Podczas kolejnych wykładów zdefiniujemy całkę względem procesu Wienera - zaczniemy od całkowania funkcji deterministycznych, by później przejść do konstrukcji izometrycznej całki stochastycznej Itô.
Konstrukcja całki stochastycznej ma pewne podobieństwa do konstrukcji całki Lebesgue'a. Najpierw określa się, w naturalny sposób, całki najprostszych funkcji/procesów (funkcje schodkowe, procesy elementarne), później pokazuje się własności tak określonej całki (oparte na liczeniu drugich momentów), które pozwalają uogólnić definicję na bardziej złożone funkcje/procesy.
Należy zwrócić uwagę, że całkę stochastyczną definiujemy globalnie na całej przestrzeni probabilistycznej, a nie dla każdej trajektorii z osobna.
Dla uproszczenia notacji będziemy definiowali całki . Całkę
dla
można wówczas określić na kilka sposobów - albo uogólniając w naturalny sposób
odpowiednie definicje albo np. jako całkę
.
Będziemy zakładać, że oraz
jest filtracją spełniającą zwykłe
warunki taką, że
jest
-mierzalne oraz
jest niezależne od
dla
(za
można przyjąć uzupełnienie
).
Definiowanie całki stochastycznej względem procesu Wienera zaczniemy od najprostszego przypadku funkcji deterministycznych.
Dla funkcji schodkowej postaci
![]() |
określamy
![]() |
Z podstawowych własności procesu Wienera natychmiast otrzymujemy następujące
własności przekształcenia :
Przy powyżej wprowadzonych oznaczeniach mamy
i) ,
ii) ,
iii) ma rozkład normalny
,
iii) dla
.
Oznaczając przez zbiór funkcji schodkowych na
widzimy, że przekształcenie
definiuje liniową izometrię
. Ponieważ
funkcje schodkowe są gęste w
izometrię w jednoznaczny sposób możemy rozszerzyć na
całe
.
Rozszerzenie powyższej izometrii do izometrii na nazywamy całką Paleya-Wienera z
funkcji
i oznaczamy
.
Dla dowolnej funkcji ,
i) ,
ii) ,
iii) ma rozkład normalny
.
Można też udowodnić następujące proste własności całki Paleya-Wienera:
i) Jeżeli , to
![]() |
Ponadto dla dowolnego ,
ii)
oraz
iii) p.n. dla dowolnych
.
Starając się przenieść konstrukcję Paleya-Wienera na przypadek całki z procesów, musimy określić stochastyczny odpowiednik funkcji schodkowych - są to tak zwane procesy elementarne.
Powiemy, że proces należy do
- rodziny procesów elementarnych
(elementarnych procesów prognozowalnych), jeśli
jest postaci
![]() |
(8.1) |
gdzie , zaś
są ograniczonymi zmiennymi losowymi,
-mierzalnymi.
Oczywiście jest przestrzenią liniową.
Dla definiujemy proces
![]() |
wzorem
![]() |
Definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od reprezentacji .
Jeśli jest procesem elementarnym, to proces
jest
martyngałem względem
,
o ciągłych trajektoriach takim, że
oraz
![]() |
Przyjmijmy, że jest postaci (8.1).
Ciągłość trajektorii i
wynika natychmiast z określenia
.
Jeżeli
, to zmienna
![]() |
jest mierzalna. Ponadto
dla
.
Sprawdzimy teraz, że jest martyngałem, czyli dla
mamy
.
Wystarczy pokazać to dla
, ale wtedy
![]() |
wykorzystujemy tu założenie, że jest
mierzalne.
By zakończyć dowód liczymy
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
Wykorzystując mierzalność oraz niezależność przyrostów procesu Wienera mamy
![]() |
oraz
![]() |
![]() |
||
![]() |
bo
Jedyne własności procesu Wienera jakie wykorzystywaliśmy w dowodzie, to
oraz
dla
.
Własności te można formalnie wyprowadzić z faktu, że procesy
i
są martyngałami względem
.
Przez oznaczamy przestrzeń martyngałów
względem filtracji
o trajektoriach ciągłych takich, że
.
i) Jeśli , to z nierówności Jensena wynika, że
, więc
jest podmartyngałem.
ii) Przestrzeń można utożsamić z przestrzenią
martyngałów ciągłych
takich, że
.
Możemy bowiem określić
jako granicę p.n.
przy
(zob. Twierdzenie 6.5 dla
).
iii) Z nierówności Dooba (Twierdzenie 5.1) wynika, że dla
,
![]() |
Przestrzeń jest przestrzenią Hilberta
(tzn. zupełną przestrzenią euklidesową)
z iloczynem skalarnym
![]() |
oraz normą
![]() |
i) Przy rozważaniach dotyczących całki stochastycznej utożsamiamy procesy nieodróżnialne.
Formalnie rzecz biorąc elementy to klasy abstrakcji martyngałów ciągłych
względem relacji nieodróżnialności.
ii) Przekształcenie jest izometrycznym włożeniem przestrzeni
w
.
Oczywiście jest przestrzenią liniową, zaś
jest iloczynem skalarnym, bo
jest dwuliniowy, symetryczny,
oraz jeśli
, to
, czyli
p.n., co z własności martygału implikuje, że
p.n., więc z ciągłości
,
.
Musimy jeszcze udowodnić zupełność. Niech
będzie ciągiem Cauchy'ego, czyli
![]() |
Wówczas jest ciągiem Cauchy'ego w
, zatem z zupełności
istnieje całkowalna z kwadratem zmienna
taka, że
przy
.
Możemy położyć , ale taka definicja nie gwarantuje ciągłości
. Udowodnimy, że można znaleźć martyngał
, który jest ciągłą modyfikację
.
Zauważmy, że na mocy nierówności Dooba,
![]() |
więc możemy wybrać podciąg taki, że
![]() |
Wówczas
![]() |
Zatem, jeśli określimy
![]() |
to , czyli na mocy lematu Borela-Cantelli,
.
Jeśli , to
dla
, czyli
dla
. Ciąg
jest zatem zbieżny jednostajnie na
do pewnej funkcji
. Kładziemy dodatkowo
dla
.
Z ciągłości wynika ciągłość
.
Ponieważ
w
więc również w
, czyli
w
, a że
p.n., więc
p.n.,
czyli
jest martyngałem ciągłym.
Każdemu procesowi elementarnemu przyporządkowaliśmy martyngał ciągły
, co więcej
przekształcenie
![]() |
jest liniową izometrią. Przekształcenie możemy więc rozszerzyć do liniowej izometrii
(którą też będziemy oznaczać literą
)
z
w
, gdzie
oznacza domknięcie
przestrzeni procesów elementarnych w
.
Tak zdefiniowane przekształcenie przyporządkowujące każdemu procesowi
z przestrzeni
ciągły, całkowalny z
kwadratem martyngał
nazywamy izometryczną całką stochastyczną Itô z procesu
i
oznaczamy
![]() |
Oczywiście natychmiast powstaje pytanie jak wygląda przestrzeń , czyli
jakie procesy stochastyczne umiemy całkować.
-ciało zbiorów prognozowalnych
, to
-ciało podzbiorów
generowane przez
zbiory postaci
,
,
,
.
Proces jest prognozowalny, jeśli traktowany jako funkcja
jest mierzalny względem
.
Z definicji natychmiast wynika, że jest prognozowalny,
jeśli
oraz
.
Ponieważ każdą ograniczoną zmienną ,
–mierzalną można aproksymować jednostajnie
przez zmienne postaci
,
, więc proces
jest prognozowalny dla dowolnej ograniczonej zmiennej
,
–mierzalnej.
Zatem dowolny proces jest prognozowalny, czyli
stąd
![]() |
W szczególności każdy proces z jest nieodróznialny od
procesu prognozowalnego.
Okazuje się, że zachodzi również odwrotne
zawieranie.
Mamy .
Wobec poprzednich rozważań musimy tylko pokazać, że
Rozważymy dwa przypadki.
Przypadek I: .
Najpierw pokażemy, że jeśli , to
.
W tym celu określmy
oraz
![]() |
Łatwo sprawdzić, że jest
-układem, ponadto jeśli
, to
,
a zatem
.
Co więcej
jest
-układem dla
, bo
i) , czyli
, gdyż
biorąc ciąg
, otrzymujemy
.
ii) ,
,
z
liniowości
, czyli
.
iii) wstępujący, wówczas
,
czyli
.
Zatem dla , z twierdzenia o
- i
-układach
Dalej, jeśli ,
, to
(z liniowości).
Ponadto funkcje proste
są gęste w
, czyli
Przypadek II: .
Niech
oraz
.
Wówczas procesy
są prognozowalne, należą do
,
zatem
na mocy przypadku I.
Ponadto w
(tw. Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej), czyli
.
Określiliśmy zatem dla procesów prognozowalnych całkowalnych
z kwadratem względem miary
na
.
Od tej pory przyjmujemy następujące oznaczenie
![]() |
![]() |
||
![]() |
Dobrze by było jeszcze wiedzieć, że klasa procesów prognozowalnych jest dostatecznie duża, wynika to z następującego faktu:
Jeśli jest procesem adaptowalnym i lewostronnie ciągłym, to
jest prognozowalny.
Dla określmy
![]() |
zaś w przypadku niech
![]() |
Łatwo zauważyć, że procesy są prognozowalne oraz z lewostronnej ciągłości
wynika, że
punktowo. Prognozowalność
wynika z faktu, że
granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna.
Można udowodnić, że dla -adaptowalnego procesu
takiego, że
istnieje proces prognozowalny
taki, że
dla
prawie wszystkich
. Pozwala to określić
dla procesów adaptowalnych z
.
Oblicz
dla
.
Wykaż, że dla i
zachodzi
![]() |
Wykaż, że dla zachodzi
![]() |
Niech .
Wykaż, że dla
, przekształcenie
jest izometrycznym włożeniem
w
.
Wykaż, że proces
![]() |
ma takie same rozkłady skończenie wymiarowe co proces
(most Browna).
Wykaż, że jeśli oraz
jest ograniczoną zmienną losową
mierzalną to
oraz
(Uwaga:
definiujemy jako
).
Wykaż, że jeśli oraz
są zmiennymi
losowymi w
,
mierzalnymi to proces
należy do
oraz
.
Załóżmy, że jest procesem prognozowalnym, ciągłym w
(tzn.
jest ciągła z
w
). Wykaż, że
wówczas
oraz dla dowolnego ciągu podziałów
o
średnicy zbiegającej do zera zachodzi dla
,
![]() |
w przy
.
Oblicz .
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.