Podczas pierwszego wykładu określimy czym jest proces stochastyczny oraz zdefiniujemy proces Wienera – najważniejszy przykład procesu o ciągłych trajektoriach.
Zaczniemy od podania ważnych definicji używanych podczas całego wykładu.
Niech będzie przestrzenią probabilistyczną,
przestrzenią
mierzalną, zaś
dowolnym zbiorem.
Procesem stochastycznym o wartościach w
, określonym na zbiorze
, nazywamy
rodzinę zmiennych losowych
, przyjmujących wartości w
zbiorze
.
W czasie wszystkich dalszych wykładów będzie podzbiorem
(najczęściej
przedziałem, niekoniecznie ograniczonym), zaś
lub
.
Parametr
można wówczas interpretować jako czas.
Trajektorią procesu nazywamy funkcję (losową!)
, określoną na zbiorze
o wartościach w
.
Powiemy, że proces ,
ma przyrosty niezależne
jeśli dla dowolnych indeksów
ze zbioru
,
zmienne losowe
są niezależne.
Mówimy, że proces stochastyczny
ma przyrosty stacjonarne, jeśli
rozkład
zależy tylko od
, czyli
![]() |
Procesem Wienera (ruchem Browna) nazywamy proces
stochastyczny taki, że
![]() |
|||
![]() |
|||
![]() |
|||
Trajektorie ![]() |
Warunek (W3) oznacza, że istnieje zbiór taki, że
oraz dla wszystkich
,
jest funkcją ciągłą na
. Czasami
w definicji procesu Wienera zakłada się, że wszystkie trajektorie są
ciągłe oraz
.
Najpierw podamy twierdzenie, które znacznie ułatwia sprawdzanie, że dany proces jest procesem Wienera. Musimy wpierw podać ważną definicję.
Proces nazywamy gaussowskim, jeśli wszystkie
skończenie wymiarowe rozkłady
są gaussowskie, tzn. wektor
ma rozkład gaussowski
dla dowolnych
.
Następujące procesy są procesami gaussowskimi:
, gdzie
dowolne oraz
,
proces Wienera ,
most Browna .
Procesy ,
nie są gaussowskie.
Proces jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy jest
procesem gaussowskim, o ciągłych trajektoriach p.n. takim, że
oraz
.
: Mamy
oraz
na mocy (W0) i (W2). Ponadto z niezależności przyrostów, dla
,
.
: Zauważmy, że
, więc spełniony jest warunek (W0). Dla
,
zmienna
ma rozkład normalny ze średnią
i wariancją
, więc zachodzi (W2). By
sprawdzić niezależność przyrostów ustalmy
. Zauważmy, że
wektor
ma rozkład gaussowski, więc jego współrzędne są niezależne wtedy i tylko
wtedy, gdy są nieskorelowane. Mamy jednak dla
,
![]() |
oraz
![]() |
Kolejne twierdzenie pokazuje, że (z dokładnością do drobnych technicznych założeń oraz normalizacji) proces Wienera jest jedynym procesem o ciągłych trajektoriach oraz niezależnych i stacjonarnych przyrostach.
Załóżmy, że proces spełnia warunki (W0), (W1), (W3)
(z
zastąpionym przez
) oraz
![]() |
|||
![]() |
|||
![]() |
Wówczas jest procesem Wienera.
Określmy dla ,
oraz
. Zauważmy, że
na mocy niezależności i stacjonarności przyrostów,
![]() |
![]() |
||
![]() |
Ponadto oczywiście , zatem funkcja
jest addytywna i niemalejąca na
, więc
dla pewnego
, co wobec (W2b) daje
.
Analogicznie sprawdzamy, że
, wiemy też, że
, stąd wnioskujemy, że
dla
wymiernych. Weźmy
i wybierzmy dążący do
ciąg liczb wymiernych
.
Na mocy (W2c),
, wiemy też, że
, zatem
dla pewnej stałej
. Z ciągłości trajektorii
prawie na pewno, czyli również według prawdopodobieństwa. Zatem dla
,
![]() |
![]() |
||
![]() |
|||
![]() |
dla dostatecznie dużych . Stąd
. Wykazaliśmy więc, że
ma średnią zero i wariancję
.
Ustalmy , chcemy pokazać, że
ma rozkład normalny
. Zauważmy, że
![]() |
Zmienne tworzą układ trójkątny, możemy więc skorzystać
z Centralnego Twierdzenia Granicznego i wykazać, że
zbiega
do
według rozkładu. Mamy
![]() |
wystarczy więc sprawdzić warunek Lindeberga. Dla ,
![]() |
![]() |
||
![]() |
Zauważmy, że zmienne dla ustalonego
są niezależne i mają średnią zero, zatem
![]() |
![]() |
||
![]() |
|||
![]() |
Z ciągłości trajektorii wynika, że
przy
, zatem spełniony jest warunek Lindeberga
.
Warunek (W2c) nie jest konieczny - zob. Twierdzenie 5 z paragrafu 13.1 książki [3].
Okazuje się, że również nie trzeba zakładać skończoności wariancji ani nawet istnienia
wartości średniej - warunek (W2b) ma charakter czysto normalizacyjny.
Dokładniej zachodzi następujące twierdzenie.
Załóżmy, że proces stochastyczny spełnia warunki
(W0),(W1), (W2a) i (W3). Wówczas istnieją stałe
i proces Wienera
takie, że
dla wszystkich
.
Podczas następnych wykładów podamy dość abstrakcyjną konstrukcję procesu Wienera opartą o ogólniejsze twierdzenia dotyczące istnienia i ciągłości trajektorii procesów stochastycznych. Alternatywna, bardziej bezpośrednia konstrukcja (wymagająca pewnej znajomości analizy funkcjonalnej) procesu Wienera jest zawarta w Ćwiczeniach 1.10-1.12.
Trajektorie procesu Wienera mają wiele ciekawych własności, jedną z nich jest to, że prawdopodobieństwem 1 są funkcjami ciągłymi, nieróżniczkowalnymi w żadnym punkcie.
Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera są funkcjami
nieróżniczkowalnymi w żadnym punkcie, tzn.
![]() |
Znajdź rozkład zmiennej .
Dla jakich parametrów i
, zmienne
oraz
są
niezależne?
Udowodnij, że p.n.
Znajdź rozkład wektora losowego
dla
.
Udowodnij, że z prawdopodobieństwem trajektorie procesu Wienera są nieograniczone.
Udowodnij, że z
prawdopodobieństwem trajektorie
procesu Wienera nie są jednostajnie ciągłe na
.
Udowodnij, że następujące procesy też są procesami Wienera:
i) (odbicie);
ii) (przeskalowanie czasu);
iii) dla
oraz
(inwersja czasu);
iv) ;
v) dla
,
dla
, gdzie
.
Niech , gdzie
będzie ciągiem
podziałów odcinka
oraz
oznacza średnicę
. Udowodnij, że
![]() |
jeśli oraz
p.n., jeśli
.
Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale.
Niech będzie dowolną bazą
,
oraz niech
będzie ciągiem niezależnych zmiennych
. Wykaż, że szereg
jest zbieżny w
dla dowolnego
oraz
ma te same rozkłady skończenie wymiarowe co proces Wienera.
Niech . Układem Haara
nazywamy rodzinę funkcji
określonych na
wzorami
oraz dla
,
![]() |
Układem Schaudera nazywamy rodzinę
funkcji określonych na
wzorem
.
Niech
będzie rodziną niezależnych zmiennych losowych
o rozkładzie
, połóżmy
![]() |
Wykaż, że dla prawie wszystkich ciąg funkcji
zbiega jednostajnie
na
do pewnej funkcji ciągłej
. Jeśli określimy np.
dla pozostałych
to tak zdefiniowany proces stochastyczny jest procesem Wienera
na
.
Niech będzie procesem Wienera na
. Wykaż, że
jest procesem Wienera na całej półprostej.
Udowodnij Twierdzenie 1.4.
Wykaż wpierw, że jeśli funkcja jest różniczkowalna w jakimś punkcie przedziału
, to
![]() |
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.