Tak jak podczas poprzedniego wykładu, jeśli nie zaznaczymy inaczej, będziemy zakładać, że
jest lewostronnie domkniętym przedziałem.
Mówimy, że jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem) względem filtracji
lub, że
jest martyngałem (odp. podmartyngałem,
nadmartyngałem), jeśli
a) dla wszystkich ,
jest
-mierzalny i
,
b) dla dowolnych ,
p.n. (odp.
dla
podmartyngału i
dla nadmartyngału).
Jeśli jest całkowalną zmienną losową, a
dowolną filtracją
to
jest martyngałem.
Sprawdzamy dla ,
![]() |
jest martyngałem względem naturalnej filtracji
.
Istotnie dla mamy z niezależności przyrostów
![]() |
jest podmartyngałem, a
martyngałem względem naturalnej filtracji
.
Liczymy dla ,
![]() |
![]() |
||
![]() |
W ostatnich dwu przykładach filtrację można zastąpić filtracją
.
Załóżmy, że jest martyngałem (odp. podmartyngałem), zaś
funkcją wypukłą (odp. wypukłą i niemalejącą) taką, że
dla wszystkich
. Wówczas
jest
podmartyngałem.
Z nierówności Jensena mamy
p.n.,
a ostatnia zmienna jest równa
w przypadku martyngału i nie mniejsza niż
dla podmartyngału.
Przypomnijmy definicję funkcji harmonicznych.
Funkcję nazywamy podharmoniczną (odp. harmoniczną,
nadharmoniczną) jeśli jest ograniczona na zbiorach zwartych oraz
![]() |
gdzie jest miarą powierzchniową na sferze, a
.
Funkcja gładka jest harmoniczna (odp. pod-,nad-) wtedy i tylko wtedy, gdy
(odp.
,
). Dla
warunek podharmoniczności jest równoważny
wypukłości. Funkcja
jest nadharmoniczna na
, a
funkcja
nadharmoniczna na
dla
.
Niech będzie
-wymiarowym procesem Wienera,
, zaś
funkcją
harmoniczną (odp. nad-, pod-) taką, że
dla
. Wówczas
jest martyngałem (odp. nad-, pod-).
Liczymy dla korzystając z niezależności przyrostów procesu Wienera oraz wprowadzając
współrzędne sferyczne,
![]() |
![]() |
||
![]() |
|||
![]() |
|||
![]() |
|||
![]() |
By zauważyć, że przeprowadzamy albo bezpośredni rachunek, albo podstawiamy
powyżej
.
Zacznijmy od przypomnienia podstawowego lematu dla martyngałów z czasem dyskretnym, pochodzącego od Dooba.
Załóżmy, że jest martyngałem (odp. nad-, pod-),
zaś
dwoma momentami zatrzymania. Wówczas
![]() |
Musimy pokazać, że dla ,
. Połóżmy
dla
. Mamy
![]() |
zatem
![]() |
gdyż . Stąd
![]() |
Lemat 5.1 nie jest prawdziwy, jeśli nie założymy ograniczoności momentów
zatrzymania, np. biorąc , gdzie
niezależne
zmienne losowe takie, że
,
,
,
widzimy, że
.
Przed sformułowaniem kolejnego lematu przypomnijmy, że przez i
oznaczamy odpowiednio część dodatnią
i ujemną zmiennej
, tzn.
oraz
.
Niech będzie podmartyngałem, wówczas dla
wszystkich
mamy
![]() |
![]() |
a) Niech , z Lematu 5.1
dostajemy (wobec
)
![]() |
![]() |
||
![]() |
i po przeniesieniu wartości oczekiwanych na jedną stronę dostajemy postulowaną nierówność.
b) Definiujemy , z Lematu 5.1
dostajemy (wobec
)
![]() |
![]() |
||
![]() |
i znów wystarczy pogrupować wartości oczekiwane.
∎Jeśli jest martyngałem, bądź nieujemnym podmartyngałem,
to
![]() |
![]() |
a) Funkcja jest wypukła, niemalejąca na
, stąd na mocy
Stwierdzenia 5.1
jest nieujemnym podmartyngałem, zatem z Lematu 5.2
mamy
![]() |
![]() |
||
![]() |
b) Niech , z rachunku przeprowadzonego powyżej dla
,
![]() |
Stosując kolejno wzór na całkowanie przez części, twierdzenie Fubiniego i nierówność Höldera dostajemy
![]() |
![]() |
||
![]() |
|||
![]() |
Jeśli , to na mocy nierówności Jensena,
dla
oraz
.
Dzieląc więc otrzymaną poprzednio nierówność stronami przez
dostajemy
![]() |
Udowodnimy teraz nierówność maksymalną Dooba w przypadku ciągłym.
Załóżmy, że martyngałem
lub nieujemnym podmartyngałem, o prawostronnie ciągłych trajektoriach. Wówczas
![]() |
![]() |
Oczywiście, jeśli zawiera element maksymalny
, to przy założeniach
twierdzenia
.
Jeśli jest skończonym podzbiorem
, to na podstawie Wniosku
5.1 dostajemy
![]() |
Niech będzie gęstym podzbiorem
zawierającym prawy koniec
(o ile taki
istnieje), zaś
wstępującym ciągiem skończonych podzbiorów
takim, że
. Wówczas dla dowolnego
dostajemy
na mocy prawostronnej ciągłości
![]() |
![]() |
||
![]() |
Biorąc ciąg dostajemy postulowaną w a) nierówność.
Nierówność z punktu b) wynika z Wniosku 5.1 w podobny sposób.
Punkt b) Twierdzenia 5.1 nie zachodzi dla – można skonstruować
martyngał dla którego
, ale
.
Zachodzi jednak (przy założeniach Twierdzenia 5.1) nierówność
![]() |
Dla dowolnych zachodzi
![]() |
Załóżmy, że jest procesem Poissona, tzn. procesem o prawostronnie ciągłych trajektoriach
takim, że
,
ma przyrosty niezależne, oraz
dla
.
Wykaż, że
oraz
są martyngałami względem
.
Wykaż, że jest
martyngałem dla dowolnego
.
Wykaż, że
a) p.n.,
b) p.n..
i) Niech oraz
. Wykaż, że
![]() |
i wywnioskuj stąd, że p.n..
ii) Wykaż, że p.n. oraz
p.n..
iii) Udowodnij, że dla i
,
![]() |
iv) Wykaż, że dla i
![]() |
i wywnioskuj stąd i z ii), że
p.n..
Udowodnij, że
a) p.n.,
b) p.n..
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.