W poprzednim wykładzie opisaliśmy skomplikowany zbiór niezmienniczy dla dyfeomorfizmu- Podkowe Smale'a. Teraz opiszemy kilka innych przykładów zbiorów hiperbolicznych.
Niech będzie dyfeomorfizmem gładkiej zwartej rozmaitości
. Zakładamy, jak zawsze w tym wykładzie, że
jest zanurzona w przestrzeni euklidesowej
, i ma, w takim razie, odziedziczoną z
strukturę Riemannowska ( w szczególności, długości wektorów w przestrzeni stycznej mierzymy używając długości zmierzonej w
.
Niech będzie zwartym niezmienniczym podzbiorem
.
Mówimy że
ma strukturę hiperboliczną jeśli
w każdym punkcie
zbioru
istnieje rozkład przestrzeni stycznej
na sumę prostą dwóch podprzestrzeni:
. Rozkład ten ma być niezmienniczy ze względu na
:
![]() |
![]() |
Ponadto, żądamy aby istniały stałe takie że
![]() |
dla oraz
![]() |
dla .
Warto zauważyć że jeśli wektor ma (w rozkładzie na sumę prosta
niezerową drugą składową, to długości obrazów wektora
(
) rosną z
wykładniczo szybko.
Mamy następujące ważne Twierdzenie
Niech będzie dyfeomorfizmem klasy
. Niech
będzie niezmienniczym zbiorem hiperbolicznym dla
. Wówczas istnieje
i
,
takie że dla każdego
zbiory
![]() |
oraz
![]() |
są gładkimi podrozmaitościami klasy w
.
Ponadto
oraz
Zauważmy że równość definiująca (i podobnie
) na dwa różne sposoby też wymaga dowodu!
do napisania
∎Niech będzie przestrzenią metryczną.
Mówimy że odwracalne przekształcenie
jest ekspansywne jeśli istnieje
takie że dla dowolnych
istnieje
takie że
.
Obcięcie dyfeomorfizmu do zbioru hiperbolicznego jest przekształceniem ekspansywnym.
Zauważmy że w definicji zbioru hiperbolicznego nie żądamy żeby przestrzenie zależały w sposób ciągły od punktu. Wynika to jednak z innych włąsności:
Przestrzenie ,
zależą w ciągły sposób od
.
Weźmy ciąg punktów .
W każdej przestrzeni
wybieramy bazę ortonormalną
![]() |
. Przechodząc do podciągu, można założyć że
![]() |
Skoro
![]() |
to (z ciągłości) mamy także
![]() |
Zatem, .
Pokazaliśmy więc że
![]() |
W ten sam sposób sprawdzamy że
![]() |
Skoro
to musi być
![]() |
![]() |
Podprzestrzenie i
są ”jednostajnie transwersalne”, tzn istnieje
takie że dla lażdego
i dla dowolnych
,
kąt między wektorami
jest większy niż
.
Niech będzie minimalnym kątem między
,
. z poprzedniego stwierdzenia wynika że
jest ciągłą funkcją
. Ze zwartości
wynika że
.
Globalna rozmaitośc stabilna (niestabilna)
Przy założeniach takich jak w poprzednim twierdzeniu definiujemy zbiory
![]() |
oraz
![]() |
Zbiory te nazywamy odpowiednio globalną rozmaitością stabilną i niestabilną. Ta definicja wymaga uzasadnienia:
Przy założeniach jak w poprzednim Twierdzeniu, wykazać że zbiory i
są immersyjnymi podrozmaitościami klasy
w
Sprawdzić że podkowa Smale'a, zdefiniowana w poprzednim wykładzie, jest zbiorem hiperbolicznym.
Niech będzie zbiorem hiperbolicznym dyfeomorfizmu
. Wówczas istnieje otoczenie
zbioru
takie że jeśli
jest dyfeomorfizmem, dostatecznie bliskim (w
metryce)
na
, to zbiór
![]() |
jest hiperboliczny.
Nie wiemy jeszcze jak zbiór jest związany z
, a nawet- czy jest niepusty.
Na zbiorze mamy rozkład przestrzeni stycznej
, zależny wsposób ciągły od
. Możemy ten rozkłąd rozszerzyć do ciągłego (niekoniecznie niezmienniczego!) na pewne otoczenie
.
Rozpatrujemy teraz rodzinę stożków poziomych i pionowych. Stożki poziome to
![]() |
W tym rozdziale skonstruujemy pewien hiperboliczny atraktor (czyli zbiór który przyciąga całe swoje otoczenie). Do tej pory mielismy do czynienia z przekształceniami (lub potokami) Morse'a Smale'a, w których jedynymi atrakotrami były punkty stałe (stacjonarne) lub orbity okresowe. Ten atraktor jest zupełnie innego rodzaju.
Rozpatrzmy pełny torus . Okrąg parametryzujemy argumentem
(
),
zaś na dysku jednostkowym
używamy zespolonej zmiennej
.
NA okręgu rozpatrujemy przekształcenie
czyli
Rozpatrujemy przekształcenie
dane wzorem
![]() |
przekształca zatem każdy dysk
odpowiadający
na mniejszy dysk, o promieniu czterokrotnie zmniejszonym, zawarty w dysku o dwukrotnie powiększonym argumencie. Łatwo można zobaczyć jak wygląda dysk
przecięty z obrazem
: jest to suma dwóch rozłacznych dysków, każdy o promieniu
.
(Powstały jako obrazy odpowiednich dysków dla argumentów
i
).
rysunek
Niech .
Następujące stwierdzenie wynika łatwo z konstrukcji
Dla każdego zbiór
jest sumą
rozłacznych domkniętych dysków o promieniu
każdy.
Dla każdego odcinka
zbiór
jest sumą
rozłącznych pełnych walców
(oczywiście mówimy o zbiorach dyfeomorficznych z walcami, nie o walcach geometrycznych).
dwa rysunki
Niech wreszcie .
Jest to nasz atraktor; z definicji wynika że jeśli
to
gdy
.
Nietrudno sprawdzić że przecięcie
jest homeomorficzne ze zbiorem Cantora.
Wykażemy
Zbiór ma następujące własności:
jest spójny.
nie jest lokalnie spójny.
nie jest łukowo spójny.
Punkty okresowe dla stanowią gęsty podzbiór
.
jest topologicznie tranzytywne:
dla dowolnych otwartych podzbiorów
przecinających
istnieje
takie że
.
Spójność wynika stąd że
; jest to zstępujący ciąg zbiorów zwartych i spójnych.
Przypomnijmy że lokalna spójność oznacza że dla każdego mamy:
![]() |
. Tymczasem (rysunek) zbiór przecięty z
jest sumą
skręconych walców; jeśli punkty
należą do róznych walców to nie da się ich połączyć spójnym podzbiorem
o małej średnicy (jedyne ”połączenie” między tymi walcami prowadzi dookoła torusa).
Wykażemy teraz że zbiór nie jest łukowo spójnym tzn że nie każde dwa punkty
dadzą się połaczyc
krzywą zawartą w
. Rozważmy w tym celu dysk
; oczywiście
.
Wybierzmy punkt
.
Zbiór jest sumą rodziny
złożonej z
dysków, które można łączyc drogami wzdłuż rozciągniętego torusa
. Po wykonaniu jednego obrotu, trafiamy do kolejnego dysku w zbiorze
; po wykonaniu
obrotów- trafiamy do wyjściowego dysku. Zatem możemy wybrać punkt
w tym dysku, ktory jest otrzymany z dysku zawierającego punkt
przez
obrotów. Zatem- każda droga łacząca w
punkty
i
musi przeciąć
przynajmniej
razy, i wykonać pełny obrót wokół torusa pomiędzy każdymi dwoma przecieciami. W następnym kroku konstrukcji, w dysku z rodziny
zawierającym
pojawiają się na dwa dyski
z rodziny
. Wybieramy ten z nich, który zawiera punkt
; oznaczmy go
. Podobnie, w dysku
-tej generacji zawierającym
pojawią się dwa dyski
-szej generacji. Jeden z tych dysków da się połaczyć z
drogą która obraca się wokół torusa
razy; drugi- drogą która obraca się
razy. Wybieramy ten drugi, i jakiś punkt
w tym dysku.
Oczywiście tak zdefiniowany ciąg
jest zbieżny i jego granica
jest w
.
Z konstrukcji wynika że każda droga w
, łącząca
i
, musiałaby przecinać
przynajmniej
razy i pomiędzy dwoma przecięciami wykonać przynajmniej jeden obrót wokół torusa. Ponieważ tak musi być dla każdego
, taka droga nie istnieje (przeczy to ciągłości drogi).
Sprawdzimy gęstość orbit okresowych. Zauważmy najpierw że istnieje gęsty zbiór argumentów dla których dysk
jest przekształcany przez pewną iterację
(zależna od
) w siebie (są to po prostu argumenty
odpowiadające punktom okresowym dla przekształcenia
na okręgu). Oczywiście w każdym takim dysku znajdzie się, w takim razie, punkt stały dla
. Zatem- w każdym zbiorze postaci
jest jakiś punkt okresowy dla
.
Rozważmy teraz dowolne otoczenie
dowolnego punktu
. Istnieje ”cienki cylinder” - czyli zbiór postaci
(dla pewnych
) zawarty w
(dlaczego?).
Wystarczy teraz zauważyć że
jest zbiorem postaci
. Zatem znajdzie się w nim jakiś punkt okresowy dla
. Skoro w nim- to także w zbiorze
, a więc- także w
.
jest zbiorem hiperbolicznym.
Zapiszemy różniczkę przekształcenia we współrzędnych
:
![]() |
Wektor styczny zapisujemy jako , gdzie
. Pod działaniem różniczki wektor
jest przekształcany na wektor
; mamy więc wyznaczoną wiązkę stabilną.
Wykazanie istnienia wiązki niestabilnej jest trudniejsze. Metoda opisana poniżej nazywana jest metodą stożków niezmienniczych.
Wykażemy najpierw że istnieje ”wiązka niezmiennicza stożków niestabilnych”.
W kazdym punkcie solenoidu rozważamy stożek (podzbiór przestrzeni stycznej zaczepionej w tym punkcie), opisany nierównością:
![]() |
(Zatem jest to rodzina stożków połozonych ”poziomo”).
Różniczka nie zachowuje kierunku poziomego, czyli wektora postaci
(tak jest tylko dla
.
Ale- zachowuje rodzinę stożków poziomych
Sprawdzić że dla każdego mamy
![]() |
Widzimy teraz jak można próbować uzyskać szukaną foliację niestabilną: skoro , to róWnież
, itd i otrzymujemy zstępujący ciąg stożków:
![]() |
Jeśli wykażemy że przecięcie tego ciągu stożków, zaczepionych w punkcie jest jedną prostą (zawartą w
) otrzymamy jednowymiarową niezmienniczą foliację. Jeśli dodatkowo sprawdzimy, że
rozciąga wektory należace do prostych z tak wybranej foliacji- otrzymamy brakującą foliację niestabilną.
Najpierw sprawdzimy warunek rozciągania:
Na stożkach możemy użyc dowolnej normy równoważnej z normą euklidesową (czyli np z normą
).
Ponieważ
, więc na stożkach
równoważną normą jest po prostu
.
Oczywiście, ta norma jest mnożona przez
przy działaniu różniczki
.
Zatem warunek rozciągania został sprawdzony.
Aby sprawdzić że przecięcie jest jedną prostą, zobaczymy jak zmniejsza (zwęża) się stożek
po zastosowaniu operatora rózniczki
. Weźmy dwa wektory
. ”Nachylenia” tych wektorów to wartości
,
. Niech teraz
,
. Z wzoru na różniczkę
dostajemy od razu:
![]() |
Zatem różnica między nachyleniami obrazów przy dwóch dowolnych wektorów należących do stożka maleje wykładniczo z
. Wynika stąd oczywiście że przecięcie zstępującego ciągu stożków
![]() |
składa się dokładnie z jednej prostej. Jest to szukana przez nas foliacja niestabilna .
Zaczniemy od przykładu. Rozważmy automorfizm algebraiczny torusa określony wzorem:
![]() |
(8.1) |
Mówiąc precyzyjniej, przekształcenie najpierw jest określone wzorem 8.1 na płaszczyźnie.
Ponieważ
jest liniowe i przekształca punkty o współrzędnych całkowitych na punkty o współrzędnych całkowitych,
indukuje gładkie przekształcenie torusa
.
Zauważmy że
jest odwracalne (ponieważ wyznacznik macierzy jest równy
); przekształcenie odwrotne jest indukowane przez przekształcenie liniowe płaszczyzny o macierzy:
![]() |
Punkt jest punktem stałym hiperbolicznym. Wartości własne dla macierzy przekształcenia
to
i
. Odpowiednie (wzajemnie prostopadłe) kierunki własne to
,
.
Oznaczmy prostą wyznaczoną przez pierwsze równanie na płaszczyźnie przez
, drugą prostą przez
. Wówczas
(ta prosta jest rozciągana przy działąniu
); podobnie
(ta prosta jest ściągana przy działaniu
).
Zauważmy dalej że jeśli jest dowolnym punktem płąszczyzny, to obrazem prostej afinicznej
jest prosta afiniczna
; podobnie dla
.
Mamy więc w każdym punkcie płaszczyzny wyznaczony kierunek stabilny
i niestabilny
. Mamy też globalne rozmaitości niestabilną
i stabilną
.
Po zrzutowaniu na torus proste
,
utworzą foliacje stabilną i niestabilną dla przekształcenia
.
Zrzutowane proste są gęsto nawiniętymi obmotkami na torusie.
Dla tego dyfeomorfizmu cała rozmaitość jest zbiorem hiperbolicznym.
Zdefiniowany powyżej dyfeomorfizm ma gęsty zbiór orbit okresowych.
Dowód pozostawimy jako zadanie:
Wykazać że jeśli jest hiperbolicznym automorfizmem torusa
to punkt
jest okresowy wtedy i tylko wtedy
dla pewnego punktu
o wymiernych współrzędnych.
Zauważmy że ten dyfeomorfizm jest bardzo różny od dyfeomorfizmów Morse'a- Smale'a, omawianych przez nas wcześniej. Dla tamtych dyfeomorfizmów zbiór punktów niebładzących składał się ze skończonej liczby hiperolicznych orbit okresowych. Dowód ich strukturalnej stabilności (przeprowadziliśmy dowód dla dyfeomorfizmów okręgu w wykładzie ??? rozpoczynał się od sprawdzenia że przy małym zaburzeniu wszystkie orbity zachowają się.
W tej nowej sytuacji mamy nieskończenie wiele hiperbolicznych orbit okresowych. Mimo to, przy małym zaburzeniu wszystkie te orbity zachowują się! Twierdzenie to ma daleko idące uogólnienia (stabilność dowolnych zbiorów hiperbolicznych). Najpierw podamy elegancki dowód (pochodzący od J. Mosera) dla automorfizmu algebraicznego torusa.
Hiperboliczny automorfizm torusa jest
strukturalnie stabilny.
Będziemy dla uproszczenia zakładali że mamy do czynienia z automorfizmem dwuwymiarowego torusa.
Jest on reprezentowany przez macierz przekształcenia liniowego
na płaszczyźnie.
NIech
będzie dyfeomorfizmem torusa bliskim
w
topologii.
Twierdzimy że wówczas istnieje dyfeomorfizm płaszczyzny
, który jest
bliski
, i taki że
. Istotnie, mamy
. Zatem, jeśli
jest
bliskie
to dla każdego
istnieje dokładnie jeden punkt
który jest
bliski punktowi
na płaszczyźnie. Kładziemy
.
jest zatem dobrze
określone; jest gładkie ponieważ -lokalnie
zapisuje się jako
(
dla pewnej gałezi
).
Zastosujemy do przekształcenia liniowego
i do dyfeomorfizmu
twierdzenie Grobmana- Hartmana.
Możemy je zastosować bo
jest
małym zaburzeniem
w całym
. Zatem
możemy zapisać jako
gdzie
jest klasy
i jest
bliskie zera.
Wspomniane Twierdzenie gwarantuje istnienie homeomorfizmu
, który jest sprzężeniem między
i
:
![]() |
(8.2) |
Oczywiście, nie wynika stąd że homeomorfizm da się zrzutować do homeomorfizmu
na torusie, sprzęgającego działanie
i
. Przypomnijmy, że w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana (rozdział
) homeomorfizm
otrzymuje się w postaci
(
jest przekształceniem identycznościowym).
Na to żeby
rzutowało się do
potrzeba aby dla każdego
istniało
takie że
![]() |
czyli ,
. Jeśli
ma być bliskie identyczności (czyli
ma być małe) to trzeba aby
, czyli żeby
było (dwu)okresowe.
Wówczas
jest dobrze określone i jest homeomorfizmem torusa.
Musimy zatem wykazać że w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana możemy poszukiwać rozwiązania zagadnienia 8.2
w postaci
gdzie u należy do podprzestrzeni przestrzeni
złożonej z funkcji dwuokresowych.
Oznaczmy tę podprzestrzeń przez
. Tak jak w dowodzie twierdzenia Grobmana- Hartmana, wprowadzamy operator
działający w przestrzeni funkcji
, określony wzorem
. Tak samo jak poprzednio, stwierdzamy że
jest odwracalny, skoro
jest hiperboliczny.
Zauważamy teraz że
przekształca funkcję dwuokresową
na funkcję dwuokresową. Zatem
zachowuje przestrzeń
.
Przekształcenie
![]() |
jest kontrakcją w normie i zachowuje domkniętą podprzestrzeń
. Zatem jedyny punkt stały
leży w podprzestrzeni
.
Punkt stały spełnia równanie
![]() |
czyli spełnia
![]() |
. Wówczas homeomorfizm rzutuje się do homeomorfizmu
, czyli
i
jest szukanym sprzężeniem:
.
Jest to jeszcze jeden sposób na przekonanie się że w wymiarze dyfeomorfizmy Morse'a-Smale'a na gładkiej zwartej rozmaitości nie stanowią gęstego podzioru w
topologii.
Niech będzie zbiorem hiperbolicznym dyfeomorfizmu
. Wówczas istnieje otoczenie
zbioru
takie że jeśli
jest dyfeomorfizmem, dostatecznie bliskim (w
metryce)
na
, to zbiór
![]() |
jest hiperboliczny.
Nie wiemy jeszcze jak zbiór jest związany z
, a nawet- czy jest niepusty.
Na zbiorze mamy rozkład przestrzeni stycznej
, zależny wsposób ciągły od
. Możemy ten rozkład rozszerzyć do ciągłego (niekoniecznie niezmienniczego!) na pewne otoczenie
.
Rozpatrujemy teraz rodzinę stożków poziomych i pionowych. Stożki poziome to
![]() |
stożki pionowe:
![]() |
Jeśli , to stożek poziomy
jest przekształcany przez
w stożek poziomy zaczepiony w punkcie
; podobnie stożek pionowy
jest przekształcany przez
w stożek pionowy w punkcie
; dokładniej- mamy nawet pewien ”zapas”- obraz
jest zawarty w
; podobnie dla stożków pionowych. Dzięki temu, jeśli
jest bliskie
w
metryce, to również
zachowuje tę rodzinę stożków poziomych i pionowych; nie tylko dla
ale też dla
, gdzie
jest pewnym otoczeniem
.
Wykażemy że stąd wynika dla punktów istnienie niezmienniczego rozkładu
na podprzestrzeń stabilną i niestabilną przy działaniu
.
W tym celu udowodnimy następujący
Niech będzie ciągiem przekształceń liniowych takich że
dla
dla
.
Wówczas zbiory
![]() |
oraz
![]() |
są (odpowiednio) - i
- wymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi
do skończenia
do uzupełnienia
Naszkicujemy konstrukcję interesujacego atraktora, który powstaje dla przekształcenia uzyskanego przez modyfikację automorfizmu ergodycznego torusa (stąd nazwa: Derived from Anosov). Zaczynamy od opisanego w poprzednim rozdziale
hiperbolicznego automorfizmu torusa wyznaczonego przez przekształcenie liniowe
![]() |
Punkt jest punktem stałym hiperbolicznym. Zmodyfikujemy przekształcenie w otoczeniu punktu
tak aby stał się źródłem; blisko pojawią się dwa inne punkty stałe (siodła).
Ustalmy więc małe otoczenie
punktu
; będziemy w nim używali współrzędnych w bazie wyznaczonej przez kierunki własne. Zatem zapis wektora
oznacza że wektor ten jest kombinacją liniową
.
Zmodyfikujemy przekształcenie
”likwidując” ściaganie w kierunku stabilnym.
Formalnie, można to zrobic na przykład tak:
Weźmy pomocniczą funkcję
klasy
o wykresie w kształcie ”dzwonu”:
dla
,
dla
. Rozpatrujemy w otoczeniu punktu
pole wektorowe o równaniu:
![]() |
Oznaczając przez potok tego pola widzimy że
![]() |
i że poza otoczeniem zera
jest identycznością.
Nasze nowe przekształcenie to
![]() |
gdzie jest na tyle duże że
jest większe od odwrotności mniejszej wartości własnej
.
We współrzędnych w bazie wektorów własnych
macierz różniczki
ma postać
![]() |
Zatem punkt stał się źródłem.
Nowe przekształcenie też jest dyfeomorfizmem.
Wykażemy
Dla dyfeomorfizmu mamy:
![]() |
gdzie jest hiperbolicznym atraktorem. Wymiar topologiczny
jest równy
.
jest topologicznie tranzytywne. Orbity okresowe są gęste w
Rozmaitość stabilna dla (jest to podprzestrzeń liniowa stabilna)
jest zachowywana oczywiście również przez
; podobnie- podprzestrzeń niestabilna. Przekształcenie obcięte do rozmaitości niestabilnej pozostaje niezmienione.
Natomiast na rozmaitości stabilnej (rysunek)
pojawiają się dwa nowe punkty stałe
.
rysunek
Twierdzimy że są to siodła.
Istotnie, w kierunku stabilnym różniczka ma wartość własną mniejszą niż .
Zauważmy że macierz różniczki dyfeomorfizmu
ma postać
![]() |
Wynika to stąd że potok zachowuje współrzędną
.
Zatem
ma postać
![]() |
Dla różniczki wyliczonej w punktach i
wyraz zaznaczony
ma moduł mniejszy niż
(por. wykres przekształcenia
obciętego do podrzestrzeni stabilnej
.
Zatem
,
są siodłami.
Z naszych rozważań wynika też że w całym zbiorze różniczka
ma postać
![]() |
Dla różniczki policzonej w punkcie oczywiście
jest równe
, zaś
ma moduł większy od
.
Ustalmy teraz otoczenie ounktu
takie że
Dla wyraz
w wyrażeniu na różniczkę
jest większy (co do modułu) od
.
dla różniczki policzonej w punktach
(czyli poza
pozostaje ściągające wzdłuż wyjsciowego kierunku stabilnego
).
Istnienie takiego wynika z linearyzacji
w otoczeniu
.
Skoro to
; ponadto
.
Niech
. Wówczas
.
Definiujemy
Widać jak powstaje zbiór . Operacja zamiany
na
prowadzi do ”rozszczepienia” rozmaitości stabilnej punktu
; staje sie on źródłem, a dodatkowo powstają dwa siodła
i
. ”Szczelina” pomiędzy
i
to
. Uzupełnienie tego zbioru to
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.