Zagadnienia

3.1 Procesy stochastycznie równoważne i nierozróżnialne
3.2 Twierdzenie o ciągłej modyfikacji
3.3 Uwagi i uzupełnienia
3.4 Zadania

3. Ciągłość trajektorii

Wiemy już kiedy istnieje proces o zadanych skończenie wymiarowych rozkładach. Nasuwa się pytanie – kiedy taki proces ma ciągłe trajektorie? Zanim jednak zastanowimy się nad odpowiedzią wprowadzimy dwa ważne sposoby porównywania procesów.

3.1. Procesy stochastycznie równoważne i nierozróżnialne

Definicja 3.1

Niech $X=(X_{{t}})_{{t\in T}}$ oraz $Y=(Y_{{t}})_{{t\in T}}$ będą dwoma procesami stochastycznymi, określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Powiemy, że:
a) $X$ jest modyfikacją $Y$ (lub $X$ jest stochastycznie równoważny $Y$ ), jeśli

$\forall _{{t\in T}}\ {\mathbb{P}}(X_{{t}}=Y_{{t}})=1;$

b) $X$ i $Y$ są nierozróżnialne, jeśli

${\mathbb{P}}(\forall _{{t\in T}}\ X_{{t}}=Y_{{t}})=1.$

Zauważmy, że procesy nierozróżnialne są oczywiście stochastycznie równoważne. Ponadto dwa procesy stochastycznie równoważne mają ten sam rozkład. Poniższy przykład pokazuje, że z rozkładu procesu nie można wnioskować o własnościach trajektorii.

Przykład 3.1

Niech $Z\geq 0$ będzie dowolną zmienną losową o rozkładzie bezatomowym tzn. ${\mathbb{P}}(Z=z)=0$ dla wszystkich $z\in{\mathbb{R}}$ . Zdefiniujmy dwa procesy na $T=[0,\infty)$ :

$X_{{t}}\equiv 0\quad\mbox{ oraz }\quad Y_{{t}}(\omega)=\left\{\begin{array}[]{ll}0&\mbox{ dla }t\neq Z(\omega),\\ 1&\mbox{ dla }t=Z(\omega).\end{array}\right.$

Wówczas $Y$ jest modyfikacją $X$ , bo ${\mathbb{P}}(X_{{t}}\neq Y_{{t}})={\mathbb{P}}(Z=t)=0$ . Zauważmy jednak, że wszystkie trajektorie $Y$ są nieciągłe. W szczególności ${\mathbb{P}}(\forall _{{t\geq 0}}\ X_{{t}}=Y_{{t}})=0$ , a zatem procesy $X$ i $Y$ nie są nierozróżnialne.

Stwierdzenie 3.1

Załóżmy, że $T$ jest przedziałem oraz procesy $X=(X_{{t}})_{{t\in T}}$ i $Y=(Y_{{t}})_{{t\in T}}$ mają prawostronnie ciągłe trajektorie. Wówczas, jeśli $X$ jest modyfikacją $Y$ , to $X$ i $Y$ są nierozróżnialne.

Wybierzmy przeliczalny podzbiór $T_{{0}}\subset T$ , gęsty w $T$ , zawierający dodatkowo $\sup T$ , jeśli $T$ jest przedziałem prawostronnie domkniętym. Niech

$A=\{\forall _{{t\in T_{{0}}}}\ X_{{t}}=Y_{{t}}\},$

wówczas ${\mathbb{P}}(A)=1$ , jako przeliczalne przecięcie zbiorów pełnej miary. Ponadto, jeśli $\omega\in A$ , to dla dowolnego $t\in T$ ,

$X_{{t}}(\omega)=\lim _{{s\rightarrow t+,s\in T_{{0}}}}X_{{s}}(\omega)=\lim _{{s\rightarrow t+,s\in T_{{0}}}}Y_{{s}}(\omega)=Y_{{t}}(\omega),$

czyli

${\mathbb{P}}(\forall _{{t\in T}}\ X_{{t}}=Y_{{t}})\geq{\mathbb{P}}(A)=1.$

∎

3.2. Twierdzenie o ciągłej modyfikacji

Najważniejsze twierdzenie tego wykładu podaje kryterium istnienia modyfikacji procesu, która ma ciągłe trajektorie. Zanim sformułujemy dokładny wynik przypomnijmy definicję funkcji hölderowskiej.

Definicja 3.2

Funkcja $f\colon[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}$ jest hölderowsko ciągła z wykładnikiem $\gamma$ , jeśli dla pewnej stałej $C<\infty$ ,

$|f(s)-f(t)|\leq C|t-s|^{{\gamma}}\mbox{ dla wszystkich }s,t\in[a,b].$

Twierdzenie 3.1

Załóżmy, że $X=(X_{{t}})_{{t\in[a,b]}}$ jest procesem takim, że

$\forall _{{t,s\in[a,b]}}\ {\mathbb{E}}|X_{{t}}-X_{{s}}|^{{\alpha}}\leq C|t-s|^{{1+\beta}}$

(3.1)

dla pewnych stałych dodatnich $\alpha,\beta,C$ . Wówczas istnieje proces $\widetilde{X}=(\widetilde{X}_{{t}})_{{t\in[a,b]}}$ , będący modyfikacją procesu $X$ , którego wszystkie trajektorie są ciągłe. Co więcej trajektorie każdej modyfikacji $X$ o ciągłych trajektoriach są, z prawdopodobieństwem 1, hölderowsko ciągłe z dowolnym wykładnikiem $\gamma<\frac{\beta}{\alpha}$ .

Zainteresownych dowodem odsyłamy np. do [4] lub [8].

Wniosek 3.1

Twierdzenie 3.1 jest prawdziwe, gdy przedział $[a,b]$ zastąpimy nieskończonym przedziałem, o ile hölderowskość trajektorii zastąpimy lokalną hölderowskością (tzn. hölderowskością na każdym przedziale skończonym). Co więcej, wystarczy, by warunek (3.1) zachodził dla $|s-t|\leq\delta$ , gdzie $\delta$ jest ustaloną liczbą dodatnią.

Przedział nieskończony $T$ można zapisać jako przeliczalną sumę przedziałów $[a_{{n}},a_{{n+1}}]$ , długości nie większej od $\delta$ . Z Twierdzenia 3.1 wynika istnienie modyfikacji $\widetilde{X}_{{t}}^{{(n)}}$ procesu $X$ na przedziale $[a_{{n}},a_{{n+1}}]$ , o ciągłych trajektoriach. Niech $A_{{n}}=\{\tilde{X}_{{a_{{n+1}}}}^{{(n)}}\neq\tilde{X}^{{(n+1)}}_{{a_{{n+1}}}}\}$ , wówczas $A=\bigcup _{n}A_{{n}}$ ma miarę zero. Możemy więc położyć:

$\widetilde{X}_{{t}}(\omega)=\left\{\begin{array}[]{ll}\widetilde{X}_{{t}}^{{(n)}}(\omega)&\mbox{ dla }t\in[a_{{n}},a_{{n+1}}],\ \omega\notin A,\\ 0&\mbox{ dla }\omega\in A.\end{array}\right.$

∎

Wniosek 3.2

Istnieje proces Wienera, tzn. proces spełniający warunki (W0)-(W3).

Mamy ${\mathbb{E}}|W_{{s}}-W_{{t}}|^{{4}}={\mathbb{E}}|\sqrt{t-s}W_{{1}}|^{{4}}=(s-t)^{{2}}{\mathbb{E}}W_{{1}}^{{4}}=3(s-t)^{{2}}$ i możemy zastosować Wniosek 3.1 z $\beta=1$ , $\alpha=4$ i $C=3$ .

∎

Wniosek 3.3

Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera są lokalnie hölderowsko ciągłe z dowolnym parametrem $\gamma<1/2$ .

Mamy ${\mathbb{E}}|W_{{s}}-W_{{t}}|^{{p}}=(s-t)^{{p/2}}{\mathbb{E}}|W_{{1}}|^{{p}}=C_{{p}}(s-t)^{{p/2}}$ dla dowolnego $p<\infty$ . Stosując Twierdzenie 3.1 z $\beta=p/2-1$ , $\alpha=p$ dostajemy hölderowską ciągłość trajektorii z dowolnym $\gamma<\frac{1}{2}-\frac{1}{p}$ . Biorąc $p\rightarrow\infty$ dostajemy tezę.

∎

Uwaga 3.1

Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera nie są jednostajnie ciągłe na $[0,\infty)$ , nie mogą więc być globalnie hölderowskie z żadnym wykładnikiem.

Uwaga 3.2

Założenia $\beta>0$ nie można opuścić – wystarczy rozważyć proces Poissona $(N_{t})_{{t\geq 0}}$ (tzn. proces o prawostronnie ciaglych trajektoriach, startujący z zera, o przyrostach niezależnych taki, że $N_{t}-N_{s}$ ma rozkład Poissona z parametrem $\lambda(t-s)$ – zob. np. rozdział 23 w [1]). Wówczas ${\mathbb{E}}|N_{{t}}-N_{{s}}|=\lambda|t-s|$ , a oczywiście proces Poissona przyjmuje wartości całkowite, więc nie ma modyfikacji o ciągłych trajektoriach.

3.3. Uwagi i uzupełnienia

W tym wykładzie koncentrowaliśmy uwagę nad procesami o trajektoriach ciągłych. Warto jednak wspomnieć o innych formach ciągłości procesów stochastycznych.

Definicja 3.3

Niech $X=(X_{{t}})_{{t\in T}}$ będzie procesem stochastycznym. Mówimy, że
a) proces $X$ jest stochastycznie ciągły, jeśli

$t_{{n}}\rightarrow t\ \Rightarrow\ X_{{t_{{n}}}}\overset{{\mathbb{P}}}{\rightarrow}X_{{t}}.$

b) proces $X$ jest ciągły wg $p$ -tego momentu (ciągły w $L_{{p}}$ ), jeśli

$t_{{n}}\rightarrow t\ \Rightarrow\ {\mathbb{E}}|X_{{t_{{n}}}}-X_{{t}}|^{{p}}\rightarrow 0.$

Uwaga 3.3

Ciągłość trajektorii oraz ciągłość wg $p$ -tego momentu implikują ciągłość stochastyczną procesu. Z pozostałych czterech implikacji między powyższymi pojęciami ciągłości procesu żadna nie jest prawdziwa bez dodatkowych założeń.

3.4. Zadania

Ćwiczenie 3.1

Proces $X$ jest modyfikacją procesu Wienera. Które z następujących własności są spełnione dla procesu $X$ :
a) niezależność przyrostów,
b) stacjonarność przyrostów,
c) ciągłość trajektorii,
d) $\lim _{{t\rightarrow\infty}}\frac{X_{{t}}}{t}=0$ p.n.,
e) $\lim _{{t\rightarrow\infty}}\frac{X_{{t}}}{t}=0$ według prawdopodobieństwa?

Ćwiczenie 3.2

Wykaż, że trajektorie procesu Wienera nie są lokalnie 1/2-hölderowskie.

Ćwiczenie 3.3

Scentrowany proces gaussowski nazywamy ułamkowym ruchem Browna, jeśli ${\mathbb{E}}|X_{{t}}-X_{{s}}|^{{2}}=|t-s|^{{2\alpha}}$ (można wykazać, że taki proces istnieje dla $0<\alpha<1$ ). Udowodnij, że ułamkowy ruch Browna ma ciągłą modyfikację. Co można powiedzieć o hölderowskości jej trajektorii?

Ćwiczenie 3.4

Udowodnij tezę Uwagi 3.3.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej