez $2^{{k-1}}$ obrotów. Zatem- każda droga łacząca w $M_{k}$ punkty $p$ i $q_{k}$ musi przeciąć $D_{0}$ przynajmniej $2^{{k-1}}$ razy, i wykonać pełny obrót wokół torusa pomiędzy każdymi dwoma przecieciami. W następnym kroku konstrukcji, w dysku z rodziny $D_{{k,0}}$ zawierającym $p$ pojawiają się na dwa dyski z rodziny $D_{{k+1,0}}$ . Wybieramy ten z nich, który zawiera punkt $p$ ; oznaczmy go $D_{{k+1}}^{p}$ . Podobnie, w dysku $k$ -tej generacji zawierającym $q_{k}$ pojawią się dwa dyski $k+1$ -szej generacji. Jeden z tych dysków da się połaczyć z $D_{{k+1}}^{p}$ drogą która obraca się wokół torusa $2^{{k-1}}$ razy; drugi- drogą która obraca się $2^{{k}}$ razy. Wybieramy ten drugi, i jakiś punkt $q_{{k+1}}$ w tym dysku. Oczywiście tak zdefiniowany ciąg $q_{k}$ jest zbieżny i jego granica $q$ jest w $\Lambda$ . Z konstrukcji wynika że każda droga w $\Lambda$ , łącząca $p$ i $q$ , musiałaby przecinać $D_{0}$ przynajmniej $k$ razy i pomiędzy dwoma przecięciami wykonać przynajmniej jeden obrót wokół torusa. Ponieważ tak musi być dla każdego $k$ , taka droga nie istnieje (przeczy to ciągłości drogi).

Sprawdzimy gęstość orbit okresowych. Zauważmy najpierw że istnieje gęsty zbiór argumentów $t$ dla których dysk $D_{t}$ jest przekształcany przez pewną iterację $f^{n}$ (zależna od $t$ ) w siebie (są to po prostu argumenty $t$ odpowiadające punktom okresowym dla przekształcenia $z^{2}$ na okręgu). Oczywiście w każdym takim dysku znajdzie się, w takim razie, punkt stały dla $f^{n}$ . Zatem- w każdym zbiorze postaci $\bigcup _{{t\in t_{1},t_{2}}}D_{t}$ jest jakiś punkt okresowy dla $f$ . Rozważmy teraz dowolne otoczenie $U$ dowolnego punktu $p\in\Lambda$ . Istnieje ”cienki cylinder” - czyli zbiór postaci $C_{k}=M_{k}\cap\{ t\in T_{1},T_{2}\}$ (dla pewnych $T_{1},T_{2}$ ) zawarty w $U$ (dlaczego?). Wystarczy teraz zauważyć że $f^{k}(C_{k})$ jest zbiorem postaci $\bigcup _{{t\in t_{1},t_{2}}}D_{t}$ . Zatem znajdzie się w nim jakiś punkt okresowy dla $f$ . Skoro w nim- to także w zbiorze $C_{k}$ , a więc- także w $U$ .

∎

Stwierdzenie 8.4

$\Lambda$ jest zbiorem hiperbolicznym.

Szkic dowodu

Zapiszemy różniczkę przekształcenia $f$ we współrzędnych $(t,z)$ :

$Df(t,z)=\left(\begin{array}[]{rrrr}2&0\\ \pi i\exp(2\pi it)&\frac{1}{4}Id\\ \end{array}\right)$

Wektor styczny zapisujemy jako $(u,v)$ , gdzie $u\in\mathbb{R},v\in\mathbb{C}$ . Pod działaniem różniczki wektor $(0,v)$ jest przekształcany na wektor $(0,\frac{1}{4}v)$ ; mamy więc wyznaczoną wiązkę stabilną. Wykazanie istnienia wiązki niestabilnej jest trudniejsze. Metoda opisana poniżej nazywana jest metodą stożków niezmienniczych.

Wykażemy najpierw że istnieje ”wiązka niezmiennicza stożków niestabilnych”. W kazdym punkcie solenoidu $S$ rozważamy stożek (podzbiór przestrzeni stycznej zaczepionej w tym punkcie), opisany nierównością:

$S(p)=\{(u,v)\in T_{p}M:|u|>\frac{1}{2}||v||$

(Zatem jest to rodzina stożków połozonych ”poziomo”). Różniczka $f$ nie zachowuje kierunku poziomego, czyli wektora postaci $(u,0)$ (tak jest tylko dla $t=0$ . Ale- zachowuje rodzinę stożków poziomych

Ćwiczenie 8.3

Sprawdzić że dla każdego $p\in S$ mamy

$Df(S(p))\subset S(f(p))$

Widzimy teraz jak można próbować uzyskać szukaną foliację niestabilną: skoro $Df(S(p))\subset S(f(p))$ , to róWnież $Df(S(f^{{-1}}p))\subset S(p)$ , itd i otrzymujemy zstępujący ciąg stożków:

$Df^{n}(S(f^{{-n}}(p))\subset S(p))$

Jeśli wykażemy że przecięcie tego ciągu stożków, zaczepionych w punkcie $p$ jest jedną prostą (zawartą w $T_{p}(M))$ ) otrzymamy jednowymiarową niezmienniczą foliację. Jeśli dodatkowo sprawdzimy, że $Df$ rozciąga wektory należace do prostych z tak wybranej foliacji- otrzymamy brakującą foliację niestabilną.

Najpierw sprawdzimy warunek rozciągania: Na stożkach $S(p)$ możemy użyc dowolnej normy równoważnej z normą euklidesową (czyli np z normą $|u|+||v||$ ). Ponieważ $||v||\le 2|u|$ , więc na stożkach $S(p)$ równoważną normą jest po prostu $|||(u,v)|||=|u|$ . Oczywiście, ta norma jest mnożona przez $2$ przy działaniu różniczki $Df$ . Zatem warunek rozciągania został sprawdzony.

Aby sprawdzić że przecięcie $Df^{n}(S(f^{{-n}}(p))$ jest jedną prostą, zobaczymy jak zmniejsza (zwęża) się stożek $S(p)$ po zastosowaniu operatora rózniczki $Df_{p}$ . Weźmy dwa wektory $(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2})\in S(p)$ . ”Nachylenia” tych wektorów to wartości $\frac{v_{1}}{u_{1}}$ , $\frac{v_{2}}{u_{2}}$ . Niech teraz $(U_{1},V_{1})=Df((u_{1},v_{1})$ , $(U_{2},V_{2})=Df((u_{2},v_{2})$ . Z wzoru na różniczkę $Df$ dostajemy od razu:

$\left|\frac{V_{1}}{U_{1}}-\frac{V_{2}}{|U_{2}|}\right|=\frac{1}{8}\left|\frac{v_{1}}{u_{1}}-\frac{v_{2}}{u_{2}}\right|$

Zatem różnica między nachyleniami obrazów przy $Df^{k}$ dwóch dowolnych wektorów należących do stożka maleje wykładniczo z $k$ . Wynika stąd oczywiście że przecięcie zstępującego ciągu stożków

$Df^{n}(S(f^{{-n}}(p))\subset S(p))$

składa się dokładnie z jednej prostej. Jest to szukana przez nas foliacja niestabilna $E^{u}$ .

∎

8.2. Dyfeomorfizmy Anosowa

Zaczniemy od przykładu. Rozważmy automorfizm algebraiczny torusa $\mathbb{T}^{2}$ określony wzorem:

$T(x)=\left(\begin{array}[]{rrrr}2&1\\ 1&1\\ \end{array}\right)x$

(8.1)

Mówiąc precyzyjniej, przekształcenie $T$ najpierw jest określone wzorem 8.1 na płaszczyźnie. Ponieważ $T$ jest liniowe i przekształca punkty o współrzędnych całkowitych na punkty o współrzędnych całkowitych, $T$ indukuje gładkie przekształcenie torusa $f:\mathbb{T}^{2}\to\mathbb{T}^{2}$ . Zauważmy że $f$ jest odwracalne (ponieważ wyznacznik macierzy jest równy $1$ ); przekształcenie odwrotne jest indukowane przez przekształcenie liniowe płaszczyzny o macierzy:

$T(x)=\left(\begin{array}[]{rrrr}1&-1\\ -1&2\\ \end{array}\right)x$

Punkt $p=(0,0)$ jest punktem stałym hiperbolicznym. Wartości własne dla macierzy przekształcenia $T$ to $\lambda _{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1$ i $\lambda _{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}<1$ . Odpowiednie (wzajemnie prostopadłe) kierunki własne to $y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$ , $y=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}x$ . Oznaczmy prostą wyznaczoną przez pierwsze równanie na płaszczyźnie przez $L_{1}$ , drugą prostą przez $L_{2}$ . Wówczas $T(L_{1})=L_{1}$ (ta prosta jest rozciągana przy działąniu $T$ ); podobnie $T(L_{2})=L_{2}$ (ta prosta jest ściągana przy działaniu $T$ ).

Zauważmy dalej że jeśli $p$ jest dowolnym punktem płąszczyzny, to obrazem prostej afinicznej $p+L_{1}$ jest prosta afiniczna $T(p)+L_{1}$ ; podobnie dla $L_{2}$ . Mamy więc w każdym punkcie płaszczyzny wyznaczony kierunek stabilny $E^{s}$ i niestabilny $E^{u}$ . Mamy też globalne rozmaitości niestabilną $p+L_{1}$ i stabilną $p+L_{2}$ . Po zrzutowaniu na torus proste $p+L_{1}$ , $p+L_{2}$ utworzą foliacje stabilną i niestabilną dla przekształcenia $f$ . Zrzutowane proste są gęsto nawiniętymi obmotkami na torusie.

Wniosek 8.3

Dla tego dyfeomorfizmu cała rozmaitość $\mathbb{T}^{2}$ jest zbiorem hiperbolicznym.

Stwierdzenie 8.5

Zdefiniowany powyżej dyfeomorfizm $f:\mathbb{T}^{2}\to\mathbb{T}^{2}$ ma gęsty zbiór orbit okresowych.

Dowód pozostawimy jako zadanie:

Ćwiczenie 8.4

Wykazać że jeśli $f$ jest hiperbolicznym automorfizmem torusa $\mathbb{T}^{m}$ to punkt $x\in\mathbb{T}^{m}$ jest okresowy wtedy i tylko wtedy $x=\pi(X)$ dla pewnego punktu $X\in\mathbb{R}^{m}$ o wymiernych współrzędnych.

∎

Zauważmy że ten dyfeomorfizm jest bardzo różny od dyfeomorfizmów Morse'a- Smale'a, omawianych przez nas wcześniej. Dla tamtych dyfeomorfizmów zbiór punktów niebładzących składał się ze skończonej liczby hiperolicznych orbit okresowych. Dowód ich strukturalnej stabilności (przeprowadziliśmy dowód dla dyfeomorfizmów okręgu w wykładzie ??? rozpoczynał się od sprawdzenia że przy małym zaburzeniu wszystkie orbity zachowają się.

W tej nowej sytuacji mamy nieskończenie wiele hiperbolicznych orbit okresowych. Mimo to, przy małym zaburzeniu wszystkie te orbity zachowują się! Twierdzenie to ma daleko idące uogólnienia (stabilność dowolnych zbiorów hiperbolicznych). Najpierw podamy elegancki dowód (pochodzący od J. Mosera) dla automorfizmu algebraicznego torusa.

Twierdzenie 8.3

Hiperboliczny automorfizm torusa $\mathbb{T}^{m}$ jest $C^{1}$ strukturalnie stabilny.

Będziemy dla uproszczenia zakładali że mamy do czynienia z automorfizmem $f$ dwuwymiarowego torusa. Jest on reprezentowany przez macierz przekształcenia liniowego $T$ na płaszczyźnie. NIech $g$ będzie dyfeomorfizmem torusa bliskim $f$ w $C^{1}$ topologii. Twierdzimy że wówczas istnieje dyfeomorfizm płaszczyzny $G$ , który jest $C^{1}$ bliski $T$ , i taki że $\pi\circ G=g$ . Istotnie, mamy $f\circ\pi=\pi\circ T$ . Zatem, jeśli $g(x)$ jest $\varepsilon$ bliskie $f(x)$ to dla każdego $X\in\pi^{{-1}}(x)$ istnieje dokładnie jeden punkt $Y\in\pi^{{-1}}(g(x)$ który jest $\varepsilon$ bliski punktowi $T(X)$ na płaszczyźnie. Kładziemy $G(X)=Y$ . $G$ jest zatem dobrze określone; jest gładkie ponieważ -lokalnie $G$ zapisuje się jako $\pi^{{-1}}\circ g\circ\pi$ ( dla pewnej gałezi $\pi^{{-1}}$ ). Zastosujemy do przekształcenia liniowego $T$ i do dyfeomorfizmu $G$ twierdzenie Grobmana- Hartmana. Możemy je zastosować bo $G$ jest $C^{1}$ małym zaburzeniem $T$ w całym $\mathbb{R}^{2}$ . Zatem $G$ możemy zapisać jako $G=T+\phi$ gdzie $phi$ jest klasy $C^{1}$ i jest $C^{1}$ bliskie zera.

Wspomniane Twierdzenie gwarantuje istnienie homeomorfizmu $H:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ , który jest sprzężeniem między $T$ i $G$ :

$H\circ T=G\circ H$

(8.2)

Oczywiście, nie wynika stąd że homeomorfizm $H$ da się zrzutować do homeomorfizmu $h$ na torusie, sprzęgającego działanie $f$ i $g$ . Przypomnijmy, że w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana (rozdział $6$ ) homeomorfizm $H$ otrzymuje się w postaci $I+u$ ( $I$ jest przekształceniem identycznościowym). Na to żeby $H=I+u$ rzutowało się do $T^{2}$ potrzeba aby dla każdego $p\in\mathbb{Z}^{2}$ istniało $q\in\mathbb{Z}^{2}$ takie że

$(I+u)(X+p)=q+(I+u)(X)$

czyli $u(X+p)=q+X+u(X)$ , $u(X+p)-X=q-p$ . Jeśli $H$ ma być bliskie identyczności (czyli $||u||$ ma być małe) to trzeba aby $u(x+p)=u(x)$ , czyli żeby $u$ było (dwu)okresowe. Wówczas $h=\pi\circ(I+u)\circ\pi^{{-1}}$ jest dobrze określone i jest homeomorfizmem torusa. Musimy zatem wykazać że w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana możemy poszukiwać rozwiązania zagadnienia 8.2 w postaci $H=I+u$ gdzie u należy do podprzestrzeni przestrzeni $C^{0}_{b}(\mathbb{R}^{2}$ złożonej z funkcji dwuokresowych. Oznaczmy tę podprzestrzeń przez $\mathcal{P}$ . Tak jak w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana, wprowadzamy operator $S$ działający w przestrzeni funkcji $C^{0}_{b}(\mathbb{R}^{2}$ , określony wzorem $S(u)=u\circ T-T\circ u$ . Tak samo jak poprzednio, stwierdzamy że $S$ jest odwracalny, skoro $T$ jest hiperboliczny. Zauważamy teraz że $S$ przekształca funkcję dwuokresową $u$ na funkcję dwuokresową. Zatem $S$ zachowuje przestrzeń $\mathcal{P}$ . Przekształcenie

$K(u)=S^{{-1}}(\phi(I+u))$

jest kontrakcją w normie $C_{b}^{0}$ i zachowuje domkniętą podprzestrzeń $\mathcal{P}$ . Zatem jedyny punkt stały $u$ leży w podprzestrzeni $\mathcal{P}$ .

Punkt stały $u$ spełnia równanie

$(I+u)\circ T=(T+\phi)(I+u)$

czyli $H=I+u$ spełnia

$H\circ T=G\circ H$

. Wówczas homeomorfizm $H$ rzutuje się do homeomorfizmu $h:\mathbb{T}^{2}\to\mathbb{T}^{2}$ , czyli $\pi\circ H=h\circ\pi$ i $h$ jest szukanym sprzężeniem: $h\circ f=g\circ h$ .

∎

Wniosek 8.4

Jest to jeszcze jeden sposób na przekonanie się że w wymiarze $\ge 2$ dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a na gładkiej zwartej rozmaitości nie stanowią gęstego podzioru w $C^{1}$ topologii.

8.3. Stabilność zbiorów hiperbolicznych

Stwierdzenie 8.6 (Zbió hiperboliczny dla bliskiego przekształcenia)

$\Lambda _{V}^{g}=\bigcap _{{n\in\mathbb{Z}}}g^{n}(\overline{V})$

jest hiperboliczny.

Uwaga 8.4

Nie wiemy jeszcze jak zbiór $\Lambda _{V}^{g}$ jest związany z $\Lambda$ , a nawet- czy jest niepusty.

Na zbiorze $\Lambda$ mamy rozkład przestrzeni stycznej $T_{p}M=E^{s}_{p}\oplus E^{u}_{p}$ , zależny wsposób ciągły od $p$ . Możemy ten rozkład rozszerzyć do ciągłego (niekoniecznie niezmienniczego!) na pewne otoczenie $\Lambda\subset\tilde{V}$ .

Rozpatrujemy teraz rodzinę stożków poziomych i pionowych. Stożki poziome to

$H^{\gamma}_{x}=\{ v+w:v\in E^{u}_{x},w\in E^{s}_{x},~~~||w||\le\gamma||v||\},$

stożki pionowe:

$V^{\gamma}_{x}=\{ v+w:v\in E^{u}_{x},w\in E^{s}_{x},~~~||v||\le\gamma||w||\}.$

Jeśli $x\in\Lambda$ , to stożek poziomy $H^{\gamma}_{x}$ jest przekształcany przez $D_{x}f$ w stożek poziomy zaczepiony w punkcie $f(x)$ ; podobnie stożek pionowy $V^{\gamma}_{x}$ jest przekształcany przez $D_{x}f^{{-1}}$ w stożek pionowy w punkcie $f^{{-1}}(x)$ ; dokładniej- mamy nawet pewien ”zapas”- obraz $H^{\gamma}_{x}$ jest zawarty w $H^{{\gamma _{\lambda}^{{-2}}}}x$ ; podobnie dla stożków pionowych. Dzięki temu, jeśli $g$ jest bliskie $f$ w $C^{1}$ metryce, to również $D_{x}g$ zachowuje tę rodzinę stożków poziomych i pionowych; nie tylko dla $x\in\Lambda$ ale też dla $x\in V$ , gdzie $V$ jest pewnym otoczeniem $\Lambda$ .

Wykażemy że stąd wynika dla punktów $x\in\Lambda _{V}^{g}$ istnienie niezmienniczego rozkładu $T_{x}M$ na podprzestrzeń stabilną i niestabilną przy działaniu $g$ .

W tym celu udowodnimy następujący

Lemat 8.1

Niech $L_{m}:\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{u}\oplus\mathbb{R}^{s}\to\mathbb{R}^{u}\oplus\mathbb{R}$ będzie ciągiem przekształceń liniowych takich że

$L_{m}(H^{\gamma})\subset{\rm int}H^{\gamma}$
$L_{m}^{{-1}}V_{\gamma}\subset{\rm int}V^{\gamma}$
$||L_{m}(u)||>\lambda||u||$ dla $u\in H^{\gamma}$
$||L_{m}(v)||<\lambda^{{-1}}||v||$ dla $v\in L_{m}^{{-1}}(V^{\gamma})$ .

Wówczas zbiory

$E^{u}_{m}=\bigcap _{{i=0}}^{\infty}L_{{m-1}}\circ L_{{m-2}}\circ\dots\circ L_{{m-i}}H^{\gamma}$

oraz

$E^{s}_{m}=\bigcap _{{i=0}}^{\infty}L^{{-1}}_{m}\circ L^{{-1}}_{{m+1}}\circ\dots\circ L^{{-1}}_{{m+i}}V^{\gamma}$

są (odpowiednio) $s$ - i $u$ - wymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi $\mathbb{R}^{n}$

∎

do skończenia

8.4. DA atraktor

do uzupełnienia Naszkicujemy konstrukcję interesujacego atraktora, który powstaje dla przekształcenia uzyskanego przez modyfikację automorfizmu ergodycznego torusa (stąd nazwa: Derived from Anosov). Zaczynamy od opisanego w poprzednim rozdziale hiperbolicznego automorfizmu torusa $f$ wyznaczonego przez przekształcenie liniowe

$T(x)=\left(\begin{array}[]{rrrr}1&-1\\ -1&2\\ \end{array}\right)x$

Punkt $p=(0,0)$ jest punktem stałym hiperbolicznym. Zmodyfikujemy przekształcenie w otoczeniu punktu $p$ tak aby stał się źródłem; blisko pojawią się dwa inne punkty stałe (siodła). Ustalmy więc małe otoczenie $U$ punktu $p$ ; będziemy w nim używali współrzędnych w bazie wyznaczonej przez kierunki własne. Zatem zapis wektora $(u_{1},u_{2})$ oznacza że wektor ten jest kombinacją liniową $(u_{1}v_{u}+u_{2}v_{s})$ . Zmodyfikujemy przekształcenie $f$ ”likwidując” ściaganie w kierunku stabilnym. Formalnie, można to zrobic na przykład tak: Weźmy pomocniczą funkcję $\varphi$ klasy $C^{\infty}$ o wykresie w kształcie ”dzwonu”: $\varphi(x)=1$ dla $|x|<r_{0}$ , $\varphi(x)=0$ dla $|x|>r_{0}$ . Rozpatrujemy w otoczeniu punktu $(0,0)$ pole wektorowe o równaniu:

$\begin{cases}\dot{u}_{1}=0\\ \dot{u}_{2}=u_{2}\varphi(||u||)\\ \end{cases}$

Oznaczając przez $F_{t}$ potok tego pola widzimy że

$DF_{t}(0,0)=\left(\begin{array}[]{rrrr}1&0\\ 0&e^{t}\\ \end{array}\right)$

i że poza otoczeniem zera $||u||<r_{0}$ $F_{t}$ jest identycznością.

Nasze nowe przekształcenie to

$g=F_{t}\circ f$

gdzie $t$ jest na tyle duże że $e^{t}$ jest większe od odwrotności mniejszej wartości własnej $T$ . We współrzędnych w bazie wektorów własnych $T$ macierz różniczki $g$ ma postać

$Dg(0,0)=\left(\begin{array}[]{rrrr}\lambda _{u}&0\\ 0&e^{t}\lambda _{s}\\ \end{array}\right)$

Zatem punkt $(0,0)$ stał się źródłem. Nowe przekształcenie też jest dyfeomorfizmem.

Wykażemy

Twierdzenie 8.4

Dla dyfeomorfizmu $g$ mamy:

$\Omega(g)=\{ p\}\cup\Lambda$

gdzie $\Lambda$ jest hiperbolicznym atraktorem. Wymiar topologiczny $\Lambda$ jest równy $1$ . $g_{{|\Lambda}}$ jest topologicznie tranzytywne. Orbity okresowe są gęste w $\Lambda$

Rozmaitość stabilna dla $f$ (jest to podprzestrzeń liniowa stabilna) $W^{s}$ jest zachowywana oczywiście również przez $g$ ; podobnie- podprzestrzeń niestabilna. Przekształcenie obcięte do rozmaitości niestabilnej pozostaje niezmienione. Natomiast na rozmaitości stabilnej (rysunek) pojawiają się dwa nowe punkty stałe $p_{1}ip_{2}$ . rysunek

Twierdzimy że są to siodła. Istotnie, w kierunku stabilnym różniczka ma wartość własną mniejszą niż $1$ . Zauważmy że macierz różniczki dyfeomorfizmu $F_{t}$ ma postać

$=\left(\begin{array}[]{rrrr}1&0\\ *&*\\ \end{array}\right)$

Wynika to stąd że potok $F_{t}$ zachowuje współrzędną $u_{1}$ . Zatem $Dg$ ma postać

$=\left(\begin{array}[]{rrrr}1&0\\ *&*\\ \end{array}\right)\cdot=\left(\begin{array}[]{rrrr}\lambda _{u}&0\\ 0&\lambda _{s}\\ \end{array}\right)==\left(\begin{array}[]{rrrr}\lambda _{u}&0\\ 0&*\\ \end{array}\right)$

Dla różniczki wyliczonej w punktach $p_{1}$ i $p_{2}$ wyraz zaznaczony $*$ ma moduł mniejszy niż $1$ (por. wykres przekształcenia $g$ obciętego do podrzestrzeni stabilnej $f$ . Zatem $p_{1}$ , $p_{2}$ są siodłami.

Z naszych rozważań wynika też że w całym zbiorze $U$ różniczka $g$ ma postać

$=\left(\begin{array}[]{rrrr}a&0\\ b&c\\ \end{array}\right)$

Dla różniczki policzonej w punkcie $p$ oczywiście $b$ jest równe $0$ , zaś $c$ ma moduł większy od $1$ .

Ustalmy teraz otoczenie $V$ ounktu $p$ takie że

Dla $q\in V$ wyraz $c$ w wyrażeniu na różniczkę $Dg(q)$ jest większy (co do modułu) od $1$ .
$0<c<1$ dla różniczki policzonej w punktach $q\notin g(V)$ (czyli poza $V$ $g$ pozostaje ściągające wzdłuż wyjsciowego kierunku stabilnego $E^{s}$ ).
$g(V)\supset V$

Rys. 8.1. Konstrukcja DA atraktora.

Istnienie takiego $V$ wynika z linearyzacji $g$ w otoczeniu $p$ .

Skoro $V\subset g(V)$ to $V\subset W^{u}_{g}(p)$ ; ponadto $W^{u}_{g}(p)=\bigcup _{{j=0}}^{\infty}g^{j}(V)$ . Niech $Z=\mathbb{T}^{2}\setminus V$ . Wówczas $g(Z)\subset Z$ .

Definiujemy $\Lambda=\mathbb{T}^{2}\setminus W^{u}_{g}(p)=\bigcap _{{n=0}}^{\infty}g^{n}(Z)$

Widać jak powstaje zbiór $\Lambda$ . Operacja zamiany $f$ na $g$ prowadzi do ”rozszczepienia” rozmaitości stabilnej punktu $p$ ; staje sie on źródłem, a dodatkowo powstają dwa siodła $p_{1}$ i $p_{2}$ . ”Szczelina” pomiędzy $W^{s}(p_{1})$ i $W^{s}(p_{2})$ to $W^{u}_{g}(p)$ . Uzupełnienie tego zbioru to $\Lambda$ .

∎

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do teorii Układów Dynamicznych

Zagadnienia

8. Zbiory hiperboliczne. Dyfeomorfizmy i potoki Anosowa. Stabilność zbiorów hiperbolicznych.

Definicja 8.1

Uwaga 8.1

Twierdzenie 8.1 (Twierdzenie o rozmaitości stabilnej dla zbiorów hiperbolicznych)

Uwaga 8.2

Definicja 8.2

Wniosek 8.1

Stwierdzenie 8.1

Wniosek 8.2

Definicja 8.3

Ćwiczenie 8.1

Ćwiczenie 8.2

Stwierdzenie 8.2 (Zbió hiperboliczny dla bliskiego przekształcenia)

Uwaga 8.3

8.1. Solenoid

Stwierdzenie 8.3

Twierdzenie 8.2 (Własności topologiczne Solenoidu)

Szkic dowodu

Stwierdzenie 8.4

Szkic dowodu

Ćwiczenie 8.3

8.2. Dyfeomorfizmy Anosowa

Wniosek 8.3

Stwierdzenie 8.5

Ćwiczenie 8.4

Twierdzenie 8.3

Wniosek 8.4

8.3. Stabilność zbiorów hiperbolicznych

Stwierdzenie 8.6 (Zbió hiperboliczny dla bliskiego przekształcenia)

Uwaga 8.4

Lemat 8.1

8.4. DA atraktor

Twierdzenie 8.4