Pokażemy jak zmodyfikować definicje omawiane podczas kursowego wykładu z rachunku prawdopodobieństwa z przypadku czasu dyskretnego na czas ciągły.
Będziemy zakładać, że jest lewostronnie domkniętym przedziałem (typowo
),
choć większość definicji i wyników można uogólnić na szerszą klasę zbiorów.
Filtracją przestrzeni probabilistycznej
nazywamy rosnącą rodzinę
-ciał zawartych w
,
tzn.
dla
.
Zdarzenia z -ciała
możemy interpretować jako zdarzenia obserwowalne do
chwili
.
Niech będzie procesem stochastycznym. Filtracją generowaną przez
nazywamy rodzinę
daną wzorem
.
Proces ma przyrosty niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych
,
przyrost
jest niezależny od
-ciała
.
: Rodzina
zdarzeń niezależnych od
tworzy
-układ, ponadto,
z niezależności przyrostów
, zawiera
-układ zdarzeń postaci
dla
, który generuje
-ciało
. Zatem, na mocy twierdzenia o
- i
-układach,
.
: Ustalmy
oraz zbiory borelowskie
. Zdarzenie
należy
do
-ciała
, więc jest niezależne od zmiennej
.
Stąd
![]() |
![]() |
||
![]() |
Iterując to rozumowanie pokazujemy, że
![]() |
![]() |
||
![]() |
Proces nazywamy zgodnym z filtracją
,
-adaptowalnym lub adaptowanym do filtracji
,
jeśli dla wszystkich
,
jest
mierzalne.
Oczywiście proces jest zgodny z filtracją
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla
. W szczególności
każdy proces
jest zgodny z filtracją przez siebie generowaną.
Momentem zatrzymania (momentem Markowa, czasem zatrzymania) względem filtracji
nazywamy zmienną losową o wartościach w
taką, że
dla wszystkich
.
Moment zatrzymania to strategia przerwania eksperymentu losowego (np.
zakończenia udziału w pewnej grze losowej) taka, że decyzję o przerwaniu do chwili podejmujemy
tylko na podstawie obserwacji dostępnych w tym czasie.
Dla zbioru i procesu stochastycznego
określmy
![]() |
Jeśli jest
-adaptowalnym procesem o ciągłych trajektoriach, zaś
zbiorem domkniętym, to
jest momentem zatrzymania względem filtracji
.
Niech będzie gęstym podzbiorem
zawierającym lewy
koniec. Z domkniętości zbioru
i ciągłości
dostajemy dla
,
![]() |
gdzie
![]() |
Jeśli w powyższym przykładzie będzie zbiorem otwartym, to
nie musi być
momentem zatrzymania względem filtracji
, ale musi być momentem
zatrzymania względem filtracji
, gdzie dla
![]() |
a jeśli jest największym elementem
, to kładziemy
.
Powyższa uwaga motywuje poniższą definicję, która ma nieco techniczny charakter, ale jest powszechnie używana w teorii procesów.
Filtrację nazywamy prawostronnie ciągłą, jeśli
dla wszystkich
. Mówimy, że filtracja
spełnia zwykłe warunki, jeśli
a) jest prawostronnie ciągła,
b) dla wszystkich ,
zawiera wszystkie zbiory miary zero, tzn.
jeśli
,
, to
.
Niech będzie momentem zatrzymania względem filtracji
.
Definiujemy
-ciało zdarzeń obserwowalnych do chwili
wzorem
![]() |
a) Zbiór jest
-ciałem.
b) Jeśli , to
.
c) Zmienna losowa jest
mierzalna.
a) Zbiór , bo
. Jeśli
, to
, czyli
. Jeśli
, to
,
zatem
.
b) Weźmy , wówczas dla
,
, czyli
.
c) Wystarczy pokazać, że , ale
.
Załóżmy, że i
są momentami zatrzymania. Wówczas
oraz zdarzenia
należą do
.
Zauważmy, że jest momentem zatrzymania oraz
i
, zatem na mocy
Stwierdzenia 4.3 dostajemy
. Na odwrót, jeśli
, to
, czyli
. Dalszą część stwierdzenia pozostawiamy do samodzielnego udowodnienia w ramach prostego ćwiczenia.
Okazuje się, że adaptowalność procesu nie gwarantuje np. mierzalności zmiennych
dla wszystkich momentów zatrzymania
. Dlatego wprowadzimy jeszcze jedną techniczną
definicję.
Proces nazywamy progresywnie mierzalnym względem filtracji
, jeśli dla każdego
, funkcja
traktowana jako funkcja ze zbioru
w
jest mierzalna
względem
-algebry
. Równoważnie
![]() |
Załóżmy, że jest przedziałem oraz dany jest proces
oraz
filtracja
.
a) Jeśli proces jest progresywnie mierzalny względem
, to
jest
-adaptowalny.
b) Jeśli proces jest
-adaptowalny oraz ma prawostronnie ciągłe trajektorie,
to jest progresywnie mierzalny względem
.
a) Zbiór jest przekrojem zbioru
, a zatem należy do
.
b) Ustalmy i połóżmy dla
,
,
, gdzie
jest liczbą całkowitą taką, że
. Wówczas
![]() |
![]() |
||
![]() |
|||
![]() |
Zatem funkcja jest
mierzalna. Wobec prawostronnej ciągłości
mamy
, więc funkcja
jest
mierzalna jako granica funkcji mierzalnych.
Jeśli jest momentem zatrzymania, a
procesem, to zmienna
jest dobrze zdefiniowana tylko na zbiorze
. Musimy zatem określić co mamy
na myśli mówiąc, że zmienna
jest mierzalna.
Mówimy, że zmienna losowa określona na zbiorze
jest mierzalna względem
-ciała
zawierającego
, jeśli
dla
dowolnego zbioru borelowskiego
.
Przed sformułowaniem kolejnego stwierdzenia wprowadzimy jeszcze jedną użyteczną definicję.
Jeśli jest procesem stochastycznym, a
zmienną o wartościach w
, to definujemy
– proces
zatrzymany
w czasie
wzorem
.
Załóżmy, że jest procesem progresywnie mierzalnym względem filtracji
, a
jest momentem zatrzymania. Wówczas zmienna losowa
określona na zbiorze
jest
mierzalna. Ponadto
– proces
zatrzymany w chwili
jest progresywnie mierzalny.
Odwzorowanie
![]() |
jest mierzalne względem -ciała
.
Jeśli złożymy je z odwzorowaniem
![]() |
to otrzymamy odwzorowanie
![]() |
Stąd wynika progresywna mierzalność procesu . By zakończyć dowód zauważmy, że
![]() |
na mocy progresywnej mierzalności (a właściwie adaptowalności) .
Załóżmy, że jest przedziałem i określmy:
![]() |
a) Wykaż, że filtracja jest prawostronnie ciągła, tzn.
.
b) Udowodnij, że jeśli jest filtracją generowaną przez
proces
o lewostronnie ciągłych trajektoriach, to
.
c) Niech oraz
. Znajdź
.
d) Dla jak w punkcie c) określmy
. Wykaż, że
nie jest momentem zatrzymania względem
ale jest momentem zatrzymania
względem
.
Załóżmy, że jest przedziałem, wykaż, że:
a) jeśli jest momentem zatrzymania, to
dla wszystkich
;
b) jeśli dla wszystkich
, to
jest momentem zatrzymania
względem
.
Niech , a
będzie momentem zatrzymania, które ze zmiennych
muszą być momentami zatrzymania?
Niech , a
procesem
-adaptowalnym o ciągłych
trajektoriach. Wykaż, że dla
otwartego
jest momentem zatrzymania względem
.
Wykaż, że jeśli i
są momentami zatrzymania, to zdarzenia
i
należą do
,
i
.
Wykaż, że jeśli jest momentem zatrzymania, to proces
jest progresywnie mierzalny.
Niech będzie momentem zatrzymania względem
,
a
będzie procesem
-adaptowalnym. Wykaż, że
a) jest
-mierzalne;
b) jeśli przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to
jest
mierzalny na zbiorze
.
Wykaż, że jeśli jest momentem zatrzymania,
oraz
jest
mierzalny, to
jest momentem zatrzymania.
Wykaż, że jeśli proces ma niezależne przyrosty i prawostronnie ciągłe trajektorie,
to dla
zmienna
jest niezależna od
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.