Zagadnienia

15.1 Przypadek dyskretny
15.2 Twierdzenie Girsanowa dla procesu Wienera
15.3 Zadania

15. Twierdzenie Girsanowa

W czasie tego wykładu przyjmujemy jak zwykle, że $(\Omega,{\cal F},{\mathbb{P}})$ jest ustaloną przestrzenią probabilistyczną. Będziemy konstruowali inne miary probabilistyczne na przestrzeni $(\Omega,{\cal F})$ względem których proces Wienera z dryfem ma taki rozkład jak zwykły proces Wienera. Przez ${\mathbb{E}}X$ będziemy rozumieli zawsze wartość oczekiwaną względem ${\mathbb{P}}$ , wartość oczekiwaną $X$ względem innej miary ${\mathbb{Q}}$ będziemy oznaczać ${\mathbb{E}}_{{{\mathbb{Q}}}}X$ . Zauważmy, że jeśli $d{\mathbb{Q}}=Zd{\mathbb{P}}$ , tzn. ${\mathbb{Q}}(A)=\int _{A}Zd{\mathbb{P}}$ , to

${\mathbb{E}}_{{{\mathbb{Q}}}}X=\int Xd{\mathbb{Q}}=\int XZd{\mathbb{P}}={\mathbb{E}}(XZ).$

15.1. Przypadek dyskretny

Załóżmy, że zmienne $Z_{1},Z_{2},\ldots,Z_{n}$ są niezależne i mają standardowy rozkład normalny ${\cal N}(0,1)$ . Wprowadźmy nową miarę ${\mathbb{Q}}$ na $(\Omega,{\cal F})$ wzorem $d{\mathbb{Q}}=\exp(\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}Z_{i}-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}^{2})d{\mathbb{P}}$ , tzn.

${\mathbb{Q}}(A)=\int _{A}\exp\Big(\sum _{{i=1}}^{{n}}\mu _{i}Z_{i}(\omega)-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}^{2}\Big)d{\mathbb{P}}(\omega)\quad\mbox{ dla }A\in{\cal F}.$

Zauważmy, że

${\mathbb{Q}}(\Omega)={\mathbb{E}}\exp\Big(\sum _{{i=1}}^{{n}}\mu _{i}Z_{i}-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}^{2}\Big)=\prod _{{i=1}}^{n}{\mathbb{E}}\exp\Big(\mu _{i}Z_{i}-\frac{1}{2}\mu _{i}^{2}\Big)=1,$

więc ${\mathbb{Q}}$ jest miarą probabilistyczną na $(\Omega,{\mathcal{F}})$ . Ponadto dla dowolnego zbioru $\Gamma\in{\mathcal{B}}({\mathbb{R}}^{n})$ ,

	$\displaystyle{\mathbb{Q}}$	$\displaystyle((Z_{1},\ldots,Z_{n})\in\Gamma)={\mathbb{E}}\exp\Big(\sum _{{i=1}}^{{n}}\mu _{i}Z_{i}-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}^{2}\Big){\mathrm{I}}_{{\{(Z_{1},\ldots,Z_{n})\in\Gamma\}}}$
		$\displaystyle=\frac{1}{(2\pi)^{{n/2}}}\int _{{\Gamma}}\exp\Big(\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}z_{i}-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}^{2}\Big)\exp\Big(-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}z_{i}^{2}\Big)dz_{1}\ldots dz_{n}$
		$\displaystyle=\frac{1}{(2\pi)^{{n/2}}}\int _{{\Gamma}}\exp\Big(-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}(z_{i}-\mu _{i})^{2}\Big)dz_{1}\ldots dz_{n}.$

Zatem względem miary ${\mathbb{Q}}$ zmienne $Z_{i}-\mu _{i}$ są niezależne oraz mają rozkład ${\cal N}(0,1)$ .

Definiując $S_{k}=Z_{1}+\ldots+Z_{k}$ widzimy, że względem ${\mathbb{Q}}$ zmienne $(S_{k}-\sum _{{i=1}}^{k}\mu _{i})_{{k\leq n}}$ są sumami niezależnych standardowych zmiennych normalnych (czyli mają ten sam rozkład co $(S_{k})_{k}$ względem ${\mathbb{P}}$ ). Podczas dalszej części wykładu pokażemy, że można podobny fakt sformułować w przypadku ciągłym, gdy $S_{k}$ zastąpimy procesem Wienera, a sumy $\sum _{{i=1}}^{k}\mu _{i}$ całką $\int _{0}^{t}Y_{s}ds$ .

15.2. Twierdzenie Girsanowa dla procesu Wienera

Załóżmy, że $T<\infty$ , proces $Y=(Y_{t})_{{t<T}}$ jest prognozowalny oraz $\int _{0}^{T}Y_{t}^{2}<\infty$ p.n., wówczas $Y\in\Lambda^{2}_{T}$ , proces $M_{t}=\int YdW$ jest martyngałem lokalnym na $[0,T)$ oraz $\langle M\rangle=\int Y^{2}dt$ . Co więcej można też określić wartość $M$ i $Z$ w punkcie $T$ . Zatem jak wiemy (zob. Stwierdzenie 14.1) proces

$Z_{t}:=\exp\Big(M_{t}-\frac{1}{2}\langle M\rangle _{t}\Big)=\exp\Big(\int _{{0}}^{t}Y_{s}dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}Y_{s}^{2}ds\Big)$

jest martyngałem lokalnym na $[0,T]$ .

Lemat 15.1

Jeśli $M$ jest ciągłym martyngałem lokalnym na $[0,T]$ , to proces $Z_{t}=\exp(M_{t}-\frac{1}{2}\langle M\rangle _{t})$ jest martyngałem na przedziale skończonym $[0,T]$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\mathbb{E}}Z_{T}=1$ .

Implikacja ” $\Rightarrow$ ” jest oczywista, bo ${\mathbb{E}}Z_{T}={\mathbb{E}}Z_{0}=1$ . Wystarczy więc udowodnić ” $\Leftarrow$ ”.

Wiemy, że $Z$ jest nieujemnym martyngałem lokalnym, zatem jest nadmartyngałem (Stwierdzenie 9.6). Ustalmy $t\in[0,T]$ , wówczas $Z_{t}\geq{\mathbb{E}}(Z_{T}|{\mathcal{F}}_{t})$ p.n.. Ponadto $1={\mathbb{E}}Z_{0}\geq{\mathbb{E}}Z_{t}\geq{\mathbb{E}}Z_{T}$ , czyli, jeśli ${\mathbb{E}}Z_{T}=1$ , to ${\mathbb{E}}Z_{t}=1$ i

${\mathbb{E}}(Z_{t}-{\mathbb{E}}(Z_{T}|{\mathcal{F}}_{t}))={\mathbb{E}}Z_{t}-{\mathbb{E}}Z_{T}=0,$

a więc $Z_{t}={\mathbb{E}}(Z_{T}|{\mathcal{F}}_{t})$ p.n..

∎

Twierdzenie 15.1

Załóżmy, że $T<\infty$ , proces $Y$ jest prognozowalny oraz $\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}ds<\infty$ p.n.. Niech $Z_{t}=\exp(\int _{{0}}^{t}Y_{s}dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}Y_{s}^{2}ds)$ , wówczas, jeśli ${\mathbb{E}}Z_{T}=1$ (czyli $Z$ jest martyngałem na $[0,T]$ ), to proces

$V_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}Y_{s}ds,\quad t\in[0,T]$

jest procesem Wienera na zmodyfikowanej przestrzeni propabilistycznej $(\Omega,{\mathcal{F}},{\mathbb{Q}}_{T})$ , gdzie $d{\mathbb{Q}}_{T}=Z_{T}d{\mathbb{P}}$ , tzn.

${\mathbb{Q}}_{T}(A)=\int _{A}Z_{T}d{\mathbb{P}},\quad A\in{\mathcal{F}}.$

Zmienna $Z_{T}$ jest nieujemna i ${\mathbb{E}}Z_{T}=1$ , więc ${\mathbb{Q}}_{T}$ jest miarą probabilistyczną. Zauważmy też, że jeśli ${\mathbb{P}}(A)=0$ , to ${\mathbb{Q}}_{T}(A)=0$ , czyli zdarzenia, które zachodzą ${\mathbb{P}}$ prawie na pewno, zachodzą też ${\mathbb{Q}}_{T}$ prawie na pewno. Proces $V$ jest ciągły, adaptowalny względem ${\mathcal{F}}_{t}$ oraz $V_{0}=0$ . Wystarczy zatem, na mocy Twierdzenia 13.5 wykazać, że dla $\lambda\in{\mathbb{R}}$ , proces $U_{t}=U_{t}(\lambda):=\exp(\lambda V_{t}-\frac{1}{2}\lambda^{2}t)$ jest martyngałem lokalnym względem ${\mathbb{Q}}_{T}$ . Zauważmy, że

	$\displaystyle U_{t}Z_{t}$	$\displaystyle=\exp\Big(\lambda V_{t}-\frac{1}{2}\lambda^{2}t\Big)\exp\Big(\int _{{0}}^{t}Y_{s}dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}Y_{s}^{2}ds\Big)$
		$\displaystyle=\exp\Big(\lambda W_{t}+\int _{0}^{t}Y_{s}dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}(2\lambda Y_{s}+\lambda^{2}+Y_{s}^{2})ds\Big)$
		$\displaystyle=\exp\Big(\int _{0}^{t}(\lambda+Y_{s})dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}(\lambda+Y_{s})^{2}ds\Big)=\exp\Big(N_{t}-\frac{1}{2}\langle N\rangle _{t}\Big),$

gdzie $N=\int(\lambda+Y)dW\in{\mathcal{M}}^{c}_{{{\rm loc}}}$ . Zatem proces $UZ$ jest martyngałem lokalnym względem ${\mathbb{P}}$ , czyli istnieją $\tau _{n}\nearrow T$ takie, że $U^{{\tau _{n}}}Z^{{\tau _{n}}}$ jest martyngałem. Ustalmy $n$ , wtedy dla dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania $\tau$ ,

	$\displaystyle{\mathbb{E}}_{{{\mathbb{Q}}_{T}}}U_{0}$	$\displaystyle={\mathbb{E}}(U_{0}Z_{T})={\mathbb{E}}(U_{0}{\mathbb{E}}(Z_{T}\|{\mathcal{F}}_{0}))={\mathbb{E}}(U_{0}Z_{0})={\mathbb{E}}(U_{{\tau _{n}\wedge\tau}}Z_{{\tau _{n}\wedge\tau}})$
		$\displaystyle={\mathbb{E}}(U_{{\tau _{n}\wedge\tau}}{\mathbb{E}}(Z_{T}\|{\mathcal{F}}_{{\tau _{n}\wedge\tau}})={\mathbb{E}}(U_{{\tau _{n}\wedge\tau}}Z_{T})={\mathbb{E}}_{{{\mathbb{Q}}_{T}}}U_{{\tau _{n}\wedge\tau}},$

zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Dooba wynika, że $U^{{\tau _{n}}}$ jest martyngałem względem ${\mathbb{Q}}_{T}$ , czyli $U$ jest ${\mathbb{Q}}_{T}$ -martyngałem lokalnym.

∎

W pewnych zastosowaniach wygodnie jest mieć miarę względem której proces $W-\int Yds$ jest procesem Wienera na całej półprostej $[0,\infty)$ .

Twierdzenie 15.2

Załóżmy, że $Y\in\Lambda^{2}_{\infty}$ , zaś proces $Z_{t}$ i miary ${\mathbb{Q}}_{T}$ dla $T<\infty$ są określone jak poprzednio. Wówczas, jeśli ${\mathbb{E}}Z_{t}=1$ dla wszystkich $t$ (czyli $Z$ jest martyngałem na $[0,\infty)$ ), to istnieje dokładnie jedna miara probabilistyczna ${\mathbb{Q}}$ na $(\Omega,{\mathcal{F}}_{\infty}^{W})$ taka, że ${\mathbb{Q}}(A)={\mathbb{Q}}_{T}(A)$ dla $A\in{\mathcal{F}}_{T}^{W}$ i $T<\infty$ . Proces $V=W-\int Yds$ jest względem ${\mathbb{Q}}$ procesem Wienera na $[0,\infty)$ .

Szkic Dowodu.

Na zbiorach postaci $A=\{(W_{{t_{1}}},W_{{t_{2}}},\ldots,W_{{t_{k}}})\in\Gamma\}$ , $0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq\ldots\leq t_{k}\leq T$ , $\Gamma\in{\mathcal{B}}({\mathbb{R}}^{k})$ kładziemy ${\mathbb{Q}}(A);={\mathbb{Q}}_{T}(A)$ . Otrzymujemy w ten sposób zgodną rodzinę miar probabilistycznych, która na mocy twierdzenia Kołmogorowa przedłuża się w spośób jednoznaczny do miary ${\mathbb{Q}}$ na ${\mathcal{F}}_{{\infty}}^{W}$ .

∎

Uwaga 15.1

O ile miara ${\mathbb{Q}}_{T}$ jest absolutnie ciągła względem ${\mathbb{P}}$ (tzn. ${\mathbb{Q}}_{T}(A)=0$ , jeśli ${\mathbb{P}}(A)=0$ ), to miara ${\mathbb{Q}}$ zadana przez ostatnie twierdzenie taka być nie musi. Istotnie określmy $Y_{t}\equiv\mu\neq 0$ , czyli $V_{t}=W_{t}-\mu t$ . Niech

		$\displaystyle A:=\Big\{\omega\colon\limsup\frac{1}{t}W_{t}(\omega)=0\Big\},$
		$\displaystyle B:=\Big\{\omega\colon\limsup\frac{1}{t}V_{t}(\omega)=0\Big\}=\Big\{\omega\colon\limsup\frac{1}{t}W_{t}(\omega)=\mu\Big\}.$

Wówczas z mocnego prawa wielkich liczb dla proceseu Wienera ${\mathbb{P}}(A)=1$ oraz ${\mathbb{P}}(B)=0$ , z drugiej strony ${\mathbb{Q}}(B)=1$ , zatem miary ${\mathbb{P}}$ i ${\mathbb{Q}}$ są wzajemnie singularne na ${\mathcal{F}}_{{\infty}}^{W}$ , mimo, że po odbcięciu do ${\mathcal{F}}_{T}^{W}$ dla $T<\infty$ są względem siebie absolutnie ciągłe. Można pokazać, że albsolutna ciągłość ${\mathbb{Q}}$ względem ${\mathbb{P}}$ wiąże się z jednostajną całkowalnością martyngału $Z$ .

Naturalne jest pytanie kiedy spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa, czyli kiedy $Z$ jest martyngałem. Użyteczne jest następujące kryterium.

Twierdzenie 15.3 (Kryterium Nowikowa)

Jeśli $Y$ jest procesem prognozowalnym spełniającym warunek ${\mathbb{E}}\exp(\frac{1}{2}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}ds)<\infty$ , to spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa, tzn. proces $Z=\exp(\int YdW-\frac{1}{2}\int Y^{2}dt)$ jest martyngałem na $[0,T]$ .

Kryterium Nowikowa jest konsekwencją silniejszego twierdzenia, które przedstawimy bez dowodu.

Twierdzenie 15.4

Załóżmy, że $M$ jest ciągłym martyngałem lokalnym takim, że dla wszystkich $t$ , ${\mathbb{E}}\exp(\frac{1}{2}\langle M\rangle _{t})<\infty$ . Niech $Z_{t}=\exp(M_{t}-\frac{1}{2}\langle M\rangle)$ , wówczas ${\mathbb{E}}Z_{t}=1$ dla wszystkich $t$ , czyli $Z$ jest martyngałem.

Twierdzenie Girsanowa można sformułować też w przypadku wielowymiarowym.

Twierdzenie 15.5

Załóżmy, że $Y=(Y^{{(1)}},\ldots,Y^{{(d)}})$ proces $d$ -wymiarowy taki, że $Y^{{(j)}}\in\Lambda^{2}_{T}$ oraz $T<\infty$ . Niech $W=(W^{{(1)}},\ldots,W^{{(d)}})$ będzie $d$ -wymiarowym procesem Wienera oraz

$Z_{t}=\exp\Big(\sum _{{i=1}}^{d}\int Y_{s}^{{(i)}}dW_{t}^{{(i)}}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}|Y_{s}|^{2}ds\Big).$

Wówczas, jeśli ${\mathbb{E}}Z_{T}=1$ (czyli $Z_{t}$ jest martyngałem na $[0,T]$ ), to proces

$V_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}Y_{s}ds=\Big(W_{t}^{{(1)}}-\int _{0}^{t}Y^{{(1)}}ds,\ldots,W_{t}^{{(d)}}-\int _{0}^{t}Y^{{(d)}}_{s}ds\Big)$

jest procesem Wienera na $[0,T]$ względem miary probabilistycznej ${\mathbb{Q}}_{t}$ takiej, że $d{\mathbb{Q}}_{T}=Z_{T}d{\mathbb{P}}$ .

Kryterium Nowikowa w przypadku $d$ -wymiarowym ma postać

Twierdzenie 15.6

Jeśli $Y$ jest $d$ -wymiarowym procesem prognozowalnym spełniającym warunek ${\mathbb{E}}\exp(\frac{1}{2}\int _{0}^{T}|Y_{s}|^{2}ds)<\infty$ , to spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa.

15.3. Zadania

Ćwiczenie 15.1

Znajdź taką miarę probabilistyczną ${\mathbb{Q}}$ na $(\Omega,{\mathcal{F}}_{{\leq 1}}^{{W}})$ , by proces $(W_{{t}}+2t^{{4}})_{{0\leq t\leq 1}}$ był procesem Wienera względem ${\mathbb{Q}}$ .

Ćwiczenie 15.2

Niech $T<\infty$ , $U$ będzie procesem Wienera na $(\Omega,{\mathcal{F}},{\mathbb{P}})$ ,

$Z_{{t}}=\exp\Big(\int _{{0}}^{{t}}b(s,U_{s})dU_{s}-\frac{1}{2}\int _{{0}}^{{t}}b^{{2}}(s,U_{s})ds\Big),\quad W_{{t}}:=U_{t}-\int _{{0}}^{{t}}b(s,U_{s})ds.$

Stosując twierdzenie Girsanowa wykaż, że jeśli ${\mathbb{E}}Z_{T}=1$ , to istnieje miara probabilistyczna ${\mathbb{Q}}_{T}$ taka, że na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega,{\mathcal{F}},{\mathbb{Q}}_{T})$ , $(W_{{t}})_{{0\leq t\leq T}}$ jest procesem Wienera oraz

$dU_{t}=b(t,U_{t})dt+dW_{t},\ \ 0\leq t\leq T,\ \ \ U_{{0}}=0.$

Ćwiczenie 15.3

Niech $\mu$ oznacza miarę Wienera na $C([0,1])$ (tzn. rozkład wyznaczony przez proces Wienera na $[0,1]$ ). Dla $h\in C([0,1])$ określamy nową miarę $\mu _{{h}}$ wzorem $\mu _{{h}}(A):=\mu(h+A)$ . Wykaż, że
a) jeśli $h(t)=\int _{{0}}^{{t}}g(s)ds$ dla $0\leq t\leq 1$ oraz $g\in L_{{2}}[0,1]$ , to miara $\mu _{{h}}$ jest absolutnie ciągła względem $\mu$ oraz znajdź jej gęstość,
b*) jeśli $h$ nie ma powyższej postaci, to miary $\mu$ i $\mu _{{h}}$ są wzajemnie singularne.