Zagadnienia

4.1 Filtracje z czasem ciągłym
4.2 Momenty zatrzymania
4.3 Progresywna mierzalność
4.4 Zadania

4. Filtracje, momenty zatrzymania

Pokażemy jak zmodyfikować definicje omawiane podczas kursowego wykładu z rachunku prawdopodobieństwa z przypadku czasu dyskretnego na czas ciągły.

Będziemy zakładać, że $T$ jest lewostronnie domkniętym przedziałem (typowo $T=[0,\infty)$ ), choć większość definicji i wyników można uogólnić na szerszą klasę zbiorów.

4.1. Filtracje z czasem ciągłym

Definicja 4.1

Filtracją $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ przestrzeni probabilistycznej $(\Omega,{\mathcal{F}},{\mathbb{P}})$ nazywamy rosnącą rodzinę $\sigma$ -ciał zawartych w ${\mathcal{F}}$ , tzn. ${\mathcal{F}}_{{t}}\subset{\mathcal{F}}_{{s}}\subset{\mathcal{F}}$ dla $t\leq s,\ t,s\in T$ .

Zdarzenia z $\sigma$ -ciała ${\mathcal{F}}_{{t}}$ możemy interpretować jako zdarzenia obserwowalne do chwili $t$ .

Definicja 4.2

Niech $X=(X_{{t}})_{{t\in T}}$ będzie procesem stochastycznym. Filtracją generowaną przez $X$ nazywamy rodzinę $({\mathcal{F}}_{{t}}^{{X}})_{{t\in T}}$ daną wzorem ${\mathcal{F}}_{{t}}^{{X}}=\sigma(X_{{s}}\colon s\leq t)$ .

Stwierdzenie 4.1

Proces $X_{t}$ ma przyrosty niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych $t<s$ , $t,s\in T$ przyrost $X_{s}-X_{t}$ jest niezależny od $\sigma$ -ciała ${\mathcal{F}}_{t}^{X}$ .

$\Rightarrow$ : Rodzina ${\mathcal{A}}$ zdarzeń niezależnych od $X_{s}-X_{t}$ tworzy $\lambda$ -układ, ponadto, z niezależności przyrostów $X$ , zawiera $\pi$ -układ zdarzeń postaci $\{ X_{{t_{1}}}\in A_{1},\ldots,X_{{t_{n}}}\in A_{n}\}$ dla $t_{1}<\ldots<t_{n}\leq t$ , który generuje $\sigma$ -ciało ${\mathcal{F}}_{t}^{X}$ . Zatem, na mocy twierdzenia o $\pi$ - i $\lambda$ -układach, ${\mathcal{A}}\supset{\mathcal{F}}_{t}^{X}$ .

$\Leftarrow$ : Ustalmy $t_{1}<\ldots<t_{n}$ oraz zbiory borelowskie $A_{1},\ldots,A_{n}$ . Zdarzenie $\{ X_{{t_{1}}}\in A_{1},X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}}\in A_{2},\ldots,X_{{t_{{n-1}}}}-X_{{t_{{n-2}}}}\in A_{{n-1}}\}$ należy do $\sigma$ -ciała ${\mathcal{F}}_{{t_{{n-1}}}}^{X}$ , więc jest niezależne od zmiennej $X_{{t_{n}}}-X_{{t_{{n-1}}}}$ . Stąd

	$\displaystyle{\mathbb{P}}($	$\displaystyle X_{{t_{1}}}\in A_{1},X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}}\in A_{2},\ldots,X_{{t_{{n}}}}-X_{{t_{{n-1}}}}\in A_{{n}})$
		$\displaystyle={\mathbb{P}}(X_{{t_{1}}}\in A_{1},\ldots,X_{{t_{{n-1}}}}-X_{{t_{{n-2}}}}\in A_{{n-1}}){\mathbb{P}}(X_{{t_{n}}}-X_{{t_{{n-1}}}}\in A_{n}).$

Iterując to rozumowanie pokazujemy, że

	$\displaystyle{\mathbb{P}}(X_{{t_{1}}}\in$	$\displaystyle A_{1},X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}}\in A_{2},\ldots,X_{{t_{{n}}}}-X_{{t_{{n-1}}}}\in A_{{n}})$
		$\displaystyle={\mathbb{P}}(X_{{t_{1}}}\in A_{1}){\mathbb{P}}(X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}}\in A_{2},)\cdots{\mathbb{P}}(X_{{t_{n}}}-X_{{t_{{n-1}}}}\in A_{n}).$

∎

Definicja 4.3

Proces $X=(X_{{t}})$ nazywamy zgodnym z filtracją $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ , ${\mathcal{F}}_{{t}}$ -adaptowalnym lub adaptowanym do filtracji $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ , jeśli dla wszystkich $t\in T$ , $X_{{t}}$ jest ${\mathcal{F}}_{{t}}$ mierzalne.

Uwaga 4.1

Oczywiście proces $X$ jest zgodny z filtracją $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\mathcal{F}}_{t}^{X}\subset{\mathcal{F}}_{t}$ dla $t\in T$ . W szczególności każdy proces $X$ jest zgodny z filtracją przez siebie generowaną.

4.2. Momenty zatrzymania

Definicja 4.4

Momentem zatrzymania (momentem Markowa, czasem zatrzymania) względem filtracji $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ nazywamy zmienną losową o wartościach w $T\cup\{\infty\}$ taką, że $\{\tau\leq t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}}$ dla wszystkich $t\in T$ .

Moment zatrzymania to strategia przerwania eksperymentu losowego (np. zakończenia udziału w pewnej grze losowej) taka, że decyzję o przerwaniu do chwili $t$ podejmujemy tylko na podstawie obserwacji dostępnych w tym czasie.

Dla zbioru $A\subset{\mathbb{R}}$ i procesu stochastycznego $(X_{{t}})_{{t\in T}}$ określmy

$\tau _{{A}}=\inf\{ t\in T\colon X_{{t}}\in A\}.$

Stwierdzenie 4.2

Jeśli $(X_{{t}})_{{t\in T}}$ jest ${\mathcal{F}}_{{t}}$ -adaptowalnym procesem o ciągłych trajektoriach, zaś $A$ zbiorem domkniętym, to $\tau _{{A}}$ jest momentem zatrzymania względem filtracji $({\mathcal{F}}_{{t}})$ .

Niech $T_{{0}}\subset T$ będzie gęstym podzbiorem $T$ zawierającym lewy koniec. Z domkniętości zbioru $A$ i ciągłości $X$ dostajemy dla $t\in T$ ,

$\{\tau _{{A}}\leq t\}=\{\exists _{{s\leq t}}\ X_{{s}}\in A\}=\bigcap _{{n=1}}^{{\infty}}\bigcup _{{s\leq t,s\in T_{{0}}}}\{ X_{{s}}\in A_{{1/n}}\}\in{\mathcal{F}}_{{t}},$

gdzie

$A_{{\varepsilon}}:=\{ x\in{\mathbb{R}}^{{n}}\colon d(x,A)<\varepsilon\}\quad\mbox{ ($\varepsilon$-otoczka zbioru $A$)}.$

∎

Uwaga 4.2

Jeśli w powyższym przykładzie $A$ będzie zbiorem otwartym, to $\tau _{{A}}$ nie musi być momentem zatrzymania względem filtracji $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ , ale musi być momentem zatrzymania względem filtracji $({\mathcal{F}}_{{t+}})_{{t\in T}}$ , gdzie dla $t<\sup T$

${\mathcal{F}}_{{t+}}:=\bigcap _{{s>t}}{\mathcal{F}}_{{s}},$

a jeśli $t$ jest największym elementem $T$ , to kładziemy ${\mathcal{F}}_{{t+}}={\mathcal{F}}_{t}$ .

Powyższa uwaga motywuje poniższą definicję, która ma nieco techniczny charakter, ale jest powszechnie używana w teorii procesów.

Definicja 4.5

Filtrację $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ nazywamy prawostronnie ciągłą, jeśli ${\mathcal{F}}_{{t+}}={\mathcal{F}}_{{t}}$ dla wszystkich $t\in T$ . Mówimy, że filtracja $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ spełnia zwykłe warunki, jeśli
a) jest prawostronnie ciągła,
b) dla wszystkich $t$ , ${\mathcal{F}}_{{t}}$ zawiera wszystkie zbiory miary zero, tzn. jeśli $A\in{\mathcal{F}}$ , ${\mathbb{P}}(A)=0$ , to $A\in{\mathcal{F}}_{{t}}$ .

Definicja 4.6

Niech $\tau$ będzie momentem zatrzymania względem filtracji $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ . Definiujemy $\sigma$ -ciało zdarzeń obserwowalnych do chwili $\tau$ wzorem

${\mathcal{F}}_{{\tau}}:=\Big\{ A\in{\mathcal{F}}_{{\infty}}:=\sigma\Big(\bigcup _{{t\in T}}{\mathcal{F}}_{{t}}\Big)\colon\forall _{{t\in T}}\ A\cap\{\tau\leq t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}}\Big\}.$

Stwierdzenie 4.3

a) Zbiór ${\mathcal{F}}_{{\tau}}$ jest $\sigma$ -ciałem.
b) Jeśli $\tau\leq\sigma$ , to ${\mathcal{F}}_{{\tau}}\subset{\mathcal{F}}_{{\sigma}}$ .
c) Zmienna losowa $\tau$ jest ${\mathcal{F}}_{{\tau}}$ mierzalna.

a) Zbiór $\Omega\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}$ , bo $\Omega\cap\{\tau\leq t\}=\{\tau\leq t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}}$ . Jeśli $A\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}$ , to $A^{{\prime}}\cap\{\tau\leq t\}=\{\tau\leq t\}\setminus(A\cap\{\tau\leq t\})\in{\mathcal{F}}_{{t}}$ , czyli $A^{{\prime}}\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}$ . Jeśli $A_{{n}}\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}$ , to $(\bigcup _{{n}}A_{{n}})\cap\{\tau\leq t\}=\bigcup _{{n}}(A_{{n}}\cap\{\tau\leq t\})\in{\mathcal{F}}_{{t}}$ , zatem $\bigcup _{{n}}A_{{n}}\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}$ .

b) Weźmy $A\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}$ , wówczas dla $t\in T$ , $A\cap\{\sigma\leq t\}=A\cap\{\tau\leq t\}\cap\{\sigma\leq t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}}$ , czyli $A\in{\mathcal{F}}_{{\sigma}}$ .

c) Wystarczy pokazać, że $\{\tau\leq s\}\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}$ , ale $\{\tau\leq s\}\cap\{\tau\leq t\}=\{\tau\leq s\wedge t\}\in{\mathcal{F}}_{{s\wedge t}}\subset{\mathcal{F}}_{{t}}$ .

∎

Stwierdzenie 4.4

Załóżmy, że $\tau$ i $\sigma$ są momentami zatrzymania. Wówczas ${\mathcal{F}}_{{\tau\wedge\sigma}}={\mathcal{F}}_{{\tau}}\cap{\mathcal{F}}_{{\sigma}}$ oraz zdarzenia $\{\tau<\sigma\},\{\sigma<\tau\},\{\tau\leq\sigma\},\{\sigma\leq\tau\},\{\tau=\sigma\}$ należą do ${\mathcal{F}}_{{\tau\wedge\sigma}}$ .

Zauważmy, że $\tau\wedge\sigma$ jest momentem zatrzymania oraz $\tau\wedge\sigma\leq\tau$ i $\tau\wedge\sigma\leq\sigma$ , zatem na mocy Stwierdzenia 4.3 dostajemy ${\mathcal{F}}_{{\tau\wedge\sigma}}\subset{\mathcal{F}}_{{\tau}}\cap{\mathcal{F}}_{{\sigma}}$ . Na odwrót, jeśli $A\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}\cap{\mathcal{F}}_{{\sigma}}$ , to $A\cap\{\tau\wedge\sigma\leq t\}=A\cap(\{\tau\leq t\}\cup\{\sigma\leq t\})=(A\cap\{\tau\leq t\})\cup(A\cap\{\sigma\leq t\})\in{\mathcal{F}}_{{t}}$ , czyli $A\in{\mathcal{F}}_{{\tau\wedge\sigma}}$ . Dalszą część stwierdzenia pozostawiamy do samodzielnego udowodnienia w ramach prostego ćwiczenia.

∎

4.3. Progresywna mierzalność

Okazuje się, że adaptowalność procesu nie gwarantuje np. mierzalności zmiennych $X_{{\tau}}$ dla wszystkich momentów zatrzymania $\tau$ . Dlatego wprowadzimy jeszcze jedną techniczną definicję.

Definicja 4.7

Proces $X=(X_{{t}})_{{t\in T}}$ nazywamy progresywnie mierzalnym względem filtracji $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ , jeśli dla każdego $t\in T$ , funkcja $(s,\omega)\rightarrow X_{{s}}(\omega)$ traktowana jako funkcja ze zbioru $T\cap(-\infty,t]\times\Omega$ w ${\mathbb{R}}$ jest mierzalna względem $\sigma$ -algebry ${\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}}$ . Równoważnie

$\forall _{{t\in T}}\ \forall _{{A\in{\mathcal{B}}({\mathbb{R}})}}\ \{(s,\omega)\in T\times\Omega\colon s\leq t,X_{{s}}(\omega)\in A\}\in{\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}}.$

Stwierdzenie 4.5

Załóżmy, że $T$ jest przedziałem oraz dany jest proces $X=(X_{{t}})_{{t\in T}}$ oraz filtracja $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ .
a) Jeśli proces $X$ jest progresywnie mierzalny względem $({\mathcal{F}}_{{t}})$ , to jest ${\mathcal{F}}_{{t}}$ -adaptowalny.
b) Jeśli proces $X$ jest ${\mathcal{F}}_{{t}}$ -adaptowalny oraz ma prawostronnie ciągłe trajektorie, to jest progresywnie mierzalny względem $({\mathcal{F}}_{{t}})$ .

a) Zbiór $\{\omega\colon X_{{t}}(\omega)\in A\}$ jest przekrojem zbioru $\{(s,\omega)\in T\times\Omega\colon s\leq t,X_{{s}}(\omega)\in A\}$ , a zatem należy do ${\mathcal{F}}_{{t}}$ .

b) Ustalmy $t\in T$ i połóżmy dla $s\in T$ , $s\leq t$ , $X_{{s}}^{{(n)}}:=X_{{t-2^{{-n}}k}}$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą taką, że $t-2^{{-n}}(k+1)<s\leq t-2^{{-n}}k$ . Wówczas

	$\displaystyle\{(s,\omega)\in T\times\Omega\colon$	$\displaystyle s\leq t,X_{{s}}^{{(n)}}(\omega)\in A\}$
		$\displaystyle=\bigcup _{{k=0}}^{{\infty}}\Big(T\cap\Big(t-\frac{k+1}{2^{{n}}},t-\frac{k}{2^{{n}}}\Big]\Big)\times\{\omega\colon X_{{t-\frac{k}{2^{{n}}}}}(\omega)\in A\}$
		$\displaystyle\in{\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}}.$

Zatem funkcja $X_{{s}}^{{(n)}}(\omega),s\in T\cap(-\infty,t],\omega\in\Omega$ jest ${\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}}$ mierzalna. Wobec prawostronnej ciągłości $X$ mamy $X_{{s}}(\omega)=\lim _{{n\rightarrow\infty}}X_{{s}}^{{(n)}}(\omega)$ , więc funkcja $X_{{s}}(\omega),s\in T\cap(-\infty,t],\omega\in\Omega$ jest ${\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}}$ mierzalna jako granica funkcji mierzalnych.

∎

Jeśli $\tau$ jest momentem zatrzymania, a $X=(X_{t})_{{t\in T}}$ procesem, to zmienna $X_{{\tau}}$ jest dobrze zdefiniowana tylko na zbiorze $\{\tau<\infty\}$ . Musimy zatem określić co mamy na myśli mówiąc, że zmienna $X_{{\tau}}$ jest mierzalna.

Definicja 4.8

Mówimy, że zmienna losowa $X$ określona na zbiorze $A$ jest mierzalna względem $\sigma$ -ciała ${\cal G}$ zawierającego $A$ , jeśli $\{\omega\in A\colon\ X(w)\in B\}\in{\cal G}$ dla dowolnego zbioru borelowskiego $B$ .

Przed sformułowaniem kolejnego stwierdzenia wprowadzimy jeszcze jedną użyteczną definicję.

Definicja 4.9

Jeśli $X=(X_{t})_{{t\in T}}$ jest procesem stochastycznym, a $\tau$ zmienną o wartościach w $T\cup\{\infty\}$ , to definujemy $X^{{\tau}}=(X^{{\tau}}_{t})_{{t\in T}}$ – proces $X$ zatrzymany w czasie $\tau$ wzorem $X^{{\tau}}_{t}=X_{{\tau\wedge t}}$ .

Stwierdzenie 4.6

Załóżmy, że $X=(X_{{t}})_{{t\in T}}$ jest procesem progresywnie mierzalnym względem filtracji $({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}$ , a $\tau$ jest momentem zatrzymania. Wówczas zmienna losowa $X_{{\tau}}$ określona na zbiorze $\{\tau<\infty\}\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}$ jest ${\mathcal{F}}_{{\tau}}$ mierzalna. Ponadto $X^{{\tau}}$ – proces $X$ zatrzymany w chwili $\tau$ jest progresywnie mierzalny.

Odwzorowanie

$(s,\omega)\rightarrow(\tau(\omega)\wedge s,\omega)\colon T\cap(-\infty,t]\times\Omega\rightarrow T\cap(-\infty,t]\times\Omega$

jest mierzalne względem $\sigma$ -ciała ${\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}})$ . Jeśli złożymy je z odwzorowaniem

$(s,\omega)\rightarrow X_{{s}}(\omega)\quad\mbox{ mierzalnym z }(T\cap(-\infty,t]\times\Omega,{\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}})\mbox{ w }{\mathbb{R}},$

to otrzymamy odwzorowanie

$(s,\omega)\rightarrow X_{{\tau(\omega)\wedge s}}(\omega)\quad\mbox{ mierzalne z }(T\cap(-\infty,t]\times\Omega,{\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}})\mbox{ w }{\mathbb{R}}.$

Stąd wynika progresywna mierzalność procesu $X^{{\tau}}$ . By zakończyć dowód zauważmy, że

$\{ X_{{\tau}}\in A\}\cap\{\tau\leq t\}=\{ X_{{\tau\wedge t}}\in A\}\cap\{\tau\leq t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}}$

na mocy progresywnej mierzalności (a właściwie adaptowalności) $X^{{\tau}}$ .

∎

4.4. Zadania

Ćwiczenie 4.1

Załóżmy, że $T$ jest przedziałem i określmy:

${\mathcal{F}}_{{t+}}:=\bigcap _{{s>t}}{\mathcal{F}}_{{s}},\quad{\mathcal{F}}_{{t-}}:=\sigma\Big(\bigcup _{{s<t}}{\mathcal{F}}_{{s}}\Big).$

a) Wykaż, że filtracja ${\mathcal{F}}_{{t+}}$ jest prawostronnie ciągła, tzn. ${\mathcal{F}}_{{t++}}={\mathcal{F}}_{{t+}}$ .
b) Udowodnij, że jeśli ${\mathcal{F}}_{{t}}={\mathcal{F}}_{{t}}^{{X}}$ jest filtracją generowaną przez proces $X$ o lewostronnie ciągłych trajektoriach, to ${\mathcal{F}}_{{t-}}={\mathcal{F}}_{{t}}$ .
c) Niech $T=[0,\infty),A\in{\mathcal{F}}$ oraz $X_{{t}}=(t-1)^{{+}}I_{{A}}$ . Znajdź ${\mathcal{F}}_{{t}}^{{X}}$ .
d) Dla $X$ jak w punkcie c) określmy $\tau:=\inf\{ t\colon X_{{t}}>0\}$ . Wykaż, że $\tau$ nie jest momentem zatrzymania względem ${\mathcal{F}}_{{t}}^{{X}}$ ale jest momentem zatrzymania względem ${\mathcal{F}}_{{t+}}^{{X}}$ .

Ćwiczenie 4.2

Załóżmy, że $T$ jest przedziałem, wykaż, że:
a) jeśli $\tau$ jest momentem zatrzymania, to $\{\tau<t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}}$ dla wszystkich $t$ ;
b) jeśli $\{\tau<t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}}$ dla wszystkich $t$ , to $\tau$ jest momentem zatrzymania względem ${\mathcal{F}}_{{t+}}$ .

Ćwiczenie 4.3

Niech $T=[0,\infty)$ , a $\tau$ będzie momentem zatrzymania, które ze zmiennych $\tau+1,\tau^{{2}},\tau-1$ muszą być momentami zatrzymania?

Ćwiczenie 4.4

Niech $T=[0,\infty)$ , a $X_{{t}}$ procesem ${\mathcal{F}}_{{t}}$ -adaptowalnym o ciągłych trajektoriach. Wykaż, że dla $A$ otwartego $\tau _{{A}}:=\inf\{ t\colon X_{{t}}\in A\}$ jest momentem zatrzymania względem ${\mathcal{F}}_{{t+}}$ .

Ćwiczenie 4.5

Wykaż, że jeśli $\tau$ i $\sigma$ są momentami zatrzymania, to zdarzenia $\{\tau<\sigma\},\{\tau=\sigma\}$ i $\{\tau\leq\sigma\}$ należą do ${\mathcal{F}}_{{\tau}}$ , ${\mathcal{F}}_{{\sigma}}$ i ${\mathcal{F}}_{{\tau\wedge\sigma}}$ .

Ćwiczenie 4.6

Wykaż, że jeśli $\tau$ jest momentem zatrzymania, to proces $X_{{t}}:={\mathrm{I}}_{{[0,\tau)}}(t)$ jest progresywnie mierzalny.

Ćwiczenie 4.7

Niech $\tau$ będzie momentem zatrzymania względem $({\mathcal{F}}_{t})_{{t\in T}}$ , a $(X_{t})$ będzie procesem ${\mathcal{F}}_{t}$ -adaptowalnym. Wykaż, że
a) $\tau$ jest ${\mathcal{F}}_{{\tau}}$ -mierzalne;
b) jeśli $\tau$ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to $X_{\tau}$ jest ${\mathcal{F}}_{{\tau}}$ mierzalny na zbiorze $\tau<\infty$ .

Ćwiczenie 4.8

Wykaż, że jeśli $\sigma$ jest momentem zatrzymania, $\tau\geq\sigma$ oraz $\tau$ jest ${\mathcal{F}}_{{\sigma}}$ mierzalny, to $\tau$ jest momentem zatrzymania.

Ćwiczenie 4.9

Wykaż, że jeśli proces $X_{t}$ ma niezależne przyrosty i prawostronnie ciągłe trajektorie, to dla $s\geq t$ zmienna $X_{s}-X_{t}$ jest niezależna od ${\mathcal{F}}_{{t+}}^{{X}}$ .

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Analizy Stochastycznej