Zagadnienia

12.1 Zbieżność zmajoryzowana dla całek stochastycznych
12.2 Całkowanie przez podstawienie
12.3 Całkowanie przez części
12.4 Ciągłe semimartyngały
12.5 Zadania

12. Dalsze własności całki stochastycznej

Podczas tego wykładu wykażemy szereg ważnych własności całki stochastycznej, które pozwolą nam później udowodnić wzór Itô.

12.1. Zbieżność zmajoryzowana dla całek stochastycznych

Zacznijmy od wersji stochastycznej twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej.

Twierdzenie 12.1

Załóżmy, że $M\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{{{\rm loc}}}$ oraz $X_{n}$ są procesami prognozowalnymi takimi, że $\lim _{{n\rightarrow\infty}}X_{{n,t}}(\omega)=X_{t}(\omega)$ dla wszystkich $t<T,\omega\in\Omega$ . Jeśli dla wszystkich $t<T$ i $\omega\in\Omega$ , $|X_{{n,t}}(\omega)|\leq Y_{t}(\omega)$ dla pewnego procesu $Y\in\Lambda^{2}_{T}(M)$ , to $X_{n},X\in\Lambda^{2}_{T}(M)$ oraz

$\int _{0}^{t}X_{n}dM\rightarrow\int _{0}^{t}XdM\quad\mbox{ według prawdopodobieństwa przy }n\rightarrow\infty.$

Proces $X$ jest prognozowalny jako granica procesów prognozowalnych. Ponadto dla $t<T$ ,

$\int _{0}^{t}X^{2}_{s}d\langle M\rangle _{s},\int _{0}^{t}X_{{n,s}}^{2}d\langle M\rangle _{s}\leq\int _{0}^{t}Y_{{s}}^{2}d\langle M\rangle _{s}<\infty\mbox{ p.n.,}$

więc $X_{n},X\in\Lambda _{T}^{2}(M)$ . Bez straty ogólności możemy też założyć, że $M_{0}=0$ .

Niech $\tau _{k}\nearrow T$ takie, że $M^{{\tau _{k}}}\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T}$ oraz ${\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{k}]}}Y\in{\mathcal{L}}^{2}_{T}(M^{{\tau _{k}}})$ . Ponieważ ${\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{k}]}}X_{n}\leq{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{k}]}}Y$ , więc ${\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{k}]}}X_{n}\in{\mathcal{L}}^{2}_{T}(M^{{\tau _{k}}})$ . Z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej łatwo wykazać, że ${\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{k}]}}X_{n}\rightarrow{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{k}]}}X$ w ${\mathcal{L}}^{2}_{T}(M^{{\tau _{k}}})$ . Stąd dla ustalonego $k$ ,

$\int _{0}^{{t\wedge\tau _{k}}}X_{n}dM=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{k}]}}X_{n}dM^{{\tau _{k}}}\stackrel{L_{2}(\Omega)}{\longrightarrow}\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{k}]}}XdM^{{\tau _{k}}}=\int _{0}^{{t\wedge\tau _{k}}}XdM,$

czyli

${\mathrm{I}}_{{\{\tau _{k}\geq t\}}}\int _{0}^{{t}}X_{n}dM\stackrel{L_{2}}{\longrightarrow}{\mathrm{I}}_{{\{\tau _{k}\geq t\}}}\int _{0}^{{t}}XdM\mbox{ przy }n\rightarrow\infty.$

Zbieżność w $L_{2}$ implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa, by zakończyć dowód wystarczy skorzystać z Lematu 11.1.

∎

12.2. Całkowanie przez podstawienie

Definicja 12.1

Mówimy, że proces $X$ jest lokalnie ograniczony, jeśli istnieją momenty zatrzymania $\tau _{n}\nearrow T$ takie, że procesy $X^{{\tau _{n}}}-X_{0}$ są ograniczone.

Uwaga 12.1

Każdy proces ciągły, adaptowalny jest lokalnie ograniczony.

Kolejne twierdzenie podaje wzór na całkowanie przez podstawienie.

Twierdzenie 12.2

a) Załóżmy, że $N\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T}$ , $X\in{\mathcal{L}}^{2}_{T}(N)$ , $Y$ jest procesem prognozowalnym ograniczonym oraz $M=\int XdN$ . Wówczas $Y\in{\mathcal{L}}^{2}_{T}(M),XY\in{\mathcal{L}}^{2}_{T}(N)$ oraz $\int YdM=\int XYdN$ .
b)Załóżmy, że $N\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{{\rm loc}}}$ , $X\in\Lambda^{2}_{T}(N)$ , $Y$ jest procesem prognozowalnym lokalnie ograniczonym oraz $M=\int XdN$ . Wówczas $Y\in\Lambda^{2}_{T}(M),XY\in\Lambda^{2}_{T}(N)$ oraz $\int YdM=\int XYdN$ .

a) Załóżmy wpierw, że $Y$ jest procesem elementarnym postaci

$Y=\xi _{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}+\sum _{{j=0}}^{{n-1}}\xi _{j}{\mathrm{I}}_{{(t_{j},t_{{j+1}}]}},$

gdzie $0=t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{k}<T$ , zaś $\xi _{k}$ są ograniczonymi zmiennymi ${\mathcal{F}}_{{t_{k}}}$ -mierzalnymi. Wówczas

	$\displaystyle\int _{0}^{t}YdM$	$\displaystyle=\sum _{{j}}\xi _{j}(M_{{t_{{j+1}}\wedge t}}-M_{{t_{{j}}\wedge t}})$
		$\displaystyle=\sum _{{j}}\xi _{j}\Big(\int _{{0}}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,t_{{j+1}}]}}XdN-\int _{{0}}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,t_{j}]}}XdN\Big)$
		$\displaystyle=\sum _{{j}}\xi _{j}\int _{{0}}^{t}{\mathrm{I}}_{{(t_{j},t_{{j+1}}]}}XdN=\sum _{{j}}\int _{{0}}^{t}\xi _{j}{\mathrm{I}}_{{(t_{j},t_{{j+1}}]}}XdN$
		$\displaystyle=\int _{{0}}^{t}\sum _{j}\xi _{j}{\mathrm{I}}_{{(t_{j},t_{{j+1}}]}}XdN=\int _{0}^{t}YXdN.$

Jeśli $Y$ jest dowolnym ograniczonym procesem prognozowalnym, to

${\mathbb{E}}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}d\langle M\rangle _{s}\leq\| Y\| _{{\infty}}^{2}{\mathbb{E}}\int _{0}^{T}d\langle M\rangle _{s}=\| Y\| _{{\infty}}^{2}{\mathbb{E}}\langle M\rangle _{T}=\| Y\| _{{\infty}}^{2}{\mathbb{E}}M_{T}^{2}<\infty,$

więc $Y\in{\mathcal{L}}^{2}_{T}(M)$ . Nietrudno też sprawdzić, że $XY\in{\mathcal{L}}^{2}_{T}(N)$ . Możemy znaleźć procesy elementarne $Y_{n}$ zbieżne do $Y$ w ${\mathcal{L}}^{2}_{T}(M)$ , co więcej możemy założyć, że $\| Y_{n}\| _{{\infty}}\leq\| Y\| _{{\infty}}$ . Zauważmy, że

	$\displaystyle\\| XY-XY_{n}\\| _{{{\mathcal{L}}_{T}^{2}(N)}}^{2}$	$\displaystyle={\mathbb{E}}\int _{0}^{T}(XY-XY_{n})_{s}^{2}d\langle N\rangle _{s}={\mathbb{E}}\int _{0}^{T}(Y-Y_{n})_{s}^{2}X_{s}^{2}d\langle N\rangle _{s}$
		$\displaystyle={\mathbb{E}}\int _{0}^{T}(Y-Y_{n})_{s}^{2}d\langle M\rangle _{s}=\\| Y-Y_{n}\\| _{{{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M)}}^{2}\rightarrow 0,$

więc $Y_{n}X\rightarrow YX$ w ${\mathcal{L}}^{2}_{T}(N)$ . Stąd dla $t\leq T$ ,

$\int _{0}^{t}XYdN\stackrel{L_{2}}{\longleftarrow}\int _{0}^{t}XY_{n}dN=\int Y_{n}dM\stackrel{L_{2}}{\longrightarrow}\int _{0}^{t}YdM.$

b) Mamy $\int _{0}^{t}Y_{0}dM=Y_{0}M_{t}=Y_{0}\int _{0}^{t}XdN=\int _{0}^{t}Y_{0}XdN$ , zatem rozpatrując $Y-Y_{0}$ zamiast $Y$ możemy zakładać,że $Y_{0}=0$ . Niech $\tau _{n}\nearrow T$ takie, że $Y^{{\tau _{n}}}$ jest ograniczone, $N^{{\tau _{n}}}\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T}$ oraz $X{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}\in{\mathcal{L}}^{2}_{T}(N^{{\tau _{n}}})$ . Zauważmy, że

$M^{{\tau _{n}}}=\Big(\int XdN\Big)^{{\tau _{n}}}=\int X{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}dN^{{\tau _{n}}},$

zatem na mocy części a),

	$\displaystyle\Big(\int YdM\Big)^{{\tau _{n}}}$	$\displaystyle=\int Y{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}dM^{{\tau _{n}}}=\int Y{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}dN^{{\tau _{n}}}$
		$\displaystyle=\int XY{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}dN^{{\tau _{n}}}=\Big(\int XYdN\Big)^{{\tau _{n}}}.$

Biorąc $n\rightarrow\infty$ dostajemy tezę.

∎

12.3. Całkowanie przez części

Sformułujemy teraz pierwsze twierdzenie o całkowaniu przez części.

Twierdzenie 12.3

Niech $M,N\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{{\rm loc}}}$ , wówczas

$M_{t}N_{t}=M_{0}N_{0}+\int _{0}^{t}M_{s}dN_{s}+\int _{0}^{t}N_{s}dM_{s}+\langle M,N\rangle _{t}.$

(12.1)

Stosując twierdzenie do $M=N$ dostajemy natychmiast.

Wniosek 12.1

Jeśli $M\in{\mathcal{M}}_{{{\rm loc}}}^{c}$ , to

$\int _{0}^{t}M_{s}dM_{s}=\frac{1}{2}(M_{t}^{2}-M_{0}^{2})-\frac{1}{2}\langle M\rangle _{t}.$

Wniosek 12.2

Niech $X,Y\in\Lambda _{T}^{2}$ , $M=\int XdW$ oraz $N=\int YdW$ , wówczas

	$\displaystyle M_{t}N_{t}$	$\displaystyle=\int _{0}^{t}M_{s}dN_{s}+\int _{0}^{t}N_{s}dM_{s}+\langle M,N\rangle _{t}$
		$\displaystyle=\int _{0}^{t}M_{s}Y_{s}dW_{s}+\int _{0}^{t}N_{s}X_{s}dW_{s}+\int _{0}^{t}X_{s}Y_{s}ds.$

Pierwsza równość wynika z Twierdzenia 12.3, druga z Twierdzenia 12.2 oraz tego, że $\langle M,N\rangle=\int XYds$ .

∎

Dowód Twierdzenia 12.3

Całki $\int MdN$ i $\int NdM$ są dobrze określone, gdyż procesy $M$ i $N$ są ciągłe, zatem lokalnie ograniczone.

Możemy założyć, iż $M_{0}=N_{0}=0$ , gdyż $\langle M,N\rangle=\langle M-N_{0},N-N_{0}\rangle$ ,

	$\displaystyle\int MdN$	$\displaystyle=\int Md(N-N_{0})=\int(M-M_{0})d(N-N_{0})+\int M_{0}d(N-N_{0})$
		$\displaystyle=\int(M-M_{0})d(N-N_{0})+M_{0}(N-N_{0}),$

zatem

	$\displaystyle M_{0}N_{0}+$	$\displaystyle\int _{0}^{t}MdN+\int _{0}^{t}NdM+\langle M,N\rangle _{t}-M_{t}N_{t}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int _{0}^{t}(M-M_{0})d(N-N_{0})+\int _{0}^{t}(N-M_{0})d(M-M_{0})$
		$\displaystyle+\langle M-N_{0},N-N_{0}\rangle _{t}-(M_{t}-M_{0})(N_{t}-N_{0}).$

Wystarczy udowodnić, że teza zachodzi dla $M=N$ , tzn.

$M_{t}^{2}=2\int _{0}^{t}M_{s}dM_{s}+\langle M\rangle _{t}\quad\mbox{dla }M\in{\mathcal{M}}_{{{\rm loc}}}^{c},\ M_{0}=0.$

(12.2)

Jeśli bowiem zastosujemy (12.2) dla $M+N$ i $M-N$ , odejmiemy stronami i podzielimy przez 4, to dostaniemy (12.1).

Wiemy (zob. Uwaga 11.1), że (12.2) zachodzi przy dodatkowym założeniu ograniczoności $M$ . W ogólnym przypadku określamy

$\tau _{n}:=\inf\{ t>0\colon|M_{t}|\geq n\}\wedge T,$

wtedy $\tau _{n}\nearrow T$ . Ponadto $M^{{\tau _{n}}}$ jest ograniczonym martyngałem lokalnym, zatem ograniczonym martyngałem, więc

	$\displaystyle(M^{2})^{{\tau _{n}}}$	$\displaystyle=(M^{{\tau _{n}}})^{2}=2\int M^{{\tau _{n}}}dM^{{\tau _{n}}}+\langle M^{{\tau _{n}}}\rangle=2\int M^{{\tau _{n}}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}dM+\langle M\rangle^{{\tau _{n}}}$
		$\displaystyle=2\int M{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}dM+\langle M\rangle^{{\tau _{n}}}=\Big(2\int MdM+\langle M\rangle\Big)^{{\tau _{n}}}.$

Przechodząc z $n\rightarrow\infty$ dostajemy (12.2).

∎

Definicja 12.2

Przez ${\cal V}^{c}$ oznaczamy procesy ciągłe, adaptowalne, których trajektorie mają wahanie skończone na każdym przedziale $[0,t]$ dla $t<T$ .

Udowodnimy teraz kolejne twierdzenie o całkowaniu przez części.

Stwierdzenie 12.1

Załóżmy, że $M\in{\mathcal{M}}^{c}_{{{\rm loc}}},A\in{\cal V}^{c}$ , wówczas

$M_{t}A_{t}=M_{0}A_{0}+\int _{0}^{t}A_{s}dM_{s}+\int _{0}^{t}M_{s}dA_{s}.$

Jak w dowodzie Twierdzenia 12.3 możemy założyć, że $M_{0}=A_{0}=0$ .

Załóżmy wpierw, że $M$ i $N$ są ograniczone. Zauważmy, że

	$\displaystyle M_{t}A_{t}=$	$\displaystyle\sum _{{j=1}}^{n}(M_{{tj/n}}-M_{{t(j-1)/n}})\sum _{{k=1}}^{n}(A_{{tk/n}}-A_{{t(k-1)/n}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum _{{j=1}}^{n}(M_{{tj/n}}-M_{{t(j-1)/n}})(A_{{tj/n}}-A_{{t(j-1)/n}})$
		$\displaystyle+\sum _{{j=1}}^{n}M_{{t(j-1)/n}}(A_{{tj/n}}-A_{{t(j-1)/n}})+\sum _{{j=1}}^{n}(M_{{tj/n}}-M_{{t(j-1)/n}})A_{{t(j-1)/n}}$
		$\displaystyle=:a_{n}+b_{n}+c_{n}.$

Składnik $b_{n}$ dąży prawie na pewno do $\int _{0}^{t}MdA$ (definicja całki Riemanna-Stieltjesa). Nietrudno sprawdzić, że procesy elementarne

$A_{{n}}=\sum _{{j=1}}^{n}A_{{t(j-1)/n}}{\mathrm{I}}_{{(t(j-1)/n,tj/n]}}$

zbiegają w ${\mathcal{L}}^{2}_{t}(M)$ do $A$ , stąd $c_{n}=\int _{0}^{t}A_{n}dM$ zbiega w $L_{2}$ do $\int _{0}^{t}AdM$ . Zauważmy też, że

	$\displaystyle\|a_{n}\|^{2}$	$\displaystyle\leq\sum _{{j=1}}^{n}(M_{{tj/n}}-M_{{t(j-1)/n}})^{2}\sum _{{j=1}}^{n}(A_{{tj/n}}-A_{{t(j-1)/n}})^{2}$
		$\displaystyle\leq\sum _{{j=1}}^{n}(M_{{tj/n}}-M_{{t(j-1)/n}})^{2}\sup _{{1\leq j\leq n}}\|A_{{tj/n}}-A_{{t(j-1)/n}}\|{\rm Wah}_{{[0,t]}}(A).$

Pierwszy czynnik powyżej dąży do $\langle M\rangle _{t}$ w $L_{2}$ (w szczególności jest więc ograniczony w $L_{2}$ ), drugi zaś dąży do zera p.n. (proces $A$ jest ciągły), stąd $a_{n}$ dąży do $0$ według prawdopodobieństwa. Zatem

$M_{t}A_{t}=a_{n}+b_{n}+c_{n}\stackrel{{\mathbb{P}}}{\longrightarrow}\int _{0}^{t}MdA+\int _{0}^{t}AdM.$

Jeśli $M$ i $A$ nie są ograniczone, to określamy

$\tau _{n}=\inf\{ t>0\colon|M_{t}|\geq n\}\wedge\inf\{ t>0\colon|A_{t}|\geq n\}\wedge T.$

Mamy $|A^{{\tau _{n}}}|\leq n$ , $|M^{{\tau _{n}}}|\leq n$ , więc z poprzednio rozważonego przypadku

$(MA)^{{\tau _{n}}}=\int A^{{\tau _{n}}}dM^{{\tau _{n}}}+\int M^{{\tau _{n}}}dA^{{\tau _{n}}}=\Big(\int AdM+\int MdA\Big)^{{\tau _{n}}},$

przechodząc z $n\rightarrow\infty$ dostajemy tezę.

∎

Ostatnie twierdzenie o całkowaniu przez części jest nietrudną konsekwencją definicji całki Riemanna-Stieltjesa.

Stwierdzenie 12.2

Załóżmy, że $A,B\in{\cal V}^{c}$ , wówczas

$A_{t}B_{t}=A_{0}B_{0}+\int _{0}^{t}A_{s}dB_{s}+\int _{0}^{t}B_{s}dA_{s}.$

12.4. Ciągłe semimartyngały

Definicja 12.3

Proces $Z=(Z_{t})_{{t<T}}$ nazywamy ciągłym semimartyngałem, jeśli da się przedstawić w postaci $Z=Z_{0}+M+A$ , gdzie $Z_{0}$ jest zmienną ${\cal F}_{0}$ -mierzalna, $M\in{\mathcal{M}}_{{{\rm loc}}}^{2}$ , $A\in{\cal V}^{c}$ oraz $A_{0}=M_{0}=0$ .

Uwaga 12.2

Rozkład semimartyngału jest jednoznaczny (modulo procesy nieodróżnialne).

Jeśli $Z=Z_{0}+M+A=Z_{0}+M^{{\prime}}+A^{{\prime}}$ , to $M-M^{{\prime}}=A^{{\prime}}-A$ jest ciągłym martyngałem lokalnym, startującym z zera o ograniczonym wahaniu na $[0,t]$ dla $t<T$ , zatem jest stale równy 0.

∎

Przykład 12.1

Proces Itô, tzn. proces postaci $Z=Z_{0}+\int XdW+\int Yds$ , gdzie $X\in\Lambda _{T}^{2}$ , $Y$ prognozowalny taki, że $\int _{0}^{t}|Y_{s}|ds<\infty$ p.n. dla $t<T$ jest semimartyngałem.

Przykład 12.2

Z twierdzenia Dooba-Meyera wynika, że kwadrat martyngału jest semimartyngałem.

Definicja 12.4

Jeśli $Z=Z_{0}+M+A$ jest ciągłym semimartyngałem, to określamy $\int XdZ:=\int XdM+\int XdA$ , gdzie pierwsza całka to całka stochastyczna, a druga całka Stieltjesa.

Twierdzenie 12.4

Jeśli $Z=Z_{0}+M+A$ oraz $Z^{{\prime}}=Z^{{\prime}}_{0}+M^{{\prime}}+A^{{\prime}}$ są ciągłymi semimartyngałami, to $ZZ^{{\prime}}$ też jest semimartyngałem oraz

$ZZ^{{\prime}}=Z_{0}Z_{0}^{{\prime}}+\int ZdZ^{{\prime}}+\int Z^{{\prime}}dZ+\langle M,M^{{\prime}}\rangle.$

Mamy $ZZ^{{\prime}}=Z_{0}Z_{0}^{{\prime}}+MM^{{\prime}}+MA^{{\prime}}+AM^{{\prime}}+AA^{{\prime}}$ i stosujemy twierdzenia o całkowaniu przez części (Twierdzenie 12.3, Stwierdzenia 12.1 i 12.2).

∎

Dla semimartyngałów wygodnie jest też wprowadzić następującą definicję:

Definicja 12.5

Jeśli $Z=Z_{0}+M+A$ , $Z^{{\prime}}=Z_{0}^{{\prime}}+M^{{\prime}}+A^{{\prime}}$ są ciągłymi semimartyngałami, to przyjmujemy $\langle Z,Z^{{\prime}}\rangle=\langle M,M^{{\prime}}\rangle$ .

12.5. Zadania

Ćwiczenie 12.1

Udowodnij Stwierdzenie 12.2.

Ćwiczenie 12.2

Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części przedstaw $\int W_{{s}}^{{2}}dW_{{s}}$ jako wyrażenie nie zawierające całek stochastycznych.

Ćwiczenie 12.3

Załóżmy, że $X$ jest procesem ciągłym, a $Z$ ciągłym martyngałem lokalnym. Wykaż, że jeśli $t<T$ , $\Pi _{n}=(t_{0}^{{(n)}},t_{1}^{{(n)}},\ldots,t_{{k_{n}}}^{{(n)}})$ jest ciągiem podziałów $[0,t]$ takim, że $0=t_{0}^{{(n)}}\leq t_{1}^{{(n)}}\leq\ldots\leq t_{{k_{n}}}^{{(n)}}=t$ oraz $\mathrm{diam}(\Pi _{n})\rightarrow 0$ , to

$\sum _{{k=0}}^{{k_{n}-1}}X_{{{t_{k}^{{(n)}}}}}(Z_{{t_{{k+1}}^{{(n)}}}}-Z_{{t_{k}^{{(n)}}}})\rightarrow\int _{0}^{t}X_{s}dZ_{s}\quad\mbox{ według prawdopodobieństwa. }$

Ćwiczenie 12.4

Niech $\Pi _{n}=(t_{0}^{{(n)}},t_{1}^{{(n)}},\ldots,t_{{k_{n}}}^{{(n)}})$ będzie ciągiem podziałów $[0,t]$ takim, że $0=t_{0}^{{(n)}}\leq t_{1}^{{(n)}}\leq\ldots\leq t_{{k_{n}}}^{{(n)}}=t$ oraz $\mathrm{diam}(\Pi _{n})\rightarrow 0$ . Wykaż, że dla dowolnych ciągłych semimartyngałów $X$ i $Y$ ,

$\sum _{{k=0}}^{{k_{n}-1}}(X_{{t_{{k+1}}^{{(n)}}}}-X_{{t_{k}^{{(n)}}}})(Y_{{t_{{k+1}}^{{(n)}}}}-Y_{{t_{k}^{{(n)}}}})\rightarrow\langle X,Y\rangle _{t}\quad\mbox{ według prawdopodobieństwa. }$

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej