Zagadnienia

8.1 Całka Paleya-Wienera
8.2 Procesy elementarne
8.3 Martyngały ciągłe, całkowalne z kwadratem
8.4 Całka izometryczna Itô. Procesy prognozowalne
8.5 Zadania

8. Całka izometryczna względem procesu Wienera

Podczas kolejnych wykładów zdefiniujemy całkę względem procesu Wienera - zaczniemy od całkowania funkcji deterministycznych, by później przejść do konstrukcji izometrycznej całki stochastycznej Itô.

Konstrukcja całki stochastycznej ma pewne podobieństwa do konstrukcji całki Lebesgue'a. Najpierw określa się, w naturalny sposób, całki najprostszych funkcji/procesów (funkcje schodkowe, procesy elementarne), później pokazuje się własności tak określonej całki (oparte na liczeniu drugich momentów), które pozwalają uogólnić definicję na bardziej złożone funkcje/procesy.

Należy zwrócić uwagę, że całkę stochastyczną definiujemy globalnie na całej przestrzeni probabilistycznej, a nie dla każdej trajektorii z osobna.

Dla uproszczenia notacji będziemy definiowali całki $\int _{0}^{t}X_{s}dW_{s}$ . Całkę $\int _{u}^{t}X_{s}dW_{s}$ dla $0<u<t$ można wówczas określić na kilka sposobów - albo uogólniając w naturalny sposób odpowiednie definicje albo np. jako całkę $\int _{0}^{t}X_{s}{\mathrm{I}}_{{[u,\infty)}}(s)dW_{s}$ .

Będziemy zakładać, że $0<T\leq\infty$ oraz $({\mathcal{F}}_{t})_{{t\geq 0}}$ jest filtracją spełniającą zwykłe warunki taką, że $W_{t}$ jest ${\mathcal{F}}_{t}$ -mierzalne oraz $W_{s}-W_{t}$ jest niezależne od ${\mathcal{F}}_{t}$ dla $s\geq t$ (za ${\mathcal{F}}_{t}$ można przyjąć uzupełnienie ${\mathcal{F}}_{{t+}}^{W}$ ).

8.1. Całka Paleya-Wienera

Definiowanie całki stochastycznej względem procesu Wienera zaczniemy od najprostszego przypadku funkcji deterministycznych.

Dla funkcji schodkowej postaci

$h=\sum _{{i=1}}^{k}\alpha _{i}{\mathrm{I}}_{{(t_{{i-1}},t_{i}]}},\quad 0=t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{k}=t,\,\alpha _{i}\in{\mathbb{R}},$

określamy

$I(h)=\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s}:=\sum _{{i=1}}^{{k}}\alpha _{i}(W(t_{i})-W(t_{{i-1}})).$

Z podstawowych własności procesu Wienera natychmiast otrzymujemy następujące własności przekształcenia $I$ :

Stwierdzenie 8.1

Przy powyżej wprowadzonych oznaczeniach mamy
i) ${\mathbb{E}}I(h)=0$ ,
ii) $\mathrm{Var}(I(h))={\mathbb{E}}I(h)^{2}=\int _{{0}}^{{t}}h^{2}(s)\, ds$ ,
iii) $I(h)$ ma rozkład normalny ${\mathcal{N}}(0,\int _{{0}}^{{t}}h^{2}(s)\, ds)$ ,
iii) $I(c_{1}h_{1}+c_{2}h_{2})=c_{1}I(h_{1})+c_{2}I(h_{2})$ dla $c_{1},c_{2}\in{\mathbb{R}}$ .

Oznaczając przez $E_{1}$ zbiór funkcji schodkowych na $[a,b]$ widzimy, że przekształcenie $I$ definiuje liniową izometrię $L_{2}([0,t])\supset E_{1}\rightarrow L_{2}(\Omega)$ . Ponieważ funkcje schodkowe są gęste w $L_{2}$ izometrię w jednoznaczny sposób możemy rozszerzyć na całe $L_{2}([0,t])$ .

Definicja 8.1

Rozszerzenie powyższej izometrii do izometrii na $L_{2}([0,t])$ nazywamy całką Paleya-Wienera z funkcji $h$ i oznaczamy $\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s}$ .

Stwierdzenie 8.2

Dla dowolnej funkcji $h\in L_{2}([0,t])$ ,
i) ${\mathbb{E}}(\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s})=0$ ,
ii) $\mathrm{Var}(\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s})={\mathbb{E}}(\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s})^{2}=\int _{{0}}^{{t}}h^{2}(s)\, ds$ ,
iii) $\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s}$ ma rozkład normalny ${\mathcal{N}}(0,\int _{{0}}^{{t}}h^{2}(s)\, ds)$ .

Można też udowodnić następujące proste własności całki Paleya-Wienera:

Stwierdzenie 8.3

i) Jeżeli $h\in C^{1}([0,t])$ , to

$\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s}=h(t)W_{t}-\int _{{0}}^{{t}}h^{{\prime}}(s)W_{s}\, ds.$

Ponadto dla dowolnego $h\in L_{2}[0,t]$ ,
ii) ${\mathbb{E}}|\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s}|^{p}={\mathbb{E}}|W_{1}|^{p}(\int _{{0}}^{{t}}h^{2}(s)\, ds)^{{p/2}}$
oraz
iii) $\int _{0}^{u}h(s)dW_{s}=\int _{0}^{t}h(s){\mathrm{I}}_{{[0,u]}}(s)ds$ p.n. dla dowolnych $0<u<t$ .

Dowód pozostawiamy Czytelnikowi (zob. Ćwiczenia 8.2-8.4).

8.2. Procesy elementarne

Starając się przenieść konstrukcję Paleya-Wienera na przypadek całki z procesów, musimy określić stochastyczny odpowiednik funkcji schodkowych - są to tak zwane procesy elementarne.

Definicja 8.2

Powiemy, że proces $X=(X_{t})_{{t\in[0,T)}}$ należy do ${\mathcal{E}}$ - rodziny procesów elementarnych (elementarnych procesów prognozowalnych), jeśli $X$ jest postaci

$X_{t}=\xi _{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}+\sum _{{k=1}}^{{m}}\xi _{{k-1}}{\mathrm{I}}_{{(t_{{k-1}},t_{k}]}}(t),$

(8.1)

gdzie $0=t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{m}<T$ , zaś $\xi _{{k}}$ są ograniczonymi zmiennymi losowymi, ${\mathcal{F}}_{{t_{{k}}}}$ -mierzalnymi.

Oczywiście ${\mathcal{E}}$ jest przestrzenią liniową.

Definicja 8.3

Dla $X\in{\mathcal{E}}$ definiujemy proces

$I(X)=(I(X)_{t})_{{t\leq T}}=\Big(\int _{{0}}^{{t}}X_{s}\, dW_{s}\Big)_{{t\leq T}}$

wzorem

$I(X)_{t}:=\sum _{{k=1}}^{{m}}\xi _{{k-1}}(W_{{t_{k}\wedge t}}-W_{{t_{{k-1}}\wedge t}}).$

Uwaga 8.1

Definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od reprezentacji $X\in{\mathcal{E}}$ .

Stwierdzenie 8.4

Jeśli $X$ jest procesem elementarnym, to proces $I(X)=(\int _{{0}}^{{t}}X_{s}\, dW_{s})_{{t\leq T}}$ jest martyngałem względem $({\mathcal{F}}_{t})_{{0\leq t\leq T}}$ , o ciągłych trajektoriach takim, że $I(X)_{0}=0$ oraz

${\mathbb{E}}\Big|\int _{{0}}^{{T}}X_{s}\, dW_{s}\Big|^{2}={\mathbb{E}}\int _{{0}}^{{T}}X_{s}^{2}\, ds.$

Przyjmijmy, że $X_{t}$ jest postaci (8.1). Ciągłość trajektorii i $I(X)_{0}=0$ wynika natychmiast z określenia $I(X)$ . Jeżeli $t_{j}\leq t\leq t_{{j+1}}$ , to zmienna

$I(X)_{t}=\xi _{0}(W_{{t_{1}}}-W_{{t_{0}}})+\xi _{1}(W_{{t_{2}}}-W_{{t_{1}}})+\ldots+\xi _{j}(W_{t}-W_{{t_{j}}})$

jest ${\mathcal{F}}_{t}$ mierzalna. Ponadto $I(X)_{t}=I(X)_{{t_{m}}}$ dla $t_{m}\leq t\leq T$ .

Sprawdzimy teraz, że $I(X)$ jest martyngałem, czyli dla $s<t\leq T$ mamy ${\mathbb{E}}(I(X)_{t}|{\mathcal{F}}_{s})=I(X)_{s}$ . Wystarczy pokazać to dla $t_{j}\leq s<t\leq t_{{j+1}}$ , ale wtedy

${\mathbb{E}}(I(X)_{t}-I(X)_{s}|{\mathcal{F}}_{s})={\mathbb{E}}(\xi _{j}(W_{t}-W_{s})|{\mathcal{F}}_{s})=\xi _{j}{\mathbb{E}}(W_{t}-W_{s}|{\mathcal{F}}_{s})=0,$

wykorzystujemy tu założenie, że $\xi _{{j}}$ jest ${\mathcal{F}}_{{t_{j}}}\subset{\mathcal{F}}_{s}$ mierzalne. By zakończyć dowód liczymy

	$\displaystyle{\mathbb{E}}I(X)^{2}_{T}=$	$\displaystyle\sum _{{k=1}}^{{m}}{\mathbb{E}}[\xi _{{k-1}}^{2}(W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}})^{2}]$
		$\displaystyle+2\sum\limits _{{j<k}}{\mathbb{E}}[\xi _{{k-1}}\xi _{{j-1}}(W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}})(W_{{t_{j}}}-W_{{t_{{j-1}}}})]$	$\displaystyle=:I_{1}+I_{2}.$

Wykorzystując mierzalność $\xi _{j}$ oraz niezależność przyrostów procesu Wienera mamy

$I_{1}=\sum _{{k}}{\mathbb{E}}[\xi _{{k-1}}^{2}{\mathbb{E}}((W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}})^{2}|{\mathcal{F}}_{{t_{{k-1}}}})]=\sum _{{k}}{\mathbb{E}}\xi _{{k-1}}^{2}(t_{k}-t_{{k-1}})={\mathbb{E}}\int _{{0}}^{{T}}X_{s}^{2}\, ds$

oraz

	$\displaystyle I_{2}$	$\displaystyle=2\sum _{{j<k}}{\mathbb{E}}[(\xi _{{k-1}}\xi _{{j-1}}{\mathbb{E}}((W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}})(W_{{t_{j}}}-W_{{t_{{j-1}}}})\|{\mathcal{F}}_{{t_{{k-1}}}})]$
		$\displaystyle=2\sum _{{j<k}}{\mathbb{E}}[\xi _{{k-1}}\xi _{{j-1}}(W_{{t_{j}}}-W_{{t_{{j-1}}}}){\mathbb{E}}(W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}}\|{\mathcal{F}}_{{t_{{k-1}}}})]=0,$

bo ${\mathbb{E}}(W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}})=0.$

∎

Uwaga 8.2

Jedyne własności procesu Wienera jakie wykorzystywaliśmy w dowodzie, to ${\mathbb{E}}(W_{t}-W_{s}|{\mathcal{F}}_{s})=0$ oraz ${\mathbb{E}}((W_{t}-W_{s})^{2}|{\mathcal{F}}_{s})=t-s$ dla $0\leq s<t$ . Własności te można formalnie wyprowadzić z faktu, że procesy $(W_{t})$ i $(W_{t}^{2}-t)$ są martyngałami względem $({\mathcal{F}}_{t})$ .

8.3. Martyngały ciągłe, całkowalne z kwadratem

Definicja 8.4

Przez ${\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}$ oznaczamy przestrzeń martyngałów $(M_{t})_{{0\leq t\leq T}}$ względem filtracji $({\mathcal{F}}_{t})_{{t\in[0,T]}}$ o trajektoriach ciągłych takich, że ${\mathbb{E}}M_{T}^{2}<\infty$ .

Uwaga 8.3

i) Jeśli $M\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}$ , to z nierówności Jensena wynika, że ${\mathbb{E}}M_{t}^{2}\leq{\mathbb{E}}M_{T}^{2}<\infty$ , więc $(M_{t}^{2})_{{0\leq t\leq T}}$ jest podmartyngałem.
ii) Przestrzeń ${\mathcal{M}}_{{T}}^{{2,c}}$ można utożsamić z przestrzenią martyngałów ciągłych $(M_{t})_{{0\leq t<T}}$ takich, że $\sup _{{t<T}}{\mathbb{E}}M_{t}^{2}<\infty$ . Możemy bowiem określić $M_{{T}}$ jako granicę p.n. $M_{t}$ przy $t\rightarrow T$ (zob. Twierdzenie 6.5 dla $p=2$ ).
iii) Z nierówności Dooba (Twierdzenie 5.1) wynika, że dla $M=(M_{t})\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}$ ,

${\mathbb{E}}\sup _{{t\leq T}}M_{t}^{2}\leq 4{\mathbb{E}}M_{T}^{2}.$

Twierdzenie 8.1

Przestrzeń ${\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}$ jest przestrzenią Hilberta (tzn. zupełną przestrzenią euklidesową) z iloczynem skalarnym

$(M,N)=(M,N)_{T}={\mathbb{E}}M_{T}N_{T},\quad M,N\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}$

oraz normą

$\| M\| _{T}=\sqrt{(M,M)_{T}}=\sqrt{{\mathbb{E}}M_{T}^{2}}=\| M_{T}\| _{{L_{2}(\Omega)}}.$

Uwaga 8.4

i) Przy rozważaniach dotyczących całki stochastycznej utożsamiamy procesy nieodróżnialne. Formalnie rzecz biorąc elementy ${\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}$ to klasy abstrakcji martyngałów ciągłych względem relacji nieodróżnialności.
ii) Przekształcenie $M\rightarrow M_{T}$ jest izometrycznym włożeniem przestrzeni ${\mathcal{M}}_{{T}}^{{2,c}}$ w $L_{2}(\Omega,{\mathcal{F}},{\mathbb{P}})$ .

Dowód Twierdzenia

Oczywiście ${\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}$ jest przestrzenią liniową, zaś $(M,N)$ jest iloczynem skalarnym, bo jest dwuliniowy, symetryczny, $(M,M)\geq 0$ oraz jeśli $(M,M)=0$ , to ${\mathbb{E}}M_{T}^{2}=0$ , czyli $M_{T}=0$ p.n., co z własności martygału implikuje, że $M_{t}=0$ p.n., więc z ciągłości $M$ , ${\mathbb{P}}(\forall _{{t\leq T}}\ M_{t}=0)=1$ .

Musimy jeszcze udowodnić zupełność. Niech $M^{{(n)}}=(M_{t}^{{(n)}})\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}$ będzie ciągiem Cauchy'ego, czyli

$\| M^{{(n)}}-M^{{(m)}}\| _{T}^{2}={\mathbb{E}}(M_{T}^{{(n)}}-M_{T}^{{(m)}})^{2}\rightarrow 0\quad\mbox{ dla }m,n\rightarrow\infty.$

Wówczas $M_{T}^{{(n)}}$ jest ciągiem Cauchy'ego w $L_{2}(\Omega,{\mathcal{F}}_{T},{\mathbb{P}})$ , zatem z zupełności $L_{2}$ istnieje całkowalna z kwadratem zmienna $M_{T}$ taka, że ${\mathbb{E}}|M_{T}^{{(n)}}-M_{T}|^{2}\rightarrow 0$ przy $n\rightarrow\infty$ .

Możemy położyć $\tilde{M}_{t}:={\mathbb{E}}(M_{T}|{\mathcal{F}}_{t})$ , ale taka definicja nie gwarantuje ciągłości $\tilde{M}$ . Udowodnimy, że można znaleźć martyngał $M$ , który jest ciągłą modyfikację $\tilde{M}$ .

Zauważmy, że na mocy nierówności Dooba,

${\mathbb{E}}\sup _{{t\leq T}}(M_{t}^{{(n)}}-M_{t}^{{(m)}})^{2}\leq 4{\mathbb{E}}|M_{T}^{{(n)}}-M_{T}^{{(m)}}|^{2},$

więc możemy wybrać podciąg $n_{{k}}$ taki, że

$\forall _{{l>k}}\ {\mathbb{E}}\sup _{{t\leq T}}(M_{t}^{{(n_{k})}}-M_{t}^{{(n_{l})}})^{2}\leq 8^{{-k}}.$

Wówczas

${\mathbb{P}}\Big(\sup _{{t\leq T}}|M_{t}^{{(n_{k})}}-M_{t}^{{(n_{{k+1}})}}|\geq 2^{{-k}}\Big)\leq 2^{{-k}}.$

Zatem, jeśli określimy

$A_{{k}}:=\{\sup _{{t\leq T}}|M_{t}^{{(n_{k})}}-M_{t}^{{(n_{{k+1}})}}|\geq 2^{{-k}}\},$

to $\sum _{{k}}{\mathbb{P}}(A_{{k}})<\infty$ , czyli na mocy lematu Borela-Cantelli, ${\mathbb{P}}(\limsup A_{k})=0$ .

Jeśli $\omega\notin\limsup A_{k}$ , to $\omega\notin A_{k}$ dla $k\geq k_{0}=k_{0}(\omega)$ , czyli $\sup _{{t\leq T}}|M_{t}^{{(n_{k})}}-M_{t}^{{(n_{{k+1}})}}|\leq 2^{{-k}}$ dla $k\geq k_{0}$ . Ciąg $(M_{t}^{{n_{k}}}(\omega))_{{0\leq t\leq T}}$ jest zatem zbieżny jednostajnie na $[0,T]$ do pewnej funkcji $M_{t}(\omega)$ . Kładziemy dodatkowo $M(\omega)=0$ dla $\omega\in\limsup A_{k}$ .

Z ciągłości $M^{{(n_{k})}}$ wynika ciągłość $M$ . Ponieważ $M_{{T}}^{{(n_{k})}}\rightarrow M_{{T}}$ w $L_{2}$ więc również w $L_{1}$ , czyli $M_{{t}}^{{(n_{{k}})}}={\mathbb{E}}(M_{{T}}^{{(n_{k})}}|{\mathcal{F}}_{{t}})\rightarrow{\mathbb{E}}(M_{{T}}|{\mathcal{F}}_{{t}})$ w $L_{1}$ , a że $M_{{t}}^{{(n_{{k}})}}\rightarrow M_{{t}}$ p.n., więc $M_{{t}}={\mathbb{E}}(M_{{T}}|{\mathcal{F}}_{{t}})=\tilde{M}_{t}$ p.n., czyli $(M_{t})_{{0\leq t\leq T}}$ jest martyngałem ciągłym.

∎

8.4. Całka izometryczna Itô. Procesy prognozowalne

Każdemu procesowi elementarnemu $X$ przyporządkowaliśmy martyngał ciągły $I(X)$ , co więcej przekształcenie $I$

$L_{2}([0,T]\times\Omega,{\mathcal{B}}([0,T])\otimes{\mathcal{F}},\lambda\otimes{\mathbb{P}})\hookleftarrow{\mathcal{E}}\stackrel{I}{\longrightarrow}{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}$

jest liniową izometrią. Przekształcenie $I$ możemy więc rozszerzyć do liniowej izometrii (którą też będziemy oznaczać literą $I$ ) z $\overline{{\mathcal{E}}}$ w ${\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}$ , gdzie $\overline{{\mathcal{E}}}$ oznacza domknięcie przestrzeni procesów elementarnych w $L_{2}([0,T]\times\Omega,{\mathcal{B}}([0,T])\otimes{\mathcal{F}},\lambda\otimes{\mathbb{P}})$ .

Definicja 8.5

Tak zdefiniowane przekształcenie $I$ przyporządkowujące każdemu procesowi $X=(X_{t})_{{0\leq t\leq T}}$ z przestrzeni $\overline{{\mathcal{E}}}$ ciągły, całkowalny z kwadratem martyngał $I(X)$ nazywamy izometryczną całką stochastyczną Itô z procesu $X$ i oznaczamy

$I(X)_{t}=:\int _{0}^{t}X_{s}dW_{s},\quad 0\leq t\leq T.$

Oczywiście natychmiast powstaje pytanie jak wygląda przestrzeń $\overline{{\mathcal{E}}}$ , czyli jakie procesy stochastyczne umiemy całkować.

Definicja 8.6

$\sigma$ -ciało zbiorów prognozowalnych ${\mathcal{P}}$ , to $\sigma$ -ciało podzbiorów $[0,T)\times\Omega$ generowane przez zbiory postaci $\{ 0\}\times A$ , $(s,t]\times A$ , $s<t<T$ , $A\in{\mathcal{F}}_{s}$ .

Proces $X=(X_{t})_{{0\leq t<T}}$ jest prognozowalny, jeśli traktowany jako funkcja $X:[0,T)\times\Omega\rightarrow{\mathbb{R}}$ jest mierzalny względem ${\mathcal{P}}$ .

Z definicji natychmiast wynika, że $X_{t}(\omega)={\mathrm{I}}_{A}(\omega){\mathrm{I}}_{{(u,v]}}(t)$ jest prognozowalny, jeśli $A\in{\mathcal{F}}_{u}$ oraz $u\leq v<T$ .

Ponieważ każdą ograniczoną zmienną $\xi$ , ${\mathcal{F}}_{u}$ –mierzalną można aproksymować jednostajnie przez zmienne postaci $\sum a_{i}{\mathrm{I}}_{{A_{i}}}$ , $A_{i}\in{\mathcal{F}}_{u}$ , więc proces $\xi(\omega){\mathrm{I}}_{{(u,v]}}(t)$ jest prognozowalny dla dowolnej ograniczonej zmiennej $\xi$ , ${\mathcal{F}}_{u}$ –mierzalnej.

Zatem dowolny proces $Y\in{\mathcal{E}}$ jest prognozowalny, czyli ${\mathcal{E}}\subset L_{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}),$ stąd

$\overline{{\mathcal{E}}}\subset L_{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}).$

W szczególności każdy proces z $\overline{{\mathcal{E}}}$ jest nieodróznialny od procesu prognozowalnego. Okazuje się, że zachodzi również odwrotne zawieranie.

Stwierdzenie 8.5

Mamy $\overline{{\mathcal{E}}}=L^{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}})$ .

Wobec poprzednich rozważań musimy tylko pokazać, że $\overline{{\mathcal{E}}}\supset L_{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}).$ Rozważymy dwa przypadki.

Przypadek I: $T<\infty$ .

Najpierw pokażemy, że jeśli $\Gamma\in{\mathcal{P}}$ , to ${\mathrm{I}}_{{\Gamma}}\in\overline{{\mathcal{E}}}$ . W tym celu określmy ${\mathcal{A}}:=\{\Gamma\in{\mathcal{P}}\colon\,{\mathrm{I}}_{{\Gamma}}\in\overline{{\mathcal{E}}}\}$ oraz

${\mathcal{B}}:=\{\{ 0\}\times A\colon\, A\in{\mathcal{F}}_{0}\}\cup\{(u,v]\times A\colon\, 0\leq u<v<T,\, A\in{\mathcal{F}}_{u}\}.$

Łatwo sprawdzić, że ${\mathcal{B}}$ jest $\pi$ -układem, ponadto jeśli $\Gamma\in{\mathcal{B}}$ , to ${\mathrm{I}}_{{\Gamma}}\in{\mathcal{E}}\subset\overline{{\mathcal{E}}}$ , a zatem ${\mathcal{B}}\subset{\mathcal{A}}$ . Co więcej ${\mathcal{A}}$ jest $\lambda$ -układem dla $T<\infty$ , bo
i) $\Gamma=[0,T)\times\Omega\in{\mathcal{A}}$ , czyli ${\mathrm{I}}_{{\Gamma}}=1\in\overline{{\mathcal{E}}}$ , gdyż biorąc ciąg $T_{n}\nearrow T$ , otrzymujemy ${\mathcal{E}}\ni{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}\times\Omega}}+{\mathrm{I}}_{{(0,T_{n}]\times\Omega}}={\mathrm{I}}_{{[0,T_{n}]\times\Omega}}\stackrel{L_{2}}{\longrightarrow}{\mathrm{I}}_{{[0,T)\times\Omega}}\in\overline{{\mathcal{E}}}$ .
ii) $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\in{\mathcal{A}}$ , $\Gamma _{1}\subset\Gamma _{2}$ , ${\mathrm{I}}_{{\Gamma _{2}\setminus\Gamma _{1}}}={\mathrm{I}}_{{\Gamma _{2}}}-{\mathrm{I}}_{{\Gamma _{1}}}\in\overline{{\mathcal{E}}}$ z liniowości $\overline{{\mathcal{E}}}$ , czyli $\Gamma _{2}\setminus\Gamma _{1}\in{\mathcal{A}}$ .
iii) $\Gamma _{n}\in{\mathcal{A}}$ wstępujący, wówczas ${\mathrm{I}}_{{\Gamma _{n}}}\stackrel{L_{2}}{\longrightarrow}{\mathrm{I}}_{{\bigcup\Gamma _{n}}}\in\overline{{\mathcal{E}}}$ , czyli $\bigcup\Gamma _{n}\in{\mathcal{A}}$ .

Zatem dla $T<\infty$ , z twierdzenia o $\pi$ - i $\lambda$ -układach ${\mathcal{A}}\supset\sigma({\mathcal{B}})={\mathcal{P}}.$

Dalej, jeśli $\Gamma _{i}\in{\mathcal{P}}$ , $a_{i}\in{\mathbb{R}}$ , to $\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}{\mathrm{I}}_{{\Gamma _{i}}}\in\overline{{\mathcal{E}}}$ (z liniowości). Ponadto funkcje proste $\sum _{{i\leq n}}a_{i}{\mathrm{I}}_{{\Gamma _{i}}}$ są gęste w $L^{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}})$ , czyli $\overline{{\mathcal{E}}}=L^{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}).$

Przypadek II: $T=\infty$ .

Niech $X\in L_{2}([0,\infty)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}})$ oraz $X_{t}^{{(n)}}(\omega):=X_{t}(\omega){\mathrm{I}}_{{[0,n)\times\Omega}}(t,\omega)$ . Wówczas procesy $X^{{(n)}}$ są prognozowalne, należą do $L_{2}([0,n)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}})$ , zatem $X^{{(n)}}\in\overline{{\mathcal{E}}}$ na mocy przypadku I.

Ponadto $X^{{(n)}}\rightarrow X$ w $L_{2}([0,\infty)\times\Omega,\lambda\otimes{\mathbb{P}})$ (tw. Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej), czyli $X\in\overline{{\mathcal{E}}}$ .

∎

Określiliśmy zatem $\int _{0}^{t}X_{s}dW_{s}$ dla procesów prognozowalnych całkowalnych z kwadratem względem miary $\lambda\otimes{\mathbb{P}}$ na $[0,T)\times\Omega$ . Od tej pory przyjmujemy następujące oznaczenie

	$\displaystyle{\mathcal{L}}_{2}^{T}$	$\displaystyle=L_{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}})$
		$\displaystyle=\Big\{ X=(X_{t})_{{0\leq t<T}}\mbox{ prognozowalny }\colon\ {\mathbb{E}}\int _{0}^{T}X_{s}^{2}ds<\infty\Big\}.$

Dobrze by było jeszcze wiedzieć, że klasa procesów prognozowalnych jest dostatecznie duża, wynika to z następującego faktu:

Stwierdzenie 8.6

Jeśli $X=(X_{t})_{{t\in[0,T)}}$ jest procesem adaptowalnym i lewostronnie ciągłym, to $X$ jest prognozowalny.

Dla $T<\infty$ określmy

$X_{t}^{{(n)}}:=X_{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}+\sum _{{k=1}}^{{2^{n}-1}}X_{{\frac{k-1}{2^{n}}T}}{\mathrm{I}}_{{(\frac{k-1}{2^{n}}T,\frac{k}{2^{n}}T]}},$

zaś w przypadku $T=\infty$ niech

$X_{t}^{{(n)}}:=X_{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}+\sum _{{k=1}}^{{n2^{n}}}X_{{\frac{k-1}{2^{n}}}}{\mathrm{I}}_{{(\frac{k-1}{2^{n}},\frac{k}{2^{n}}]}}.$

Łatwo zauważyć, że procesy $X^{{(n)}}$ są prognozowalne oraz z lewostronnej ciągłości $X$ wynika, że $X_{t}^{{(n)}}\rightarrow X_{t}$ punktowo. Prognozowalność $X$ wynika z faktu, że granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna.

∎

Uwaga 8.5

Można udowodnić, że dla $({\mathcal{F}}_{t})$ -adaptowalnego procesu $X=(X_{t})_{{t\in[0,T)}}$ takiego, że ${\mathbb{E}}\int _{0}^{T}X_{s}^{2}ds<\infty$ istnieje proces prognozowalny $Y$ taki, że $X_{t}(\omega)=Y_{t}(\omega)$ dla $\lambda\otimes{\mathbb{P}}$ prawie wszystkich $(t,\omega)\in[0,T)\times\Omega$ . Pozwala to określić $\int XdW$ dla procesów adaptowalnych z $L_{2}([0,T)\times\Omega)$ .

8.5. Zadania

Ćwiczenie 8.1

Oblicz $\mathrm{Cov}(\int _{{0}}^{{s}}h_{{1}}(t)dW_{{t}},\int _{{0}}^{{s}}h_{{2}}(t)dW_{{t}})$ dla $h_{{1}},h_{{2}}\in L_{{2}}([0,s])$ .

Ćwiczenie 8.2

Wykaż, że dla $0\leq u<t$ i $h\in L_{2}([0,t])$ zachodzi

$\int _{{0}}^{u}h(s)dW_{s}=\int _{{0}}^{{t}}h{\mathrm{I}}_{{[0,u]}}(s)dW_{s}\quad\mbox{ p.n..}$

Ćwiczenie 8.3

Wykaż, że dla $h\in C^{{1}}[0,t]$ zachodzi

$\int _{{0}}^{{t}}h(s)dW_{{s}}=h(t)W_{{t}}-\int _{{0}}^{{t}}h^{{\prime}}(s)W_{{s}}ds\quad\mbox{ p.n..}$

Ćwiczenie 8.4

Niech $C_{{p}}:=({\mathbb{E}}|W_{{1}}|^{{p}})^{{1/p}}$ . Wykaż, że dla $0<p<\infty$ , przekształcenie $h\rightarrow C_{{p}}^{{-1}}\int _{{0}}^{{T}}h(t)dW_{{t}}$ jest izometrycznym włożeniem $L_{{2}}([0,T])$ w $L_{{p}}(\Omega)$ .

Ćwiczenie 8.5

Wykaż, że proces

$Y_{{t}}=\left\{\begin{array}[]{ll}(1-t)\int _{{0}}^{{t}}\frac{1}{1-s}dW_{{s}}&0\leq t<1,\\ 0&t=1\end{array}\right.$

ma takie same rozkłady skończenie wymiarowe co proces $Z_{{t}}=W_{{t}}-tW_{{1}}$ (most Browna).

Ćwiczenie 8.6

Wykaż, że jeśli $X\in{\cal L}^{{2}}_{{T}},0\leq t\leq s\leq T$ oraz $\xi$ jest ograniczoną zmienną losową ${\cal F}_{{t}}$ mierzalną to $\xi XI_{{(t,s]}}\in{\cal L}^{{2}}_{{T}}$ oraz $\int _{{t}}^{{s}}\xi XdW=\xi\int _{{t}}^{{s}}XdW$ (Uwaga: $\int _{{t}}^{{s}}XdW$ definiujemy jako $\int _{{0}}^{{T}}{\mathrm{I}}_{{(s,t]}}XdW$ ).

Ćwiczenie 8.7

Wykaż, że jeśli $0<t_{{1}}<\ldots<t_{{m}}<T$ oraz $\xi _{{k}}$ są zmiennymi losowymi w $L^{{2}}(\Omega)$ , ${\cal F}_{{t_{{k}}}}$ mierzalnymi to proces $X:=\sum _{{k=1}}^{{m-1}}\xi _{{k}}{\mathrm{I}}_{{(t_{{k}},t_{{k+1}}]}}$ należy do ${\cal L}^{{2}}_{{T}}$ oraz $\int _{{0}}^{{t}}XdW=\sum _{{k=1}}^{{m-1}}\xi _{{k}}(W_{{t_{{k+1}}\wedge t}}-W_{{t_{{k}}\wedge t}})$ .

Ćwiczenie 8.8

Załóżmy, że $X$ jest procesem prognozowalnym, ciągłym w $L_{2}$ (tzn. $t\rightarrow X_{{t}}$ jest ciągła z $[0,T]$ w $L_{2}(\Omega)$ ). Wykaż, że wówczas $X\in{\cal L}^{{2}}_{{T}}$ oraz dla dowolnego ciągu podziałów $0=t_{{0}}^{{(n)}}\leq t_{{1}}^{{(n)}}\leq\ldots\leq t_{{k_{{n}}}}^{{(n)}}=T$ o średnicy zbiegającej do zera zachodzi dla $t\leq T$ ,

$\sum _{{k=0}}^{{k_{{n}}-1}}X_{{t_{{k}}^{{(n)}}}}(W_{{t_{{k+1}}^{{(n)}}}}-W_{{t_{{k}}^{{(n)}}}})\rightarrow\int _{{0}}^{{T}}XdW$

w $L_{2}(\Omega)$ przy $n\rightarrow\infty$ .

Ćwiczenie 8.9

Oblicz $\int _{{0}}^{{t}}W_{{s}}dW_{{s}}$ .

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej